2024-2025学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数质量评估新人教A版必修第一册

第四章质量评估(时间:120分钟分值:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设a=3525,b=2535,c=2525A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>b D.b>c>a答案:A2.计算:2lg2+lg25等于 ()A.1B.2C.3D.4答案:B3.已知a=log52,b=log83,c=12,则下列推断正确的是 (A.c<b<a B.b<a<cC.a<c<b D.a<b<c答案:C4.函数y=ax-3+3(a>0,且a≠1)的图象过定点()A.(3,3) B.(3,4)C.(0,3) D.(0,4)答案:B5.下列四类函数中,具有性质“对随意的m,n∈R,函数f(x)满意f(m+n)=f(m)·f(n)”的是 ()A.幂函数 B.对数函数C.指数函数 D.一次函数答案:C6.已知函数f(x)=ax3+bx+4(a,b∈R),f(lg(log210))=5,则f(lg(lg2))的值为 ()A.-3 B.-1 C.3 D.4答案:C 7.函数f(x)=ln(x+3)的图象与函数g(x)=|x2-2|的图象的交点个数为()A.2 B.3 C.4 D.0解析:如图,可知函数f(x)=ln(x+3)的图象与函数g(x)=|x2-2|的图象的交点个数为4,故选C.答案:C8.将甲桶中的aL水缓慢注入空的乙桶中,tmin后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线y=aent,假设5min后甲桶和乙桶的水量相等.若再过mmin甲桶中的水有a4L,则m的值为 (A.10 B.9 C.8 D.5答案:D二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.若2x=3,则x等于 ()A.log32 B.log23 C.lg2lg3 D.答案:BD10.设函数f(x)=3x,x≤0,|log3xA.12 B.1 C.-答案:AB11.若a,b是实数,其中a>0,且a≠1,则满意loga(a-b)>1的是 ()A.a>1,b>0 B.a>1,b<0C.0<a<1,0<b<a D.0<a<1,b<0答案:BC12.已知函数f(x)=ex+a,x≤0,|lnx|,x>0,g(A.-3 B.-2 C.0 D.1答案:CD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.求值:log34273+lg25+lg4+7lo14.已知函数f(x)=2x+2,x≤1,loga(x-115.若函数f(x)=ax-1+3(a≠0)的图象经过定点P,则点P的坐标是(1,4).16.已知函数f(x)=lg(1-x)-lg(1+x),函数g(x)=2-ax(a>0,且a≠1).若当x∈[0,1)时,函数f(x)与函数g(x)的值域的交集非空,则实数a的取值范围为(2,+∞).四、解答题:本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)计算下列各式:(1)12-1-350+94-0.5+4(2)lg500+lg85-12lg64+50(lg2+lg5)解:(1)原式=2+1-1+23+e-2=23(2)原式=lg5+lg102+lg23-lg5-12lg26+50(lg10)218.(12分)已知f(x)=(log12x)2-2log12x+4,(1)设t=log12x,x∈[2,4],求(2)求f(x)的值域.解:(1)因为函数t=log12所以tmax=log122=-1,tmin=log12(2)令g(t)=t2-2t+4=(t-1)2+3.由(1),得t∈[-2,-1],所以当t=-2时,g(t)max=12;当t=-1时,g(t)min=7,所以当x=4时,f(x)max=12;当x=2时,f(x)min=7.因此,函数f(x)的值域为[7,12].19.(12分)已知函数f(x)=a3x2-3,g(x)=1a5x+5,其中a>(1)若0<a<1,求满意不等式f(x)<1的x的取值范围;(2)求关于x的不等式f(x)≥g(x)的解集.解:(1)由不等式f(x)<1,得a3x2-3<因为0<a<1,所以3x2-3>0,即(x+1)(x-1)>0,解得x<-1或x>1.故满意不等式f(x)<1的x的取值范围为(-∞,-1)∪(1,+∞).(2)由不等式f(x)≥g(x),得a3x2-3≥a①若0<a<1,则3x2-3≤-5x-5,所以3x2+5x+2≤0,即(3x+2)(x+1)≤0,解得-1≤x≤-23②若a>1,则3x2-3≥-5x-5,所以3x2+5x+2≥0,即(3x+2)(x+1)≥0,解得x≤-1或x≥-23综上所述,若0<a<1,则所求解集为[-1,-23若a>1,则所求解集为(-∞,-1]∪[-23,+∞)20.(12分)已知函数f(x)=13x3-x2+1(1)证明方程f(x)=0在区间(0,2)上有实数解;(2)请运用二分法,取区间的中点两次,指出方程f(x)=0,x∈[0,2]的实数解x0在哪个较小的区间内.(1)证明:因为f(0)=1>0,f(2)=-13<0,所以f(0)f(2)=-13<因为函数f(x)=13x3-x2+所以方程f(x)=0在区间(0,2)上有实数解.(2)解:取x1=12×(0+2)=1,得f(1)=13>因为f(1)f(2)=-19<所以下一个有解区间为(1,2).再取x2=12×(1+2)=32,得f(32)=-1因为f(1)f(32)=-124所以下一个有解区间为(1,32)所以实数解x0在较小区间(1,32)内21.(12分)某公司制订了一个激励销售人员的嘉奖方案:当销售利润不超过10万元时,按销售利润的15%进行嘉奖;当销售利润超过10万元时,若超出A万元,则额外嘉奖2log5(A+1)万元.记奖金为y(单位:万元),销售利润为x(单位:万元).(1)干脆写出该公司激励销售人员的嘉奖方案的函数模型.(2)假如业务员小李获得3.5万元的奖金,那么他的销售利润是多少万元?解:(1)由题意,得该公司激励销售人员的嘉奖方案的函数模型为y=0(2)由(1)知,当x∈[0,10]时,0≤0.15x≤1.5.因为业务员小李获得3.5万元的奖金,3.5>1.5,所以x>10.所以1.5+2log5(x-9)=3.5,解得x=14.所以业务员小李的销售利润是14万元.22.(12分)已知函数f(x)=|x|+mx-1(x≠0)(1)若对随意的x>0,不等式f(x)>0恒成立,求m的取值范围;(2)试探讨函数f(x)零点的个数.解:(1)当x>0时,f(x)=x+mx-1,不等式f(x)>0恒成立等价于x+mx-1则有m>x-x2(x>0)恒成立,而