2025届高考数学一轮复习近8年真题分类汇编专题3函数的单调性

PAGEPAGE1专题3—函数的单调性考试说明：理解函数的单调性及其几何意义；高频考点：1、函数单调性的性质及推断方法；幂函数、指数函数、对数函数和反比例函数的单调性；复合函数的单调性；三角函数的单调性；函数单调性的应用：比如，画图象，求最值，求零点等。函数的单调性是函数特别重要的性质，高考中主要以选择题、填空题的形式考查，在大题导数题中也会重点考查，同学们在一轮复习中要练好基本功。典例分析1．（2024•甲卷）下列函数中是增函数的为A． B． C． D．2．（2017•山东）若函数是自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数具有性质，下列函数中具有性质的是A． B． C． D．3．（2017•新课标Ⅱ）函数的单调递增区间是A． B． C． D．4．（2024•新课标Ⅱ）若，则A． B． C． D．5．（2016•天津）已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满意，则的取值范围是A． B．，， C．， D．，6．（2024•海南）已知函数在上单调递增，则的取值范围是A． B．， C． D．，7．（2013•天津）已知函数．设关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围是A． B． C． D．8．（2013•福建）设，是的两个非空子集，假如存在一个从到的函数满意：；对随意，，当时，恒有，那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是A．， B．，或 C．， D．，真题集训1．（2024•北京）下列函数中，在区间上单调递增的是A． B． C． D．2．（2010•北京）给定函数①，②，③，④，其中在区间上单调递减的函数序号是A．①② B．②③ C．③④ D．①④3．（2010•安徽）动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间时，点的坐标是，则当时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的单调递增区间是A．， B．， C．， D．，和，4．（2024•全国）的递增区间是A． B． C．， D．5．（2014•天津）函数的单调递增区间为A． B． C． D．6．（2015•全国）设函数在区间是减函数，则的最小值为A．2 B．1 C． D．7．（2024•新课标Ⅲ）设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则A． B． C． D．8．（2017•山东）若函数是自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数具有性质．下列函数中全部具有性质的函数的序号为．①②③④．9．（2015•天津）已知，，，则当的值为时，取得最大值．10．（2024•江苏）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆的一段圆弧为此圆弧的中点）和线段构成．已知圆的半径为40米，点到的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形态为矩形，大棚Ⅱ内的地块形态为，要求，均在线段上，，均在圆弧上．设与所成的角为．（1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；（2）若大棚内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．11．（2014•广东）设函数，其中．（1）求函数的定义域（用区间表示）；（2）探讨函数在上的单调性；（3）若，求上满意条件（1）的的集合（用区间表示）．典例分析答案1．（2024•甲卷）下列函数中是增函数的为A． B． C． D．分析：结合基本初等函数在定义域上的单调性分别检验各选项即可推断．解答：解：由一次函数性质可知在上是减函数，不符合题意；由指数函数性质可知在上是减函数，不符合题意；由二次函数的性质可知在上不单调，不符合题意；依据幂函数性质可知在上单调递增，符合题意．故选：．点评：本题主要考查基本初等函数的单调性的推断，属于基础题．2．（2017•山东）若函数是自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数具有性质，下列函数中具有性质的是A． B． C． D．分析：依据已知中函数具有性质的定义，可得时，满意定义．解答：解：当时，函数在上单调递增，函数具有性质，故选：．点评：本题考查的学问点是函数单调性的性质，难度不大，属于基础题．3．（2017•新课标Ⅱ）函数的单调递增区间是A． B． C． D．分析：由得：，，，令，则，结合复合函数单调性“同增异减”的原则，可得答案．解答：解：由得：，，，令，则，时，为减函数；时，为增函数；为增函数，故函数的单调递增区间是，故选：．点评：本题考查的学问点是复合函数的单调性，对数函数的图象和性质，二次数函数的图象和性质，难度中档．4．（2024•新课标Ⅱ）若，则A． B． C． D．分析：方法一：由，可得，令，则在上单调递增，且，结合函数的单调性可得，的大小关系，结合选项即可推断．方法二：依据条件取，，即可解除错误选项．解答：解：方法一：由，可得，令，则在上单调递增，且，所以，即，由于，故．方法二：取，，满意，此时，，可解除．故选：．点评：本题主要考查了函数的单调性在比较变量大小中的应用，属于基础试题．5．（2016•天津）已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满意，则的取值范围是A． B．，， C．， D．，分析：依据函数的对称性可知在递减，故只需令即可．解答：解：是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，在上单调递减．，，．，解得．故选：．点评：本题考查了函数的单调性，奇偶性的性质，属于中档题．6．（2024•海南）已知函数在上单调递增，则的取值范围是A． B．， C． D．，分析：由对数式的真数大于0求得函数的定义域，令，由外层函数是其定义域内的增函数，结合复合函数的单调性可知，要使函数在上单调递增，需内层函数在上单调递增且恒大于0，转化为，，，即可得到的范围．解答：解：由，得或．令，外层函数是其定义域内的增函数，要使函数在上单调递增，则需内层函数在上单调递增且恒大于0，则，，，即．的取值范围是，．故选：．点评：本题考查复合函数单调性的求法，考查数学转化思想方法，是中档题．7．（2013•天津）已知函数．设关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围是A． B． C． D．分析：解除法：取，由，得，分，，探讨，可得，检验是否符合题意，可解除、；取，由，得，分，，进行探讨，检验是否符合题意，解除．解答：解：取时，，，，（1）时，解得；（2）时，解得；（3）时，解得，综上知，时，，，符合题意，解除、；取时，，，，（1）时，解得，冲突；（2），解得，冲突；（3）时，解得，冲突；综上，，，不合题意，解除，故选：．点评：本题考查函数的单调性、二次函数的性质、不等式等学问，考查数形结合思想、分类探讨思想，考查学生分析解决问题的实力，留意解除法在解决选择题中的应用．8．（2013•福建）设，是的两个非空子集，假如存在一个从到的函数满意：；对随意，，当时，恒有，那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是A．， B．，或 C．， D．，分析：利用题目给出的“保序同构”的概念，对每一个选项中给出的两个集合，利用所学学问，找出能够使两个集合满意题目所给出的条件的函数，即是函数的值域，且函数为定义域上的增函数．解除掉是“保序同构”的，即可得到要选择的答案．解答：解：对于，，存在函数，，满意：；对随意，，当时，恒有，所以选项是“保序同构”；对于，或，存在函数，满意：；对随意，，当时，恒有，所以选项是“保序同构”；对于，，存在函数，满意：；对随意，，当时，恒有，所以选项是“保序同构”；前三个选项中的集合对是“保序同构”，由解除法可知，不是“保序同构”的只有．故选：．点评：本题是新定义题，考查了函数的定义域和值域，考查了函数的单调性，综合考查了不同类型函数的基本性质，是基础题．真题集训答案1．解：在上单调递增，和在上都是减函数．故选：．2．（解：①是幂函数，其在上即第一象限内为增函数，故此项不符合要求；②中的函数是由函数向左平移1个单位长度得到的，因为原函数在内为减函数，故此项符合要求；③中的函数图象是由函数的图象保留轴上方，下方图象翻折到轴上方而得到的，故由其图象可知该项符合要求；④中的函数图象为指数函数，因其底数大于1，故其在上单调递增，不合题意．故选：．3．解：设动点与轴正方向夹角为，则时，每秒钟旋转，在，上，在，上，动点的纵坐标关于都是单调递增的．故选：．4．解：令，求得或，故函数的定义域为或，，本题即求函数在定义域内的增区间．结合二次函数的性质可得函数在定义域内的增区间为，故选：．5．解：令，可得，或，故函数的定义域为，，，当时，随的增大而减小，随的减小而增大，所以随的增大而增大，即在上单调递增．故选：．6．解：可令，由在递减，可得在是增函数，且在恒成立，可得且，解得，则的最小值是．故选：．7．解：是定义域为的偶函数，，，，在上单调递减，，故选：．8．解：对于①，，则为实数集上的增函数；对于②，，则为实数集上的减函数；对于③，，则，，当时，，在定义域上先减后增；对于④，，则，在实数集上恒成立，在定义域上是增函数．具有性质的函数的序号为①④．故答案为：①④．9．解：由题意可得当最大时，和都是正数，故有．再利用基本不等式可得，当且仅当时，取等号，即当时，取得最大值，故答案为：4．10.解：（1），，当、重合时，最小，此时；当、重合时，最大，此时，的取值范围是，；（2）设年总产值为，甲种蔬菜单位面积年产值为，乙种蔬菜单位面积年产值为，则，其中，；设，则；令，解得，此时，；当，时，，单调递增；当，时，，单调递减；时，取得最大值，即总产值最大．，，