四川省南充市2024-2025学年高二数学下学期入学考试理试题含解析

Page18四川省南充市2024-2025学年高二数学下学期入学考试（理）试题本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）．1.直线且的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由直线方程可知其斜率，依据斜率和倾斜角关系可得结果.【详解】直线方程可化为：，直线的斜率，直线的倾斜角为.故选：C.2.设x、y满意则（）A.有最小值2，最大值3 B.有最小值2，无最大值C.有最小值3，无最大值 D.既无最小值，也无最大值【答案】B【解析】【分析】先作出不等式的可行域，再利用数形结合分析得解.【详解】由题得不等式的可行域如图所示，由题知，直线的纵截距为z,当直线经过点A时，直线的纵截距z最小，联立，得，所以z最小2，由于纵截距没有最大值，所以z没有最大值.故选：B.3.命题“若，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】利用特称命题的否定可得出结论.【详解】命题“若，”为特称命题，该命题的否定为“，”.故选：C.4.已知斜率为1的直线与圆相切于点P，经过点P且与垂直的直线的方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由与垂直可求出直线的斜率为，由于过切点且与切线垂直，所以可知直线过圆心，从而可求出直线的方程【详解】圆的圆心为，因为与垂直，直线的斜率为1，所以直线的斜率为，因为直线与圆相切于点P，经过点P且与垂直的直线为，所以直线过圆心，所以直线的方程为，即，故选：A5.篮球竞赛中，张英皓同学投球三次，设事务A为“三次投球全不是三分球”，事务B为“三次全是三分球”，事务C为“三次投球不全是三分球”，则下列结论正确的是（）A.A与C对立 B.B与C对立 C.任两个均对立 D.任两个均不对立【答案】B【解析】【分析】依据对立事务的定义推断可得；【详解】解：篮球竞赛中，张英皓同学投球三次，设事务为“三次投球全不是三分球”，事务为“三次全是三分球”，事务为“三次投球不全是三分球”，对于，事务与事务能同时发生，不是对立事务，故错误；对于，事务与事务是对立事务，故正确；对于，事务与事务能同时发生，不是对立事务，故错误；对于，事务与事务是对立事务，故错误．故选：．6.在正方体中，AC与BD的交点为M.设则下列向量与相等的向量是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依据空间向量的运算法则，推出的向量表示，可得答案.【详解】，故选：C7.执行如图所示的程序框图，若输出S的值为0.9，则推断框内可填入的条件是（）A.i<10 B.i>10 C.i<9 D.i<8【答案】A【解析】【分析】依据程序功能计算时值，然后确定循环条件．【详解】由程序框图知，，解得，由于计算S后，赋值，因此循环条件是，故选：A．8.若动点分别在直线上移动，则的中点到原点的距离的最小值是(）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先确定的中点轨迹，再依据点到直线距离公式求最小值.【详解】因为,所以的中点轨迹为直线：，，因此到原点的距离的最小值是，选A.【点睛】本题考查点到直线距离公式，考查基本求解实力.9.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB＝1,AC＝2,BC＝,D,E分别是AC1和BB1的中点,则直线DE与平面BB1C1C所成的角为A.30° B.45°C.60° D.90°【答案】A【解析】【详解】取AC的中点F,连接DF,BF,因为D,E分别是AC1和BB1的中点,所以DF=BE,且DF//BE,所以四边形DEBF是平行四边形,所以DE//BF,过点F作FG垂直于BC，交BC于点G，由题意得等于直线DE与平面BB1C1C所成的角,因为AB＝1,AC＝2,BC＝,所以，CF=FA=FB=1,所以∠FBG=30°.即直线DE与平面BB1C1C所成的角为30°.故选A．10.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含带一个好玩的数学问题—“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处动身，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处动身，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马回首”的最短总路程为A.4 B.5 C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出点关于直线的对称点，再求得点Q到圆心O的距离减去半径即可.详解】如图所示：设点关于直线的对称点为，则，交点，所以，点Q到圆心O的距离为，所以“将军饮马回首”的最短总路程为4故选：A11.已知直线，其中为常数且．有以下结论：①直线的倾斜角为；②无论为何值，直线总与肯定圆相切；③若直线与两坐标轴都相交，则与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1；④若是直线上的随意一点，则．其中正确结论的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】依据直线的性质及直线与圆的关系对选项一一推断即可.【详解】对于①，直线的倾斜角的取值范围为，与角a的不同，故①错误；对于②，点到直线的距离为，则无论为何值，直线总与相切，故②正确；对于③，若直线与两坐标轴都相交，则截距分别为，，则与两坐标轴围成的三角形的面积为，故③正确；对于④，由②知直线总与相切，则直线l上的点到原点的距离大于等于1，即，故④正确；综上所述，②③④共3个正确；故选：C12.已知圆与直线，过l上随意一点P向圆C引切线，切点为A，B，若线段长度的最小值为，则实数m的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设，则，则由题意可求得，从而可得，而的最小值是圆心到直线的距离，然后列方程可求出实数m的值【详解】圆，设，则，因为，所以，又，所以，又，所以，即，又，所以．故选：D．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.摇两次骰子，将结果记为，，则为整数的概率是___________.【答案】【解析】【分析】先列出两次骰子的全部可能结果，在列出相除为整数的结果，最终相除可得结果.【详解】记摇两次骰子的结果为，则共有共36种状况，为整数的有：共14种状况.为整数的概率为=故答案为：14.如图，奥运五环由5个奥林匹克环套接组成，环从左到右相互套接，上面是蓝、黑、红环，下面是黄，绿环，整个造形为一个底部小的规则梯形．为迎接北京冬奥会召开，某机构定制一批奥运五环旗，已知该五环旗的5个奥林匹克环的内圈半径为1，外圈半径为1．2，相邻圆环圆心水平距离为2．6，两排圆环圆心垂直距离为1．1，则相邻两个相交的圆的圆心之间的距离为___________．【答案】##【解析】【分析】依据题意作出协助线干脆求解即可.【详解】如图所示，由题意可知，在中，取的中点，连接，所以，，又因为，所以，所以．即相邻两个相交的圆的圆心之间的距离为.故答案为：15.张华和李明相约周日早上8：00～9：00到市图书大厦门口见面，规定先到的同学等候20分钟，若还没有等到，则可以离去，则他们两个可以见面的概率为________．【答案】【解析】【分析】依据题意设全部状况构成的区域为，满意条件的事务为，结合图象，利用几何概型的概率公式计算即可.【详解】由题意得，如图，设张华到的时间为x，李明到的时间为y，可以看成平面中的点，全部状况构成的区域为，则对应的面积为1；两人见面所包含的基本领件构成的区域为：，则，所以的面积为，则事务P对应的集合表示的面积为，由几何概型概率公式，得，所以两人见面的概率为.故答案为：.16.设，圆，若动直线与圆交于点A、C，动直线与圆交于点B、D，则的最大值是________．【答案】【解析】【分析】求出圆圆心和半径，求出两条直线位置关系和经过的定点，作出图像，设圆心到其中一条直线的距离为d，依据几何关系表示出，利用基本不等式即可求出其最大值.【详解】，圆心M(1，3)，半径r＝，过定点E(2,1)，过定点E(2,1)，且⊥，如图，设AC和BD中点分别为F、G，则四边形EFMG为矩形，设，，则，则＝，当且仅当即时取等号.故答案为：.三、解答题（本题共6小题，共计70分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17.如图，在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7,3)，且AC边的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上．(1)求点C的坐标；(2)求边上的中线所在直线方程．【答案】（1）(－5，－3)；（2）7x－22y－31＝0.【解析】【详解】试题分析：（1）依据题意得到可设设M(0，a)，N(b,0)，C(m，n)，∵A(5，－2)，B(7,3)，依据中点坐标公式得到点C的坐标；（2）依据中点坐标公式得到点的坐标为，由两点式得到AB中线所在直线的方程.解析：（1）设M(0，a)，N(b,0)，C(m，n)，∵A(5，－2)，B(7,3)，又M是AC的中点，∴5＋m＝0，m＝－5，N是BC的中点，∴3＋n＝0，n＝－3，∴C点坐标为(－5，－3)，（2）设AB的中点为，则点的坐标为由两点式得AB边中线所在直线方程为整理得：7x－22y－31＝0.18.已知命题p：，命题．(1)若命题p是真命题，求实数a的取值范围；(2)若p∨q是真命题，p∧q是假命题，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）依据命题为真命题，分类探讨a是否为0；再依据开口及判别式即可求得a的取值范围．（2）依据复合命题的真假关系，得出p,q一个为真命题，一个为假命题，然后进行求解可得范围.【详解】依据复合命题真假，探讨p真q假，p假q真两种状况下a的取值范围．（1）命题是真命题时，在范围内恒成立，∴①当时，有恒成立；②当时，有，解得：；∴的取值范围为：.（2）∵是真命题，是假命题，∴，中一个为真命题，一个为假命题，由为真时得由，解得，故有：①真假时，有或，解得：；②假真时，有或，解得：；∴的取值范围为：.【点睛】本题考查了命题真假及复合命题真假的简洁应用，求参数的取值范围，属于基础题．19.“一切为了每位学生的发展”是新课程改革的核心理念．新高考取消文理分科，采纳选科模式，给予了学生充分的自由选择权．新高考模式下，学生是否选择物理为高考考试科目对高校专业选择有着特别重要的意义．某校为了解高一年级600名学生物理科目的学习状况，将他们某次物理测试成果（满分100分）依据，，，，，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．（1）求这600名学生中物理测试成果在内的频数，并且补全这个频率分布直方图；（2）学校建议本次物理测试成果不低于分的学生选择物理为高考考试科目，若学校希望高一年级恰有65％的学生选择物理为高考考试科目，试求的估计值．（结果精确到0.1）【答案】（1）频数，作图见解析（2）【解析】【分析】（1）依据频率分布直方图的小矩形面积之和为1求得成果在内的频率，再求频数，然后依据数据补全的频率分布直方图如图；（2）依据恰有65％的学生选择物理为高考考试科目，先确定a所在区间，再求解.【小问1详解】解：由频率分布直方图可知，成果在内的频率为:，所以这600名学生中物理成果在内的频数为，补全的频率分布直方图如图所示：【小问2详解】学生物理测试成果在的频率为，物理测试成果在的频率为．故要使高一年级恰有65％的学生选择物理为高考考试科目，则，且，解得．20.如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，，设点在线段上运动.（1）证明：；（2）设平面与平面所成锐二面角为，求的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由平面几何学问，余弦定理可得.，再由面面垂直、线面垂直的性质可得证；（2）由（1）可建立分别以直线，，为轴，轴，轴的如图所示的空间直角坐标系，令，由二面角的向量求解方法可表示，由二次函数的性质可求得最值.【详解】（1）证明：在梯形中，因为，，，所以，所以，所以，所以.因为平面平面，平面平面，因为平面，所以平面.所以；（2）解：由（1）可建立分别以直线，，为轴，轴，轴的如图所示的空间直角坐标系，令，则，，，.∴，.设为平面的一个法向量，由得，取，则，∵是平面的一个法向量，∴∵，∴当时，有最大值，的最小值为.【点睛】向量法求二面角的步骤：建、设、求、算、取.1、建：建立空间直角坐标系.以三条相互垂直的垂线的交点为原点，没有三垂线时需做协助线;建立右手直角坐标系,让尽量多的点落在坐标轴上。2、设：设所需点的坐标，并得出所需向量的坐标.3、求：求出两个面的法向量.4、算：运用向量的数量积运算，求两个法向量的夹角的余弦值；5、取：依据二面角的范围和图示得出的二面角是锐角还是钝角,再取值.21.改革开放以来，我国经济持续高速增长．如图给出了我国2012年至2024年其次产业增加值与第一产业增加值的差值（以下简称为：产业差值）的折线图，记产业差值为（单位：万亿元）．注：年份代码1-10分别对应年份2012-2025．附：回来直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，．方差：参考数据：，，．（1）求出关于年份代码的线性回来方程；（2）结合折线，试求出除去2016年产业差值后剩余的9年产业差值的平均值及方差（精确到0．1）．【答案】（1）（2）平均值为10.8万亿元，方差为23.5【解析】【分析】（1）依