2025版新教材高中数学课时作业10平面向量数量积的坐标表示新人教A版必修第二册

课时作业10平面对量数量积的坐标表示基础强化1.向量a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，则(2a＋b)·a＝()A．－1B．0C．1D．22．已知向量a＝(2，1)，a·b＝10，|a＋b|＝5eq\r(2)，则|b|＝()A．eq\r(5)B．eq\r(10)C．5D．253．已知向量a＝(1，eq\r(3))，b＝(3，m).若向量a，b的夹角为eq\f(π,6)，则实数m＝()A．2eq\r(3)B．eq\r(3)C．0D．－eq\r(3)4．已知A(－2，1)，B(6，－3)，C(0，5)，则△ABC的形态是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形5．(多选)已知向量a＝(－1，2)，b＝(2，3)，则()A．a·b＝4B．(a＋b)2＝eq\r(26)C．(a＋b)·(a－b)＝－8D．(a－b)2＝106．(多选)下面对量b与向量a＝(3，4)垂直的是()A．b＝(－4，－3)B．b＝(－4，3)C．b＝(4，－3)D．b＝(4，3)7．已知平面内两向量a＝(2，3)，b＝(cosθ，sinθ)，若a⊥b，则tanθ的值为________．8．已知向量a＝(4，2eq\r(3))，b＝(－1，eq\r(3))，则a·b－|b|＝________．9．已知向量a与b同向，b＝(1，2)，a·b＝10，求：(1)向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)b.10．在平面直角坐标系中，已知向量a＝(1，1)，b＝(2，－1).(1)求|3a－b|；(2)若m＝2a－b，n＝ta＋b，m⊥n，求实数t的值．实力提升11.已知向量a与b的方向相反，b＝(－2，3)，|a|＝2eq\r(13)，则a＝()A．(－6，4)B．(－4，6)C．(4，－6)D．(6，－4)12．已知向量a＝(1，2)，b＝(m，3)，若a⊥(2a－b)，则a与b夹角的余弦值为()A．eq\f(\r(5),5)B．eq\f(2\r(5),5)C．eq\f(\r(10),10)D．eq\f(3\r(10),10)13．在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝eq\r(3)，点E是AB中点，点P在BC边上，若eq\o(DA,\s\up6(→))·eq\o(DP,\s\up6(→))＝eq\r(3)，则eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DP,\s\up6(→))＝()A．2＋eq\r(3)B．3＋eq\r(3)C．1＋eq\r(3)D．3－eq\r(3)14．(多选)设k为实数，已知直角三角形ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，k)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2，3)，则k的可能取值为()A．eq\f(2,3)B．5C．－eq\f(3,2)D．eq\f(3＋\r(21),2)[答题区]题号12345611121314答案15.已知向量a＝(4，2)，向量b＝(2－k，k＋1)，若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋b))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－b))，则k的值为________．16．设向量a＝(2，0)，b＝(1，eq\r(3)).(1)求与a＋b垂直的单位向量；(2)若向量ta＋b与向量a＋tb的夹角为钝角，求实数t的取值范围．课时作业10平面对量数量积的坐标表示1．解析：a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，∴(2a＋b)·a＝(1，0)·(1，－1)＝1.故选C.答案：C2．解析：∵|a＋b|＝5eq\r(2)，∴|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝5＋2×10＋b2＝(5eq\r(2))2，∴|b|＝5.故选C.答案：C3．解析：因为a＝(1，eq\r(3))，b＝(3，m).所以|a|＝2，|b|＝eq\r(9＋m2)，a·b＝3＋eq\r(3)m，又a，b的夹角为eq\f(π,6)，所以eq\f(a·b,|a||b|)＝coseq\f(π,6)，即eq\f(3＋\r(3)m,2\r(9＋m2))＝eq\f(\r(3),2)，所以eq\r(3)＋m＝eq\r(9＋m2)，解得m＝eq\r(3).故选B.答案：B4．解析：由题意知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(8，－4)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2，4)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－6，8)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝2×8＋(－4)×4＝0，即eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→)).所以∠BAC＝90°，故△ABC是直角三角形．故选A.答案：A5．解析：因为a·b＝－1×2＋2×3＝4，故A正确；因为a＋b＝(1，5)，a－b＝(－3，－1)，所以(a＋b)2＝26，(a－b)2＝10，故B错误，D正确；(a＋b)·(a－b)＝－8，故C正确．故选ACD.答案：ACD6．解析：对于A，a·b＝3×(－4)＋4×(－3)＝－24≠0，故A错误；对于B，a·b＝3×(－4)＋4×3＝0，故B正确；对于C，a·b＝3×4＋4×(－3)＝0，故C正确；对于D，a·b＝3×4＋4×3＝24，故D错误．故选BC.答案：BC7．解析：由于a⊥b，所以a·b＝2cosθ＋3sinθ＝0，tanθ＝－eq\f(2,3).答案：－eq\f(2,3)8．解析：a·b－|b|＝(4，2eq\r(3))·(－1，eq\r(3))－eq\r(（－1）2＋（\r(3)）2)＝－4＋6－2＝0.答案：09．解析：(1)∵a与b同向，且b＝(1，2)，∴a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0).又∵a·b＝10，∴λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2，4).(2)∵a·c＝2×2＋(－1)×4＝0，∴(a·c)b＝0·b＝0.10．解析：(1)3a－b＝3(1，1)－(2，－1)＝(1，4)，所以|3a－b|＝eq\r(12＋42)＝eq\r(17).(2)m＝2a－b＝2(1，1)－(2，－1)＝(0，3)，n＝ta＋b＝t(1，1)＋(2，－1)＝(t＋2，t－1)，因为m⊥n，所以m·n＝0·(t＋2)＋3(t－1)＝0，解得t＝1.11．解析：∵a与b的方向相反，∴a＝λb(λ<0).设a＝(x，y)，则(x，y)＝λ(－2，3)，于是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2λ，,y＝3λ.))由|a|＝2eq\r(13)，得x2＋y2＝52，即4λ2＋9λ2＝13λ2＝52，∴λ2＝4，∴λ＝－2，∴a＝(4，－6).故选C.答案：C12．解析：因为a＝(1，2)，b＝(m，3)，所以2a－b＝(2－m，1)，因为a⊥(2a－b)，所以a·(2a－b)＝1×(2－m)＋2×1＝0，解得m＝4，所以b＝(4，3)，设a与b夹角为θ，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(1×4＋2×3,\r(12＋22)×\r(42＋32))＝eq\f(2\r(5),5)，即a与b夹角的余弦值为eq\f(2\r(5),5).故选B.答案：B13．解析：如图，建立平面直角坐标系．可得，A(0，0)，B(2，0)，C(2，eq\r(3))，D(0，eq\r(3))，E(1，0)，设P(2，a)(0≤a≤eq\r(3))，则eq\o(DA,\s\up6(→))＝(0，－eq\r(3))，eq\o(DP,\s\up6(→))＝(2，a－eq\r(3))，eq\o(DE,\s\up6(→))＝(1，－eq\r(3)).所以，eq\o(DA,\s\up6(→))·eq\o(DP,\s\up6(→))＝－eq\r(3)(a－eq\r(3))＝eq\r(3)，则a＝eq\r(3)－1，所以eq\o(DP,\s\up6(→))＝(2，－1).所以，eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DP,\s\up6(→))＝1×2＋(－eq\r(3))×(－1)＝2＋eq\r(3).故选A.答案：A14．解析：∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，k)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2，3)，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3，3－k)，若A＝90°，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，∴－2＋3k＝0，解得k＝eq\f(2,3)；若B＝90°，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，∴－3＋k(3－k)＝0，此时方程无解；若C＝90°，则eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，∴6＋3(3－k)＝0，解得k＝5.结合选项可知AB正确．故选AB.答案：AB15．解析：∵eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋b))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－b))，两边平方后得a·b＝0，即4(2－k)＋2(k＋1)＝0，解得k＝5.答案：516．解析：(1)由已知a＋b＝(2，0)＋(1，eq\r(3))＝(3，eq\r(3))，设与a＋b垂直的单位向量为e＝(x，y)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋\r(3)y＝0，,x2＋y2＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,y＝－\f(\r(3),2)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(1,2)，,y＝\f(\r(3),2)，))即与a＋b垂直的单位向量为(eq\f(1,2)，－eq\f(\r(3),2))或(－eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2)).(2)由已知a·b＝2，|a|＝2，|b|＝2，所以(ta＋b)·(a＋tb)＝ta2＋(t2＋1)a·b＋tb2＝2t2＋8t＋2，因为向量ta＋b与向量a＋tb的夹角为钝角，所以(ta＋b)(a＋tb)<0，2t2＋8t＋2<0，解得－eq\r