新教材2025版高中数学课时作业三十抛物线的简单几何性质2新人教A版选择性必修第一册

课时作业(三十)抛物线的简洁几何性质(2)[练基础]1．设a为实数，则曲线C：x2－eq\f(y2,1－a2)＝1不行能是()A．抛物线B．双曲线C．圆D．椭圆2．一个动圆与定圆F：(x－3)2＋y2＝4相外切，且与直线l：x＝－1相切，则动圆圆心的轨迹方程为()A．y2＝6xB．y2＝4xC．y2＝8xD．y2＝12x3．设A，B是抛物线x2＝4y上两点，O为原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的面积为16，则∠AOB等于()A．30°B．45°C．60°D．90°4．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F且倾斜角为45°的直线交C于A，B两点，A在x轴上方，则eq\f(|AF|,|BF|)＝()A．3＋2eq\r(2)B．1＋eq\r(2)C．8D．2eq\r(2)5．(多选)已知抛物线C：y＝eq\f(x2,8)的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，且|AF|＝2y0，则x0等于()A．2B．－2C．－4D．46．已知定点F(1，0)，动点P在y轴上运动，点M在x轴上，且eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))＝0，延长MP到点N，使得|eq\o(PM,\s\up6(→))|＝|eq\o(PN,\s\up6(→))|，则点N的轨迹方程是________．7．已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为抛物线C上在第一象限的点．若M为PF的中点，O为抛物线C的顶点，则直线OM斜率的最大值为________．8．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点M(x0，2)与焦点F的距离为|MF|＝p.(1)求x0和p的值；(2)直线l：y＝x－1与C相交于A，B两点，求直线AM，BM的斜率之积．[提实力]9．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，M是抛物线上一点，过点M作MN⊥l于N.若△MNF是边长为2的正三角形，则p＝()A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,2)C．1D．210．(多选)已知点F是抛物线y2＝2x的焦点，过点F的直线交抛物线于M、N两点，则下列结论正确的是()A．点M到焦点F的最小距离为1B．若点P的坐标为(2，1)，则|MP|＋|MF|的最小值为eq\f(5,2)C．以MF为直径的圆与抛物线的准线相切D．eq\f(1,|MF|)＋eq\f(1,|NF|)＝211．已知直线l是抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线，半径为eq\f(3,4)的圆过抛物线的顶点O和焦点F，且与l相切，则抛物线C的方程为________；若A为C上一点，l与C的对称轴交于点B，在△ABF中，sin∠AFB＝eq\r(2)sin∠ABF，则|AB|的值为________．12．动点M到点F(eq\f(1,4)，0)的距离比它到直线l：x＋eq\f(1,2)＝0的距离小eq\f(1,4)，记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)已知圆D：(x－2)2＋y2＝1，设P，A，B是C上不同的三点，若直线PA，PB均与圆D相切，若P的纵坐标为eq\r(2)，求直线AB的方程．[培优生]13.eq\r(4y＋（y－1）2)＋eq\r(（2\r(y)－1）2＋（y－5）2)的最小值为()A．5B．2＋eq\r(17)C．6D．1＋eq\r(26)课时作业(三十)抛物线的简洁几何性质(2)1．解析：因为曲线C的方程中x，y都是二次项，所以依据抛物线标准方程的特征，曲线C不行能是抛物线，故选项A正确；当1－a2>0时，曲线C为双曲线，故选项B错误；当1－a2＝－1时，曲线C为圆，故选项C错误；当1－a2<0且1－a2≠－1时，曲线C为椭圆，故选项D错误．答案：A2．解析：定圆F：(x－3)2＋y2＝4的圆心F(3，0)，半径为2，设动圆圆心P点坐标为(x，y)，动圆的半径为r，d为动圆圆心到直线x＝－1的距离，即r，则依据两圆相外切及直线与圆相切的性质可得，|PF|－2＝r，d＝r，所以eq\r(（x－3）2＋y2)－2＝x＋1，化简得：y2＝12x.∴动圆圆心轨迹方程为y2＝12x.答案：D3．解析：由|OA|＝|OB|，知抛物线上点A，B关于y轴对称，设Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a，\f(a2,4)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(a2,4)))，a>0.S△AOB＝eq\f(1,2)×2a×eq\f(a2,4)＝16，解得a＝4，∴△AOB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°.答案：D4．解析：由题意可知F(1，0),所以直线AB的方程为y＝x－1，代入抛物线方程可得x2－6x＋1＝0，解得xA＝3＋2eq\r(2)，xB＝3－2eq\r(2)，所以eq\f(|AF|,|BF|)＝eq\f(xA＋1,xB＋1)＝eq\f(4＋2\r(2),4－2\r(2))＝eq\f(2＋\r(2),2－\r(2))＝eq\f(6＋4\r(2),2)＝3＋2eq\r(2).答案：A5．解析：∵抛物线C：y＝eq\f(x2,8)，∴x2＝8y，∴焦点F(0，2)，准线方程为y＝－2.∵A(x0，y0)是C上一点，且|AF|＝2y0，由抛物线的定义，得y0＋2＝2y0，∴y0＝2，∴xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＝16，∴x0＝±4.答案：CD6．解析：由于|eq\o(PM,\s\up6(→))|＝|eq\o(PN,\s\up6(→))|，则P为MN的中点．设N(x，y)，则M(－x，0)，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(y,2)))，由eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))＝0，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x，－\f(y,2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(y,2)))＝0，所以(－x)·1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y,2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y,2)))＝0，则y2＝4x，即点N的轨迹方程是y2＝4x.答案：y2＝4x7．解析：由题意，可得F(1，0)，设Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),4)，y0))，(y0>0)，M(x，y)，∵M是线段PF的中点，则Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),8)，\f(y0,2)))，∴kOM＝eq\f(\f(y0,2),\f(1,2)＋\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),8))＝eq\f(4y0,4＋yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)))＝eq\f(4,\f(4,y0)＋y0)≤eq\f(4,2\r(\f(4,y0))×y0)＝1，当且仅当y0＝2时取等号，∴直线OM的斜率的最大值为1.答案：18．解析：(1)依题意抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点M(x0，2)与焦点F的距离为|MF|＝p，依据抛物线的定义可知x0＝eq\f(p,2)，将M点坐标代入抛物线方程得22＝2p×eq\f(p,2)⇒p＝2，x0＝1.(2)由(1)得抛物线方程为y2＝4x，M(1，2)，不妨设A在B下方eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x－1,y2＝4x))⇒A(3－2eq\r(2)，2－2eq\r(2))，B(3＋2eq\r(2)，2＋2eq\r(2))，所以kAM·kBM＝eq\f(－2\r(2),2－2\r(2))·eq\f(2\r(2),2＋2\r(2))＝2.9．解析：如图所示：准线l与横轴的交点为A，由抛物线的性质可知：|AF|＝p，因为若△MNF是边长为2的正三角形，所以|NF|＝2，∠MNF＝eq\f(π,3)，明显∠ANF＝eq\f(π,2)－eq\f(π,3)＝eq\f(π,6)，在直角三角形ANF中，sin∠ANF＝eq\f(|AF|,|NF|)⇒eq\f(1,2)＝eq\f(|AF|,2)⇒|AF|＝1⇒p＝1.答案：C10．解析：如图：Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))且准线为x＝－eq\f(1,2)，过F的直线交抛物线于M、N，则该直线斜率存在时不为0，由抛物线性质知：|MF|>|OF|＝eq\f(1,2)，即M到焦点F没有最小距离，A错误；如图，MA⊥抛物线准线，要使|MP|＋|MF|最小，则P，M，A共线，即|MP|＋|MF|＝|PA|＝eq\f(5,2)，B正确；以M为圆心，以MN为直径的圆与抛物线的准线相切，而以MF为直径的圆不与抛物线的准线相切，C错误；令MN为x＝ky＋eq\f(1,2)，联立抛物线可得：y2－2ky－1＝0，则yM＋yN＝2k，yMyN＝－1，∴xM＋xN＝k(yM＋yN)＋1＝2k2＋1，xMxN＝k2yMyN＋eq\f(k,2)(yM＋yN)＋eq\f(1,4)＝eq\f(1,4).由eq\f(1,|MF|)＋eq\f(1,|NF|)＝eq\f(|NF|＋|MF|,|MF||NF|)＝eq\f(xM＋xN＋1,xM·xN＋\f(1,2)（xM＋xN）＋\f(1,4))＝2，正确．答案：BD11．解析：由题意得：圆的圆心横坐标为eq\f(1,4)p，半径为eq\f(3,4)，∴eq\f(3,4)p＝eq\f(3,4)⇒p＝1，∴抛物线C的方程为y2＝2x；设A到准线的距离为d，∵sin∠AFB＝eq\r(2)sin∠ABF，∴|AB|＝eq\r(2)|AF|，∴eq\f(d,|AB|)＝eq\f(\r(2),2)＝cos∠ABF，∴∠ABF＝45°，∴lAB：y＝x＋eq\f(1,2)，代入y2＝2x，解得：xA＝eq\f(1,2)，yA＝1，∴|AF|＝xA＋eq\f(p,2)＝1＝d，∴|AB|＝eq\r(2).答案：y2＝2xeq\r(2)12．解析：(1)由题意得动点M到点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0))的距离等于到直线x＝－eq\f(1,4)的距离，所以曲线C是以Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0))为焦点，x＝－eq\f(1,4)为准线的抛物线．设C：y2＝2px(p>0)，则p＝eq\f(1,2)，于是C的方程为y2＝x.(2)由(1)可知P(2，eq\r(2))，设A(x1，y1)，PA的两点式方程为(y－y1)(2－x1)＝(x－x1)(eq\r(2)－y1).由x1＝yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))，y2≠eq\r(2)，可得PA：x－(y1＋eq\r(2))y＋eq\r(2)y1＝0.因为PA与D相切，所以eq\f(|2＋\r(2)y1|,\r(1＋（y1＋\r(2)）2))＝1，整理得yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋2eq\r(2)y1＋1＝0.因为yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＝x1，可得x1＋2eq\r(2)y1＋1＝0.设B(x2，y2)，同理可得x2＋2eq\r(2)y2＋1＝0.于是直线AB的方程为x＋2eq\r