2025版高考数学一轮总复习9.4抛物线及其性质习题

.4抛物线及其性质基础篇固本夯基考点一抛物线的定义及标准方程1.(2024课标Ⅰ,4,5分)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=()A.2B.3C.6D.9答案C2.(2024届南昌开学考,4)设F为抛物线C:x2=16y的焦点,直线l:y=-1,点A为C上随意一点,过点A作AP⊥l于P,则||AP|-|AF||=()A.3B.4C.2D.不能确定答案A3.(2024北京,7,4分)设抛物线的顶点为O,焦点为F,准线为l,P是抛物线上异于O的一点,过P作PQ⊥l于Q,则线段FQ的垂直平分线()A.经过点OB.经过点PC.平行于直线OPD.垂直于直线OP答案B4.(2024山西晋中二模,7)已知点F是抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,O为坐标原点,A,B是抛物线E上的两点,满意|FA|+|FB|=10,FA+FB+FO=0,则p=()A.1B.2C.3D.4答案D5.(2024届长春质量检测一,10)已知M是抛物线y2=4x上的一点,F是抛物线的焦点,若以Fx为始边,FM为终边的角,即∠xFM=60°,则|FM|等于()A.2B.433C.23答案D6.(2024届河南温县一中月考,12)双曲线C1:x2-y2=1和抛物线C2:y2=2px相交于点M,N,若△OMN的外接圆经过点A72,0,则抛物线C2的方程为(A.y2=32xB.y2=xC.y2=xD.y2答案A7.(2024长春其次次质检,10)已知抛物线y2=2px(p>0)上一点A(2,y0),F为焦点,直线FA交抛物线的准线于点M,满意2FA=AM,则抛物线方程为()A.y2=8xB.y2=16xC.y2=24xD.y2=32x答案C8.(2024课标Ⅲ卷地区大联考,9)已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,△ABC的三个顶点都在抛物线上,且△ABC的重心为抛物线的焦点,若BC边所在的直线方程为x+4y-20=0,则抛物线方程为()A.y2=16xB.y2=8xC.x2=16yD.x2=8y答案C9.(2024届湘豫名校联盟11月联考,13)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,点P(4,4)在C上,则|PF|=.

答案510.(2024北京,18,14分)已知抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1).(1)求抛物线C的方程及其准线方程;(2)设O为原点,过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M,N,直线y=-1分别交直线OM,ON于点A和点B.求证:以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.解析(1)由抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1),得p=2.所以抛物线C的方程为x2=-4y,其准线方程为y=1.(2)证明:抛物线C的焦点为F(0,-1).设直线l的方程为y=kx-1(k≠0).由y=kx-1,x2=-4y得x2+4kx-4=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1x2=-4,直线OM的方程为y=y1x1x.令y=-1,得点A的横坐标xA=-x1y1.同理得点B的横坐标xB=-x2y2.设点D(0,n),则DA=-x1y1,-1-n,DB=-x2y2,-1-n,DA·DB=x1x2y1y2+(n+1)211.(2024合肥一模,20)已知F是抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,直线l:y=k(x-m)(m>0)与抛物线E交于A,B两点,与抛物线E的准线交于点N.(1)当k=1时,|AB|=42m+2,求抛物线E(2)是否存在常数k,对于随意的正数m,都有|FA|·|FB|=|FN|2?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.解析设A(x1,y1),B(x2,y2).(1)由y2=2px,y=k(x-m)消去y得∵l与抛物线E交于两点,∴k≠0.又∵m>0,p>0,∴Δ=8k2mp+4p2>0恒成立,∴x1+x2=2m+2pk2,x1x2=m2.当k=1时,|AB|=(2)假设存在常数k满意题意.∵抛物线E的方程为y2=2px(p>0),∴其焦点为Fp2,0,准线为x=-p2从而|FN|2=p2+k2m+p22.由抛物线的定义得,|FA|=x1+p2,|FB|=x2+p2,∴|FA|·|FB|=x1+p2·x2+p2=x1x由|FA|·|FB|=|FN|2得m+p22+p2k2=p2+k2·m∵m+p22>0,p2∴存在k=±1,使得|FA|·|FB|=|FN|2对于随意的正数m都成立.考点二抛物线的几何性质1.(2024届河南开封月考,5)一种卫星接收天线如图(1)所示,其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线,经反射聚集到焦点F处,如图(2)所示.已知接收天线的口径AB为4.8m,深度为1m.若P为接收天线上一点,则点P与焦点F的最短距离为()图(1)图(2)A.0.72mB.1.44mC.2.44mD.2.88m答案B2.(2024届江西景德镇一中月考,9)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过抛物线上一点A作l的垂线,垂足为B.设C(2p,0),AF与BC相交于点D.若|CF|=|AF|,且△ACD的面积为922,则p的值为(A.2B.22C.3D.23答案D3.(2024课标Ⅱ,8,5分)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆x23p+y2p=1的一个焦点A.2B.3C.4D.8答案D4.(2024课标Ⅲ,5,5分)设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两点,若OD⊥OE,则C的焦点坐标为()A.14,0B.12,0答案B5.(2017课标Ⅰ,10,5分)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条相互垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为()A.16B.14C.12D.10答案A6.(2024豫东豫北十所名校联考四,11)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,M,N为抛物线上的两点(与坐标原点不重合),MA⊥l于A,NB⊥l于B,已知MN的中点D的坐标为(2,1),△ABF与△MNF的面积比为2∶1,则p的值为()A.4B.3C.1D.1或1答案C7.(2024皖南八校联考二,11)已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点(1,-2),经过焦点F的直线l与抛物线C交于A,B两点,A在x轴的上方,Q(-1,0),若以QF为直径的圆经过点B,则|AF|-|BF|=()A.23B.25C.2D.4答案D8.(2024北京,12,5分)已知抛物线C:y2=4x,C的焦点为F,点M在C上,若|FM|=6,则M的横坐标是.

答案59.(2024陕西铜川3月模拟,15)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(4,0),过点F作直线l交抛物线于M,N两点,则|NF|9-4答案110.(2024届河南平顶山月考,16)抛物线C:x=2py2(p>0)的焦点F到准线的距离为2,过点F的直线与C交于A,B两点,C的准线与x轴的交点为M,若△MAB的面积为32,则|AF||答案2或1考点三直线与抛物线的位置关系1.(2024届云南玉溪月考,7)已知直线l过抛物线C:y2=x的焦点,并交抛物线C于A,B两点,|AB|=2,则弦AB中点G的横坐标是()A.32B.43C.3答案C2.(2024贵州4月适应性测试,9)已知抛物线C:y2=2px(p>0),倾斜角为π6的直线交C于A,B两点.若线段AB中点的纵坐标为23,则p的值为(A.12B.1C.2答案C3.(2024非凡吉创3月联考,10)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过F且斜率为k的直线l交抛物线于A、B两点,分别以FA、FB为直径作☉M、☉N,不过F点的☉M、☉N的两条公切线交于点Q,两公切线分别切☉M于S、T,∠SQT=60°,则k=()A.±1B.±2C.±3D.±2答案C4.(2024课标Ⅰ,8,5分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为23的直线与C交于M,N两点,则FM·FN=(A.5B.6C.7D.8答案D5.(2024新高考Ⅰ,13,5分)斜率为3的直线过抛物线C:y2=4x的焦点,且与C交于A,B两点,则|AB|=.

答案166.(2024课标Ⅰ,19,12分)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为32的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;(2)若AP=3PB,求|AB|.解析设直线l:y=32x+t,A(x1,y1),B(x2,y2(1)由题设得F34,0,故|AF|+|BF|=x1+x2+由题设可得x1+x2=52.由y=32x+t,y2=3x可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,则x1+x2=-12(t-1)9.从而-12(t-1)9(2)由AP=3PB可得y1=-3y2.由y=32x+t,y2=3x可得y2-2y+2t=0.所以y1+y2=2.从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.代入C的方程得x1=3,x7.(2024届云南玉溪月考,20)已知抛物线E:y2=2px(p>0),过点P(3,0)的直线l交抛物线E于A,B,且OA·OB=-3(O为坐标原点).(1)求抛物线E的方程;(2)过P作与直线l垂直的直线m交抛物线E于C,D,求四边形ACBD面积的最小值.解析(1)设直线l的方程为x=ty+3,代入E:y2=2px整理得y2-2pty-6p=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),所以y1+y2=2pt,y1y2=-6p,所以x1x2=(y1y2)24p2=(-6p)24p2=9.由OA·OB=-3得x1x2(2)由(1)得y1+y2=4t,y1y2=-12,则|AB|=1+t2·(4t)2+48=41+t2·t2+3,因为AB⊥CD,所以|CD|=4·1+1t2·1t2+3(t≠0).所以S四边形ACBD=12|AB|·|CD|=82+t2+1t2·10+3t2+1t2,令t2+8.(2024届陕西洛南中学月考,20)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点与椭圆M:x24+y2(1)求抛物线C的方程;(2)直线y=x+m与抛物线C交于A,B两点,当m为何值时,以AB为直径的圆,恒过原点O?解析(1)由题意得,p2=1,所以p=2,所以抛物线的方程为y2(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立y=x+m,y2=4x,可得x2+2(m-2)x+m2=0,所以x1+x2=4-2m,x1x2=m2,由Δ=4(m-2)2-4m2>0,解得m<1,又以AB为直径的圆,恒过原点O,则OA⊥OB,可得OA·OB=0,即OA·OB=x1x2+y1y2=x1x2+(x1+m)(x2+m)=2x1x2+m(x1+x2)+m2=m2+4m=0,解得m=-4或m=0,所以当m=-4或综合篇知能转换考法一利用抛物线的定义解题1.(2024豫北六校1月联考,5)已知圆C与圆x2+(y-3)2=1外切,与直线y=0相切,则圆C的圆心的轨迹为()A.双曲线B.椭圆C.直线D.抛物线答案D2.(2024九师联盟第三次联考,10)已知点M(-4,-2),抛物线x2=4y,F为抛物线的焦点,l为抛物线的准线,P为抛物线上一点,过P作PQ⊥l,点Q为垂足,过P作抛物线的切线l1,l1与l交于点R,则|QR|+|MR|的最小值为()A.1+25B.25C.17D.5答案D3.(2024郑州一中等名校4月联考,8)已知过抛物线x2=12y的焦点F的弦与抛物线的两交点A,C在直线y=-3上的射影分别为点B,D,且|AF|=3|CF|,则△BFD的面积为()A.83B.123C.243D.483答案C4.(2024届安徽江淮十校联考一,11)已知抛物线y2=2px(p>0),F为焦点,直线过焦点F与抛物线交于A,B两点,O为原点,△AOB的面积为S,且|AB|=4|BF|=33S,则p=(A.2B.4C.6D.8答案D5.(2024届新疆克拉玛依模拟三,11)2024年是中国传统的“牛”年,可以在平面直角坐标系中用抛物线与圆勾画出牛的形象.已知抛物线Z:x2=4y的焦点为F,圆F:x2+(y-1)2=4与抛物线Z在第一象限的交点为Pm,m24,直线l:x=t(0<t<m)与抛物线Z的交点为A,直线l与圆F在第一象限的交点为B,则△FABA.(3,5)B.(4,6)C.(5,7)D.(6,8)答案B6.(2024届新疆莎车一中期中,15)过抛物线C:y2=4x的焦点F的动直线交C于A,B两点,线段AB的中点为N,点P(12,4).当|NA|+|NP|的值最小时,点N的横坐标为.

答案97.(2017课标Ⅱ,16,5分)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|=.

答案68.(2024新高考Ⅰ,14,5分)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程为.

答案x=-3考法二直线与抛物线的位置关系问题1.(2024长春第一次质检,10)已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点(点A在第一象限),且AB=4FB,则直线l的倾斜角为()A.π6B.π4C.π3答案C2.(2024成都二模,11)已知F为抛物线y2=2x的焦点,A为抛物线上的动点,点B(-1,0).当2|AB|2|AF|+1取最大值时A.2B.5C.6D.22答案C3.(2024课标Ⅲ,16,5分)已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若∠AMB=90°,则k=.

答案24.(2024届广西开学考,20)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M为抛物线C上一点,|MF|=8,且∠OFM=2π3(O为坐标原点(1)求抛物线C的方程;(2)过点F的直线l与抛物线C交于A,B两点,求△AOB面积的最小值.解析(1)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为Fp2,0,准线方程为x=-p2,过点M作准线的垂线,垂足为N,过点M作x轴的垂线,垂足为由题意得|MF|=|MN|=p+|MF|·cos60°,即8=p+4,解得p=4,故抛物线C的方程为y2=8x.(2)焦点F(2,0),由题意知直线l斜率不为0,设直线l方程为x=ty+2,由x=ty+2,y2=8x,消去x得y2-8ty-16=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则有y1+y2=8t,y1y2=-16,|AB|=1+t2|y1-y2|,又坐标原点到直线l的距离d=21+t2,所以S△AOB=12·d|AB|=|y1-y2|=(y1+5.(2024届山西长治月考,20)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,且点F与圆M:(x+4)2+y2=1上点的距离的最小值为4.(1)求C的方程;(2)设点T(1,1),过点T且斜率存在的两条直线分别交曲线C于A,B两点和P,Q两点,且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.解析(1)由题意知,圆心为M(-4,0),半径为1,Fp2,0,∴p2+4-1=4,∴p=2,故抛物线方程为y2=4x.(2)由题意设直线AB的方程为y=k1(x-1)+1,A(x1,y1),B(x2,y2),由y2=4x,y=k1(x-1)+1得k12x2-(2k12-2k1+4)x+(k1-1)2=0,x1+x2=2k12-2k1+4k12,x1x2=(k1-1)2k1设直线PQ的方程为y=k2(x-1)+1(k2≠k1),同理可得|TP||TQ|=3(1+k22)k22,由|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,得3(1+k12)k12=3(1+k12)k26.(2024届贵州部分重点中学联考,21)已知抛物线C:x2=2py(p>0)上的点P(x0,1)到其焦点F的距离为2.(1)求抛物线C的方程及点F的坐标;(2)过抛物线C上一点Q作圆M:x2+(y-3)2=4的两条斜率都存在的切线,分别与抛物线C交于异于点Q的A,B两点.证明:直线AB与圆M相切.解析(1)由题意,可得|PF|=1+p2=2,解得p=2,所以抛物线C的方程为x2=4y,焦点为(2)证明:由圆M:x2+(y-3)2=4,可得圆心M(0,3),半径r=2,设