四川省2024届高三下学期第二次统一监测（5月）数学（文）试卷

四川省2024届高三下学期第二次统一监测（5月）数学（文）试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|−3<x<2}，B={x|x2≤4}A．{x|−2≤x≤2} B．{x|0<x<2}C．{x|−2<x<2} D．{x|−2≤x<2}2．已知复数z满足z−2z=2−3i，则A．−2−i B．2−i C．−2+i D．2+i3．甲、乙两名运动员在一次射击训练中各射靶20次，命中环数的频率分布条形图如下．设甲、乙命中环数的众数分别为Z甲，Z乙，方差分别为s甲A．Z甲=Z乙，s甲C．Z甲>Z乙，s甲4．设α，β均为锐角，则“α>β”是“sinα>A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．执行右图所示的程序框图，若输入N的值为5，则输出S=（）A．20 B．30 C．62 D．1286．已知α∈(π2,π)，A．3−2610 B．1+6210 7．已知坐标原点在直线mx−2y=2m+8上的射影为点P(x0,y0A．(x0+1)C．(x0+1)8．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，表现出鲜明的艺术特色，蕴涵着极致的数学美．现有一幅右图所示的正三角形剪纸设计图（图中的圆为三角形内切圆，设计图的三个角的阴影部分均为菱形）．若在该正三角形设计图内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为（）A．3π9−112 B．3π9．已知F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，过F1的直线与双曲线C的左支交于A，B两点，若|AF1A．118 B．19 C．2910．已知函数f(x)=sin(ωx+2π①f(0)=32；②函数f(x)在③将y=cos2x的图象向左平移π12其中所有正确结论的序号是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③11．设球O的直径为42，球面上三个点A，B，C确定的圆的圆心为O1，∠O1OC=A．2 B．4 C．6 D．812．已知F1，F2分别是椭圆C：x2a2+y23=1的左、右焦点，O为坐标原点，M，N为C上两个动点，且∠MON=90°，A．157 B．127 C．1 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a=(1,2)，b=(−2,3)，c14．若x，y满足约束条件x+3y−7≤03x+2y−7≥02x−y−7≤0，则z=x+4y的最大值为15．已知△ABC的三内角A，B，C满足16sinCcos(A−B)+8sin2C=3π，则16．已知PC是三棱锥P−ABC外接球的直径，且PA⊥BC，PA=6，三棱锥P−ABC体积的最大值为8，则其外接球的表面积为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．某公司为了解旗下的某产品的客户反馈情况，随机抽选了250名客户体验该产品并进行评价，评价结果为“喜欢”和“不喜欢”，整理得到如下列联表：不喜欢喜欢合计男50100150女5050100合计100150250附：K2P(0.100.050.0100.001k2.7063.8416.63510.828（1）是否有99%的把握认为客户对该产品评价结果与性别因素有关系?（2）公司为进一步了解客户对产品的反馈，现从评价结果为“喜欢”的客户中，按性别用分层抽样的方法选取6人，收集对该产品改进建议．若在这6人中随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有1名女性的概率．18．已知数列{an}满足a（1）证明数列{1an（2）若数列{bn}满足，bn=(an19．如图，在三棱台ABC−A1B1C1中，AC1与A1C相交于点D，BB1⊥平面ABC，AB=6（1）求线段AC的长；（2）求三棱锥C−A20．已知函数f(x)=e（1）若f(x)有3个极值点，求a的取值范围；（2）若x≥0，a≤12，证明：21．已知与圆P：x2+(y−2)2=1内切，且与直线l1：y=−3相切的动圆Q的圆心轨迹为曲线C，直线l与曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，延长AO，BO分别与直线l2（1）求曲线C的方程；（2）过点A作AA1⊥l2于A1，若A1四、（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．［选修4-4：坐标系与参数方程］在直角坐标系xOy中，图形C1的方程为3x−y=0．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，图形C2（1）求C2（2）已知点P的直角坐标为(1,3)，图形C1与C2交于A，B两点，直线AB上异于点P的点Q23．［选修4-5：不等式选讲］已知f(x)=|2x−2|+|x|−2x．（1）设函数g(x)=−2x2+8x+m，若函数f(x)与g(x)（2）令f(x)的最小值为T．若a,b∈R，证明：

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：由x2≤4，即(x+2)(x−2)≤0，解得所以B={x|x2≤4}={x所以A∩B={x|−2≤x<2}.故答案为：D【分析】本题考查集合的交集运算.先解一元二次不等式可求出集合B，再利用交集的定义：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，‌称为集合A和B的交集，‌根据定义进行计算可求出A∩B.2．【答案】A【解析】【解答】解：设复数z=a+bi,a∈R,b∈R，则−a=23b=−3，解得a=−2b=−1，故故答案为：A.【分析】设复数z=a+bi,3．【答案】A【解析】【解答】解：根据图表知：甲､乙命中环数的众数均为7环，即Z甲甲运动员命中的环数比较分散，乙运动员命中的环数比较集中，则s甲故答案为：A.【分析】根据图表，利用众数的意义以及数据的分散程度判断即可.4．【答案】C【解析】【解答】解：α，β均为锐角，正弦函数y=sinx在因此α>β⇔sinα>sinβ，所以“故答案为：C【分析】利用正弦函数的图象和性质可得正弦函数y=sinx在(0,π5．【答案】B【解析】【解答】解：由S=0,k=1，得S=2,k=3,S=6+2×3=12,k=5,S=20+2×5=30,故答案为：B【分析】本题考查程序框图.根据给定的程序框图进行计算可得：k=5,S=20+2×5=30,6．【答案】C【解析】【解答】解：因为α∈(所以α+π又因为sin(α+所以α+π所以cos(α+所以由两角差的正弦公式得sin=1所以sinα=故答案为：C.【分析】本题考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式.根据α∈(π2,π)，7．【答案】B【解析】【解答】解：直线l:mx−2y=2m+8，即m(由原点O在直线l上的射影点为P，得OP⊥l，则点P在以OA为直径的圆上，该圆圆心为(1,−2所以x0，y0满足的关系是故答案为：B【分析】本题考查轨迹方程的求法.先求出直线所过的定点A(2,−4)，由射影的定义可得OP⊥l，据此推出点P在以OA8．【答案】A【解析】【解答】解：如图，设该正三角形边长为2，显然内切圆半径为33易知△ABC是边长为1的正三角形，则DF=33，菱形DEFH的边长为则每个菱形的面积为33×1则S=π×(33)由几何概型概率公式得P=π故答案为：A【分析】本题考查几何概型概率公式.设该正三角形边长为2，利用三角形重心的性质可求出内切圆的半径，利用等边三角形的性质可求出DF，进而可求出菱形DEFH的边长，据此可求出每个菱形的面积和阴影部分面积，利用几何概型概率公式进行计算可求出概率.9．【答案】B【解析】【解答】解：如图，

由于|AF1|=2|F1B|，|AB|=|B设|BF1|=m，则|A所以3m−m=2a，即m=a，则|BF1|=a，|AF1在△BAF2中由余弦定理故答案为：B【分析】本题考查双曲线的简几何性质.设|BF1|=m，利用双曲线的定义可推出：m=a，据此可表示出|BF1|，|AF10．【答案】D【解析】【解答】解：①.因为函数f(x)的最小正周期为π且ω>0，所以T=2πω=π所以f(x)=sin则f(0)=sin2π3=②.当0<x<π3时，2π3<2x+2π所以函数f(x)在(0,π3③.将y=cos2x的图象向左平移π12个单位得到y=因为f(x)=sin(2x+2π3)=sin(2x+故答案为：D【分析】本题考查正弦函数的图象和性质.根据函数的最小正周期，利用周期计算公式可求出ω，进而可求出函数解析式，通过计算可判断①；根据x的取值范围可得：2π3<2x+2π3<4π3，利用正弦函数的单调性可推出f(x)在(0,π3)上的单调性，判断②11．【答案】B【解析】【解答】解：如图所示：△O1OC为直角三角形，∠O1所以AO在△ABC中，由正弦定理可得BCsin又BC=2OO1，所以sin∠CAB=1所以O1是BC的中点，由O1O2+所以BC=2AO1=4所以S△ABC=1即△ABC面积的最大值为4.故答案为：B【分析】本题考查球的内接几何题问题.先画出图形，根据直角三角形的性质可得：AO1=OO1，利用正弦定理可推出∠CAB=π2，利用球截面的性质可得：O12．【答案】D【解析】【解答】解：依题意当M在椭圆短轴的顶点时△MF1F所以12×2c×3=3，解得c=1当直线MN的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，M(x1,由y=kx+mx24+y在Δ=48(4k2−m2又∠MON=90°，所以OM⋅ON=0即x1x2所以(k所以7m2=12当直线MN的斜率不存在时，则H为MN与x轴的交点，又∠MON=90°，根据对称性可知∠MOH=45°，设H(t,0)，则M(t,所以t24+t2又F1(−1,0)，F2所以HF故答案为：D【分析】本题考查椭圆方程，直线与椭圆的位置关系.根据题意当M在椭圆短轴的顶点时△MF1F2面积取得最大值，利用三角形的面积公式可求出c，利用椭圆的关系式可求出a，据此可求椭圆方程，当直线MN的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，M(x1,y1)，N(x2,y2)，联立直线与椭圆方程，消元、应用韦达定理可得：x113．【答案】1或-4【解析】【解答】解：因为a=(1,2)，b所以a+c=(1因为(a+c)⊥(c解得t=1或t=−4.故答案为：1或−4.【分析】本题考查平面向量数量积的坐标表示公式.先求出a+c、c−b的坐标，根据题意可得：(a14．【答案】9【解析】【解答】解：作出可行域，如图所示：由3x+2y−7=0x+3y−7=0，解得x=1y=2，即A1,2；

由2x−y−7=03x+2y−7=0，解得由2x−y−7=0x+3y−7=0，解得x=4y=1，即故约束条件表示的是以三点A(1,目标函数可化为y=−14x+z4，平移直线y=−14x故答案为：9.【分析】作出可行域，数形结合求目标函数的最大值即可.15．【答案】3【解析】【解答】解：因为16sinCcos即16sinC[cos故△ABC的面积与△ABC外接圆的面积之比为12故答案为：316【分析】由题意，利用正弦定理化边为角结合两角和差余弦公式可得32sin16．【答案】52π【解析】【解答】解：因为PC是三棱锥P−ABC外接球的直径，所以PA⊥AC，PB⊥BC，又因为PA⊥BC，AC∩BC=C，所以PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，则BC⊥PA，又因为PB⊥BC,PA∩PB=P，所以BC⊥面而AB⊂平面PAB，所以BC⊥AB；则三棱锥P−ABC的体积为V=1因为AB⋅BC≤BC2+AB22=AC22，当且仅当AB=BC时等号成立，

所以体积的最大值为故三棱锥P−ABC的外接球的表面积为：S=4π(PC故答案为：52π.【分析】根据题意可得PA⊥平面ABC和BC⊥AB，利用三棱锥体积公式和重要不等式，可得三棱锥P−ABC的体积最大值AC22，根据已知条件求出AC17．【答案】（1）记事件H0为“客户对该产品评价结果与性别因素没有关系”，

由列联表可得：K2=250×(50×100−50×50)2100×150×100×150=125（2）由题意：抽取的6人中，有男性6×100100+50=4（名），

有女性6×50100+50=2（名），

设“在这6人中随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有1名女性”为事件A，

记4名男性为A,B,C,D，2名女性为E,F，

则从6人中抽取2人的所有可能结果为：

(A,B),(A,C),【解析】【分析】本题考查独立性检验，古典概型的计算公式.

（1）按照独立性检验步骤：先求出K2，将K（2）利用分层抽样计算公式分别求出抽取的6人中男性与女性人数，再写出从6人中抽取2人的所有可能结果，所抽取的2人中至少有1名女性的可能结果，利用等可能事件的古典概型概率公式进行计算可求出答案.18．【答案】（1）由a1=32，即1an+1−1故数列{1an则1an−1​​​​​​（2）由bn=(a则S​​​​​​​【解析】【分析】本题考查等差数列的概念，等差数列的通项公式，裂项相消法求数列的和.

（1）根据数列递推公式进行变形可得1an+1−1−1an（2）依题通过化简可得：bn=119．【答案】（1）连接C1B，因为DE//平面BCC1B1，平面ABC1∩所以DE//BC由AE=2EB，有又A1C1//AC，即所以AC=2A​​​​​​（2）因为AB=6，BC=4，AC=213所以AC2=A又A1B1//AB，又AC=2A1C1，所以C1又BB1⊥平面ABC，平面A所以BB1⊥所以VC−【解析】【分析】本题考查直线与平面平行的性质，三棱锥的体积计算公式.

（1）连接C1B，利用直线与平面平行的性质可推出DE//BC1，从而可得AD=2（2）先利用勾股定理证明AB⊥BC，再结合已知条件可证明A1B1⊥C1B1，根据题意可证明：20．【答案】（1）由f(x)=e可得到f'当x=0时不是f'则可得exx2构造函数g(x)=exx则g'(x)=ex(x−2)所以当x∈(−∞,0)，g'当x∈(0,2)，g'当x∈(2,+∞)，g'所以g(x)而当x→−∞时，g(x)→0，当x→0时，g(x)→+∞，当x→+∞时，g(x)→+∞，所以a>e则a的取值范围为(e（2）构造函数h(x)=f(x)−a则h'(x)=e构造函数u(x)=h'(x)=再令v(x)=u'(x)=因为a≤12时，则v'(x)=e而v(x)≥v(0)=1−2a，所以u(x)在[0,所以u(x)≥u(0)=0，所以h(x)在[0,故h(x)≥h(0)=1−1=0，即f(x)≥ax【解析】【分析】本题考查利用导函数研究函数的极值，函数的零点，利用导函数研究函数的单调性.

（1）由f(x)=ex−a3x3−1有3个极值点，可推出导函数f'(x)=ex−ax2具有3个零点，原问题可转化为exx（2）构造函数h(x)=f(x)−ax2−x=ex−a21．【答案】（1）依题意，动圆Q在圆P外，设动圆Q的半径为r，且r>1，由圆Q与圆P内切，得|QP|=r−1，由圆Q因此点Q到P(0,2)即曲线C是以P(0,所以曲线C的方程为x2​​​​​​（2）线段MN的长度存在最小值，理由如下：设A