沪科版数学+九年级上册+教案

第21章二次函数与反比例函数

21.1二次函数

教学目标

【知识与技能】

以实际问题为例理解二次函数的概念，并掌握二次函数关系式的特点.

【过理与方法】

能够根据实际问题熟练地列出二次函数的关系式,并求出函数的自变量的取值范围.

【情感、态度与价值观】

联系学生已有知识，让学生积极参与函数的学习过程，使学生体会函数的思想.

重力难点

【重点】

二次函数的概念.

【难点】

能够根据实际问题熟练地列出二次函数的关系式,并求出函数的自变量的取值范围.

教学过程

一、问题引入

1.一次函数和反比例函数是如何表示变量之间的关系的？

[一次函数的表达式是丫=1^+15(1<工0),反比例函数的表达式是y§(kKO)]

2.如果改变正方体的极长x,那么正方体的外表积y会随之改变,y和x之间有什么关系？

，：正方体的外表积y与棱氏x之间的关系式是y=6x2.)

3.物体自由下落的距离s随时间I的变化而变化,s与I之间有什么关系？

i下落的距离s随时间I变化的关系式是s=igt\)

上面问题2、3中变量之间的关系可以用哪一种函数来表示?这种函数有哪叱性质?它的图象是什么？它与以前学过的

函数、方程等有哪些关系？

这就是本节课要学习的二次函数.(教师板书课题)

二、新课教授

师:我们再来看几个问题.

问题1某水产养殖户用氏40m的围网,在水库中围一块矩形的水面,投放鱼苗.要使围成的水面面积最大,那么它的

边长应是多少米？

这个问题首先要找出围成的矩形水面面积与其边长之间的关系.设围成的矩形水面的一边长为xm,那么，矩形水面的

另一边长应为(20-x)m.假设它的面积为Sn>\那么有S=x(20-x)=-x>20x.

问题2有一玩具厂，如果安排装配工15人,那么每人每天可装配玩具190个;如果增加人数,那么每增加】人,可使

每人年天少装配玩具10个.问增加多少人才能使每天装配玩具总数最多?玩具总数最多是多少？

设增加x人,这时,共有(15+x)个装配工,每人每天可少装配10x个玩具,因此每人每天只装配(190-lOx)个玩具.所

以,增加人数后,每天装配玩具总数y可表示为

y=(190-10x)(l5+x)=-10X2+40X+2850.

这两个问题中，函数关系式都是用自变量的二次式表示的.

二次函数的定义:一股地,形如y=ax2+bx+c(a,b、c是常数,aKO)的函数叫做二次函数.其中，x是自变埼a叫做二次

项的系数,b叫做一次项的系数,c叫做常数项.

二次函数的自变量的取值范围一般都是全体实数,但是在实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题布.意义.如问

题1中,0<x<20,因为矩形的两边之和是20m.

三、典型例题

【例1】判断以下函数是否为二次球数?如果是，指出其中常数a、b、c的值.

(l)y=l-3x;;(2)y=x(x-5);

'：3)y=1x4x+l;(4)y=3x(2-x)+3x2;

⑸y=3xz+；x+i；⑹yM2+5x+6；

■：7)y=x'+2x2-l.

解:⑴、(2)是二次函数.⑴中，a=-3,b=0,c=l;⑵中，a=l,b=-5,c=0.

【例2】当k为何值时，函数yXk-Dd^+k+i为二次函数？

解：令k、k=2,得ki=-2,g.

当k,=-2时，k-l=-2-l=-3W0;

当一=1时,kT=l-l=O.

所以当k=-2时，函数y=-3x2+l为二次函数.

【例3]写出以下各题的函数关系式,并判断它们是什么类型的函数.

U)正方体的外表积S(cnd与棱长a(cm)之间的函数关系式：

-2)网的面积y(cm?)与它的周长x(cm)之间的函数关系式；

(3)箜形的两条对角线长的和为26cm,求菱形的面积SSm5)与一条对角线长之间的函数关系式.

解：(1)S=6a2,是二次函数；⑵y=3是二次函数；⑶S=%(26-x)，是二次函数.

四、稳固练习

1.(口答)以下函数中，哪些是二次函数？

(l)y=3xz-l;(2)y=5x'-2x;(3)y=-2x>x-1：(4)y=4-x'：(5)y-;⑹y=3x'+g;(7)y=x'.

【答案】(1)(2)(3)(7)是二次函数

2.y=(m+l)xm2m-3x+l是二次函数,那么m的值为.

【答案】2

3.一个恻柱的高等于底面半径,写出它的外表积S与底面半径r之间的关系式.

【答案】S=4nr2

五、课堂小结

本节课主要学习了以下内容：

1.二次函数的概念:形如y=ax%bx+c(a、b、c是常数,aWO)的函数叫做二次函数.

2.能够根据实际问题熟练地列出二次函数的关系式，并求出函数的自变量的取值范围.

教学反思

本节课从实际问题入手，结合学生已有的知识经验，观察、归纳出二次函数的概念以及二次函数的一,般表达式

y=ax*bx+c(a、b、c毡常数,a#0),并使学生从中体会函数的思想.在本节课的教学过程中，学生经常列不出二次函数关

系式，对于实际问题会忘记给出自变量的取值范围,这些问题要通过加强训练来解决.

21.2二次函数的图象和性质

第1课时二次函数y=ax2的图象和性质

教学目标

【知识与技能】

使学生会用描点法画出函数y=a/的图象,理解并掌握抛物线的有关概念及其性质.

【过程与方法】

使学生经历探索二次函数y=ax’‘的图象及性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验，培养学生分析、解决问题

的能力.

【情感、态度与价值观】

使学生经历探索二次函数y=ax?的图象和性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维品质.

重点难点

【重点】

使学生理解抛物线的有关概念及性质，会用描点法画出二次函数y-ax，的图象.

【难点】

用描点法画出二次函数丫=2/的图象以及探索二次函数的性质.

教学过程

一、问题引入

1.一次函数的图象是什么?反比例函数的图象是什么？

I•次函数的图象是•条直线,反比例函数的图象是双曲线.)

2.画函数图象的一般步骤是什么？

一般步骤：(D列表(取几组X,y的对应值);(2)描点(根据表中x,y的数值在坐标平面中描点(x,y)):(3)连线(用平滑

曲线).

3,二次函数的图象是什么形状?二次函数有哪些性质？

i运用描点法作二次函数的图象,然后观察、分析并归纳得到二次函数的性质.)

二、新课教授

【例】】画出二次函数y=x?的图象.

解：(1)列表中门变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值.

X・・・-3-2-10123・・・

y・・・9410149・・・

(2)描点:根据上表中x,y的数值在平面直角坐标系中描点(x,y).

⑶连线:用平滑的曲线顺次连接各点，得到函数y=x?的图象,如下图.

思考:观察二次函数y=x?的图象，思考以卜问题：

il)二次函数y=Y的图象是什么形状？

i2)图象是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么？

(3)图象有最低点吗?如果有,最低点的坐标是什么？

师生活动：

孜师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x?的图象,通过数形结合解决上面的3个问题.

学生动手画图,观察、讨论并归纳,积极展示探窕结果,教师评价.

函数y=x?的图象是一条关于y轴(x=0)对称的曲线,这条曲线叫做抛物线.实际上二次函数的图象都是I旭物线.二次函

数y=x?的图象可以简称为抛物线y=x2.

由图象可以看出，抛物线y=x?开口向上;y轴是抛物线y=x"的对称轴:抛物线y=x，与它的对称轴的交点(0,0)叫做抛物

线的:币点，它是橄物线y=x?的最低点.文陈卜.每条抛物线都有对称轴,极物线与对你轴的交点叫做拗物线的顶点，顶点舁抛

物线的最低点或最高点.

【例2]在同一直角坐标系中，画出函数ygx?及y=2x，的图象.

解:分别填表，再画出它们的图象.

X•••-4-3-2-101234•••

甲・・・84.520.500.524.58—

X•••-2-1.5-1-0.500.511.52・・・

y=2xz•••84.520.500.524.58•••

思考：函数y』/、y=2x「的图象与函数y=x?的图象有什么共同点和不同点？

帅生活动：

教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y^x?、y=2x]的图象.

学生动手画图,观察、讨论并归纳,答复探究的思路和结果,教师评价.

抛物线『lx?、y=21与抛物线y=x?的开口均向上，顶点坐标都是(0,0),函数y=21的图象的开口较窄,广!/的图象的

开口较大.

探究1:画出函数y=-x-y=-#、y=-2d的图象，并考虑这些图象有什么共同点和不同点.

师生活动：

学生在平面直角坐标系中画出函数y=-x2、y=-Ax\y=-2x?的图象,观察、讨会并归纳

教师巡视学生的探究情况，假设发现问题,及时点拨.

学生汇报探究的思路和结果，教师评价,给出图形.

抛物线y=-x\y=Tx\y=-2x/开口均向卜.，顶点坐标都是(0,0),函数y=-2x：的图象开口最窄,丫=-白2的图象开口最大.

探究2:比照抛物线y=/和y=-x2,它们关于x轴对称吗?抛物线y=ax°和y=-a/呢？

师生话动：

学生在平面直角坐标系中画出函数yr，和y=-x?的图象,观察、讨论并归纳.

教师巡视学生的探究情况,发现问题,及时点拨.

学生汇报探究思路和结果,教师评价，给出图形.

地物线厂X?、厂的图象关于x轴对称.一般地，抛物线y-ax?和y-Q—的图象也关于x轴对称.

救师引导学生小结(知识点、规律和方法).

一般地,抛物线y=a(的对称轴是y轴,顶点是原点.当a>0时,抛物线y=a/的开口向上,顶点是抛物线的最低点,当a

越大时，抛物线的开口越小；当a<0时,抛物线y-ax?的开口向下，顶点是抛物线的最高点，当a越大时,抛物线的开口越人.

从二次函数y=ax2的图象可以看出:如果a>0,当x<0时,y随x的增大而减小,当x〉0时,y随x的增大而增大;如果

a<0,当x<0时，y随x的增大而增大，当x>0时,y随x的增大而减小.

三、鬼固练习

1.抛物线y=-4x2-4的开口向,顶点坐标是,对称轴是，当x=时,y有域值,是.

【答案】下(0,-4)x=00大-4

2.当mH时，y=(m-l)x2-3m是关于x的二次函数.

【答案】1

3.抛物线产-3乂2上两点A(x,-27),B(2,y),那么x=,y=.

【答案】-3或3T2

4.抛物浅y=3x*与直设y=kx+3的交点坐标为(2,b),那么k=,b=.

【答案】自2

5.抛物线的顶点在原点,对称轴为y轴,且经过点(T,-2),那么抛物线的表达式为.

【答案】y=-2x?

6.在同一坐标系中，图象与y=21的图象关于x轴对称的是0

A.y=x2B.y=#

C.y=-2x'D.y=-x2

【答案】C

7.抛物线y=4x;y=-2/、y=x'的图象，开口最大的是0

A.y=x2B.y=4x2

C.y=-2x'D.无法确定

【答案】A

8.对于抛物线y=x°和y=-x?在同一坐标系中的位置.，以下说法错误的选项是()

A.两条抛物线关于x轴对称

B.两条抛物线关于原点对称

C.两条抛物线关Ty轴对称

D.两条抛物线的交点为原点

【答案】C

四、课堂小结

L二次函数y=ax?的图象过原点且关于y轴对称，白变量x的取值范围是一切实数.

2.二次函数y=ax?的性质：抛物线y=ax：的对称轴是y轴,顶点是原点.当a>0时，抛物线y=x”开口向上,顶点是抛物浅

的最低点,当a越大时,抛物线的开口越小;当a<0时,抛物线y=a1开口向下,顶点是抛物线的最高点，当a越大时,抛物线

的开口越大.

3.二次函数y=ax'的图象可以通过列表、描点、连线三个步骤画出来.

教学反思

本Q课的内容主要研究二次函数y=ax：'在a取不同值时的图象,并引出抛物线的有关概念，再根据图象总结抛物线的

有关性质.整个内容分成：(1)例1是根底；⑵在例1的根底之上引入例2,让学生体会a的大小对抛物线开口宽阔程度的

影响：(3)例2及后面的练习探究让学生领会a的正负对抛物线开口方向的影响；14)最后让学生比拟例】和例2,练习史纳

总结.

第2课时二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(1)

教学才标

【知识与技能】

使学生能利用描点法作出函数y=ax2+k的图象.

【过程与方法】

止学生经历二次函数y=ax2+k的性质探究的过程,理解二次函数y=aY+k的性质及它与函数y=ax?的关系，培养学生观

察、分析、猜测并归纳、解决问题的能力.

【情感、态度与价值观】

培养学生敢于实践、勇于发现、大胆探索、合作创新的精神.

重点难点

【重点】

会用描点法画出二次函数y-ax2ik的图象，理解二次函数y-ax2ik的性质，理解函数y-ax2ik与函数y-ax?的相互关系.

【难点】

上确理解二次函数y=ax2+k的性质，理解抛物线y=ax'k与抛物线y=ax：的关系.

教学过程

一、问题引入

1.二次区数y=2x?的图象是,它的开口风顶点坐标是,对称轴是,在对称轴的左侧,y随x的增大而；在对称轴的右例,y

随x的增大而.函数y=a/在*=时，取最值，其最值是.

2.抛物线y=x，l,y=x2-l的开口方向、对称轴和顶点坐标各是什么？

工抛物线y=x>l,y=x2-l与抛物线y=x?有什么关系？

二、新课教授

问题1:对于前面提出的第2、3个问题，你符采取什么方法加以研究？

i画出函数y=x，】、y=x2-l和函数y=/的图象，并加以比拟.)

问题2:你能在同一直角坐标系中间出函数y=x2+l与y=x，的图象吗？

师生活动：

学生回忆画二次函数图象的三个步骤，按照画图的步骤画出函数y=x'l、y=/的图象,观察、讨论并归纳.

教师写出解题过程,与学生所画的图象进行比拟，制助学生纠正错误.

解：⑴列表：

・・・

X•••-3-2-10123

y=x'…9410149•••

y=xJ+l•••105212510・・・

(2)抽点:用表格中各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描点.

■：3)连线:用光滑曲线顺次连接各点，得到函数y=x"和y=x2+1的图象.

问题3:当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又

有什么关系？

师生活动:

教师引导学生观察上表并思考，当x依次取-3、-2、-1、0、1、2、3时，两个函数的函数值之间有什么关系？

学生观察、讨论、归纳得：当自变量x取同一数值时，函数y=x，l的函数值比函数y=x?的函数值大1.

敢师引导学生观察函数y=x?和函数y=:/+l的图象，先研究点(T,l)和点(7,2)、点(0,0)和点(0,1)、点(1,1)和点

(1,2)的位置关系.

学生观察、讨论、归纳得:反映在图象上，函数y=x&l的图象上的点都是由函数y=x?的图象上的相应点向上移动了一

个单位.

问题4:函数y=x2+l和y=x?的图象有什么联系？

学生由问题3的探索可以得到结论:函数y=x2+l的图象可以看成是将函数y=x?的图象向上平移一个单位得到的.

问题5:现在你能答复前而提出的第2个问题了吗？

生：函数y=x」+l与函数y=/的图象升U方向相同、对称轴相同，但顶点坐标不同，函数y=x，的图象的顶点坐标是

(0,0),而函数y=x41的图象的顶点坐标是01).

用题6:你能由函数y=x2+l的图象得到函数y=x2+l的•些性质吗？

生：当x<0时，函数值y随x的增大而减小；当x>0时，函数值y随x的增大而增大；当x=0时，函数取得最小值,最小

值是y=l.

问题7:先在同一直角坐标系中㈣出函数y=2x?+l与函数y=2/T的图象，再作比拟，说说它们有什么联系和区别.

师生活动.

政师在学生.画函数图象的同时,巡视指导.

学生动手画图，观察、讨论、归纳.

解：先列表：

X•••-2-1.5-1-0.500.511.52•••

y=2x'+l・・・95.531.511.535.59・・•

y=2x2-l・・・73.51-0.5-1-0.513.57・・・

然后描点画图，得y=2x、l,y=2x2-l的图象.

教师让学生发表意见，归纳为：函数y=2x2+l与函数y=2x2-l的图象的开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同.函数

y=2x2-l的图象可以看成是将函数y=2x、l的图象向卜平移两个单位得到的.

问题8:你能说出函数丫=/・1的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标以及这个函数的性质吗？

师生活动:

敢师让学生观察y=x2-l的图象.

学生动手画图，观察、讨论、归纳.

学生分组讨论这个函数的性胡，各组选派名代发发言.最后归纳总结；函数y=/T的图彖的开口向上，对称轴为y轴,

顶点坐标是(0,-1)；当x<0时,函数值y随x的增大而减小；当x>0时,函数值y隧x的增大而增大;当x=0时,函数取得最

小值，最小值为y=-l.

三、携同练习

L在同一直角坐标系中，画出函数y=1x,、y=#+2、y=1x、2的图象.

⑴填表：

X…•••

J

y=1x.・・•••

y=#+2・・・・・・

y=1x'-2・・・・・・

(2)抽点,连线：

【答案】略

2.观察第1题中所画的图象，并填空:

il)抛物线y』x?+2的开口方向是,对称轴是,顶点坐标是:抛物线丫=京42是由抛物线丫耳一向平移个单位长度得到

的；

(2)对于y=^-2.当x>0时，函数值y随x的增大而:当x<0时，函数值y随x的增大而；

⑶对于函数ygx：当x=时,函数取最值,为.

对于函数y=1x12,当x=时，函数取最值，为.

对于函数y=1xJ-2,当乂=时，函数取最值,为.

【答案】(】)向上x=0(0,2)上2(2)增大减小(3)0小00小20小-2

四、课堂小结

1.函数y=ax“a#0)和函数y=ax、k(a于0)的图象形状相同，只是位置不同,把y=ax?的图象沿y轴向上(当k>0时)或

向下:当k<0时)平移Iki个单位就得到函数y=ax、k的图象.

2.抛物线y=ax、k(a#0)的性质.

il)抛物线y=ax<k(aW0)的对称轴是y轴，顶点坐标是(0,k).

(2)当a>0时，抛物线开口向上，并向上无限伸展；

当a<0时,抛物线开口向卜：并向卜无限伸展.

-3)当a>0时,在对称轴的左侧,y随x的增大而减小;在对称轴的右侧,y随x的增大而增大.这时,当x=0时,y有最小

值k.

当a<0时,在对称轴的左侧,y随x的增大而增大;在对称轴的右侧,y随x的增大而减小.这时,当x=0时,y有最大值

k.

教学反思

通过本节课的学习，学生做到了以下三个方面:首先,掌握函数丫=2乂“2工0)和函数y=ax2+k(aW0)的图象形状相同，只

是位置不同,把y=ax，的图象沿y轴向上(当k>0时)或向下(当k<0时)平移|k|个单位就得到y=ax2+k的图象;其次,能够理

解a、k对函数图象的影响，初步体会二次函数关系式与图象之间的联系,渗透数形结合的思想，为今后的学习打下良好的

根底:最后,形成严谨的学习态度和求简的数学精神.

第3课时二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(2)

教学标

【知识与技能】

使学生能利用描点法画出二次函数y=a(x-h)2的图象.

【过程与方法】

止学生经历探究二次函数y=a(x-h)2性质的过程,理解函数y=a(x-h尸的性质,理解二次函数y=a(x-h)2的图象与二次

函数y=ax?的图象的关系，培养学生观察、分析、猜测、归纳解决问题的能力.

【情感、态度与价值观】

培养学生敢于实践、勇于发现、大胆探索、合作创新的精神.

电点难点

【盎点】

会用描点法画出二次函数y=a(x-h)2的图象，理解二次函数y=a(x-h尸的性质,理解二次函数y=a(x-h)2的图象与二次

函数y=a/的图象的关系.

【难点】

理解二次函数y=a(x-h)’的性质，理解二次函数y=a(x-h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的相互关系.

教学过程

一、问题引入

1.抛物线y=2x，l、y=2--l的开口方向、对称轴和顶点坐标各是什么？

2.二次函数y=T(x+l)?的图象与二次函数y=Tx?的图象的开口方向、对称加以及顶点坐标相同吗?这两个函数的图

象之I可有什么关系？

二、新课教授

问题1：你将用什么方法来研究问题引入2提出的问题？

i画出二次函数y=f(x+l)2和二次函数y=T/的图象，并加以观察.)

问题2:你能在同一直角坐标系中画出二次函数yhgx?与y=*(x+l)2的图象吗？

师生活动：

教师引导学生作图,巡视、指导.

学生在直角坐标系中画出图形.

效师对学生的作图情况作出评价,指正错误，出示正确的图形.

解：⑴列表：

X•••-3-2-10123・・・

12•••9119・・・

尸产"2-2~20-22

y=-1(x*D,_11_9・・・

•••-20~2-2-a

(2)抽点:用表格中的各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描点；

⑶连线:用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数丫=-夫’和y=f(x+l)2的图象.

句题3:当函数值y取同•数值时,这两个函数的自变量之间有什么关系?反映在图象上,相应的两点之间的位置又有

什么关系？

师生活动：

教师引导学牛.观察上表，当y依次取0,-1-2、T时，两个函数的自变量之间有什么关系？

学生归纳得到，当函数值取同一数值时,函数y=4(x+l)2的自变量比函数y=-12的自变量小1.

政师引导学生观察函数y=』(x+l/和函数y=Tx，的图象，先研究点(-I,-》和点(0,-3、点(-1,0)和点(0,0)、点(1「

2)和点(2,-2)的位置关系.

学生归纳得到：反映在图象上，函数y=W(x+D2的图象上的点都是由函数y=T/的图象上的相应点向左移动了一个单

位.

问题4:函数y=f(x+l)2和丫=-*-'的图象有什么联系？

学生由问题3的探索,可以得到结论:函数y=-1x+l尸的图象可以看成是将函数y=Tx，的图象向左平移一个单位得到

的.

问题5:现在你能答复前面提出的第2个问题「吗？

学生观察两个函数的图象得：函数y=W(x+D?的图象开口方向向下，对称轴是直线x=T,顶点坐标是(-1,0);函数y=-

?二的图象开口方向向下,对称轴是直线x=0,顶点坐标是(0.0).

问题6:你能由函数y=T(x+l)2的图象得到函数y=-，x+l)2的一些性质吗？

生：当x>-l时，函数值y随x的增大而减小；当x<-l时，函数值y随x的增大而增大；当x=-l时，函数取得最大值,最

大值y=0.

问题7:先在同一直角坐标系中画出函数y=-?x-l)2与函数y=-%2的图象，再作比拟，说说它们布•什么联系和区别.

师生活动：

政师在学生画函数图象的同时,巡视指导.

学生画图并仔细观察,细心研究.

教师让学生发表意见,归纳为:函数y=S(x-l)2与函数丫=-32的图象的开口方向相同,对称轴、顶点坐标不同.函数

y=W«x-l)2的图象可以看成是将函数y=-$：的图象向右平移一个单位得到的.

网题8:你能说出函数y=-g(x-l)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及这个函数的性质吗？

师生活动：

教师引导学生观察尸!(x1尸的图象，并引导学生思考其性质.

学生分组讨论这个函数的性质，各组选派一名代表发言，达成共识:函数y=T(xT)2的图象的开口向下,对称轴为直线

x=l,顶点坐标是(1,0).当x<l时，函数值y随x的增大而增大；当x>l时,函数值y随x的增大而减小;当x=l时，函数取

得最大值,最大值y=0.

三、琪固练习

1.在同一宜角坐标系中，画出函数y=吴y=T(x+l)：丫=脓-1)2的图象.

⑴填表:

12y=1(x+l)2y=1(x-l)2

X丫=炉

..…••••••

..・・・・・・・・・

(2)指点,连线：

【答案】略

2.观察第I题中所画的图象,并填空：

门)抛物税丫4(/1>的开门方向是，对称轴是，顶点坐标是;抛物设y=1(x+D‘是由抛物级广1一向平移个单.位长度为

到的；

⑵对于y4(x-l)2,当x>l时，函数值>随x的增大而；当x<l时，函数值y随x的增大而；

⑶对于函数丫=呆，当x=时，函数取得最值，为：

对于函数y=1(x+D；当x=时，函数取得最值,为；

对于函数y=1(x-l)2,当x=时，函数取得最值,为.

【答案】(1)向上x=-l(-l,0)左1(2)增大减小(3)0小0-1小01小0

四、课堂小结

结论如下：

1.函数y=ax"aH0)和函数y=a(x-h)"aW0)的图象形状相同，只是位置不同，把kax'的图象沿x轴向左(当h<0时)

或向右(当h>0时)平移Ih|个单位就得到y=a(x-h)?的图象.

2.抛物线y=a(x-h)*(a¥0)的性质.

il)抛物线y=a(x-h)"a¥0)的对称轴是x=h,顶点坐标是(h,0).

(2)当a>0时，抛物线开口向上，并向上无限伸展；

当a<0时,抛物线开口向下，并向下无限伸展.

⑶当a>0时,在对称轴的左侧,y随x的增大而减小;在对称轴的右侧,y随x的增大而增大；当x=h时,y有最小值.

当a<0时,在对称轴的左侧,y随x的熔大而增大;在对称轴的右侧,y随x的增大而减小;当x=h时,y有最大值.

教学反思

通过本节课的学习，要求大家理解并掌握函数y=ax“a/O)和函数y=a(x-h)2：aW0)的图象形状相同，只是位置不同，

把的图象沿x轴向左(当h<0时)或向右(当h>0lit)平移|h|个单位就得到y・c(xh尸的图象；能够理解c、h对函数

图象的影响,初步体会二次函数关系式与图象之间的联系,渗透数形结合的思想,为今后的学习打下良好的根底.本节课的

处理是在教帅的引导下,学生进行观察、归纳、总结，充分表达以学生为主、教肺为辅的教学思想.这样有助于提高学生

分析问题和解决问题的能力.

第4课时二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(3)

教学m标

【知识与技能】

使学生理解并掌握函数y=a(x-h)，k的图象与函数y=ax?的图象之间的关系;会确定函数y=a(x-h)，k的图象的开口

方向、对称轴和顶点坐标.

【过程与方法】

让学生经历函数y=a(x-h)2+k性质的探索过程,理解并掌握函数y=a(x-h)2+k的性质,培养学生观察、分析、猜测、

归纳并解决问题的能力.

【情感、态度与价值观】

渗透数形结合的数学思想,培养学生良好的学习习惯.

重点难点

【重点】

确定函数y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标,理解函数y=a(x-h)2+k的图象与函数y=ax?的图象之

间的关系,理解函数y=a(x-h)2+k的性质.

【难点】

王确理解函数y=a(x-h)2+k的图象与函数y=ax?的图象之间的关系以及函数y=a(x-h)2+k的性质.

教学过程

一、问题引入

1.函数y=x2+l的图象与函数y=x，的图象有什么关系？

1函数y=x2+l的图象可以看成是将函数y=Y的图象向上平移一个单位得到的.)

2.函数y=-1(x+1)2的图象与函数y=-1>；2的图象有什么关系？

［函数y=$(x+l)2的图象可以看成是将函数y=-32的图象向左平移一个单位得到的.)

工函数y=-1(x+l)2-l的图象与函数丫二-权"的图象有什么关系？函数y=4(x+l)2-l有哪些性质？

［函数y=W(x+l)2-i的图象可以看作是将函数y=-I?的图象向左平移一个单位，再向下平移一个单位得到的,开口向

下,龙称轴为直线x=-l,顶点坐标是(-1,-1).)

二、新课教授

问题1:你能向出函数y=fx；y=-i(x+l)2,y=-1(x+l)2-l的图象吗？

师生活动:

教师引导学生作图，巡视，指导.

学生在直角坐标系中画出图形.

救师对学生的作图情况作出评价，指正其错误，出示正确图形.

解:⑴列表:

■12y=4(x4-l)Jy=-i(x+l)2-l

Xy/

・・・・・・•••…

9

-3-2-3

13

-2-222

1

-1~20-1

13

00~2

1-2-3

97

2-222

9

32-8-9

・・・・・・・・・・・・

（2）描点:用表格q」各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描点；

⑶连线:用光滑曲线顺次连接各点，得到函数产Tx；y=T（x+l）2,y=T（x+l>2-l的图象.

问题2:观察图象，答且以下问题.

函数开口方向对称轴顶点坐标

12

向下x=0(0,0)

yTx+l)?向下x=-l(-1,0)

y=~(x+l)2-l向下x=-l(-1,-1)

问题3:从.上表中，你能分别找到函数y=W（x+l）Ty=f（x+l）2与函数y=-#的图象之间的关系吗？

师生活动：

敦师引导学生认真观察上述图象.

学生分组讨论,互相交流，让各组代表发言,达成共识.

教师对学生答复错误的地方进行纠正,补充.

函数y=-，x+l）2-l的图象可以看成是将函数y=W（x+l）2的图象向下平移1个单位得到的.

函数y=T（x+l）；的图象可以看成是将函数y=T/的图象向左平移1个单位得到的.

改抛物线y=-1（x+l）2-l是由抛物线y=-；x2沿x轴向左平移1个单位长度得到抛物线y=-1（x+D\再将抛物线y=-

“XT），向下干移1个单位得到的.

除了上述平移方法外，你还有其他的平移方法吗？

师生活动:

教师引导学生积极思考,并适当提示.

学生分组讨论,互相交流,让各组代表发言,达成共识.

教师对学生答复错误的地方进行纠正,补充.

抛物线y=4（x+D2-l是由抛物线y=-吴向下平移1个单位长度得到抛物线尸步7,再将抛物线y=-1x2-l向左平移

1个单位得到的.

问题4:你能发现函数y=-1（x+D2-l有哪些性质吗？

师生活动:

我师组织学牛.讨论，互相交流.

学生分组讨论,互相交流,让各组代表发言,达成共识.

教师对学生答第错误的地方进行纠正,补充.

当X<-1时，函数值y随x的增大而增大；当x>T时，函数值y随x的增大而减小；当x=T时，函数取得最大值,最大

值y=T.

三、典型例题

【例】要修建•个圆形喷水池,在水池中心竖直安装•根水管，在水管的顶端安装•个喷水头，使喷出的抛物线形

水柱在与池中心的水平距离为1m处到达最高，高度为3m,水柱落地处离池中心3n,水管应多长？

师生活动：

孜师组织学生讨论、交流,如何将文字语言转化为数学语言.

学生积极思考、解答.

指名板演，教师讲评.

解:如图(2)建立的直角坐标系中，点(1,3)是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线时应的函数关系式是

y=a(x-l)+3(0《x《3).

由这段抛物线经过点(3,0)可得0=a(3-l)，3,

解得a=4

4

因此y=Y(x-l)2+3(03xW3),

当x=0时,y=2.25,也就是说,水管的长应为2.25m.

四、稳固练习

1.画出函数y=2(x-】)?-2的图象，并将它与函数y=2(x-1)2的图象作比拟.

【答案】函数y=2(x-l)：'的图象可以看成是将函数y=2x"的图象向右平移一个单位得到的，再将y=2(xT)'的图象向下

2

平移两个单位长度即得函数y=2(x-l)-2的图象.

2.说出函数y=-1(x-l)2+2的图象与函数丫=^^的图象的关系，由此进一步说出这个函数图象的开口方向、时称轴和

顶点坐标.

【答案】函数y=4(x-l)2+2的图象可以看成是将函数尸1(的图象向右平移一个单位,再向上平移两个单位得到的，

其开口向卜：对称轴为直线x=l,顶点坐标是(1,2).

五、课堂小结

本节知识点如下：

一般地,抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax%J形状相同，位理不同，把抛物线y=ax‘向上(或下)向左(或右)平移,可以得到他

物线y=a(x-h)、k.平移的方向和距离要根据h、k的值来确定.

抛物线y=a(x-h)?+k有如下特点：

⑴当a>0时,开口向上：当a<0时，开口向下；

，⑵对称轴是x=h;

冷)顶点坐标是(h,k).

教学反思

本节内容主要研究二次函数y=a(x-h)2+k的图象及其性质.在前两节课的根底上我们清楚地认识到y=a(x-h)2+k与

y=a/有密切的联系，我们只需对y=ax?的图象做适当的平移就可以得到y=a(x-h)i+k的图象.由y=ax?得到y=a(x-h)、k有

两种平移方法：

方法一：

向左(或右)平称个单位,「、.向上(或下)平移屋I个单位

r

y=ax---------------------------------------►y=a<x-hjy=a(x-h)+k

方法二:

Z向上(或下)平移IM个单位,向左(或右)平移1人1个单位，，\2,

y=ax------------------------>y=ax2+k------------------------>y=a(<-h)+k

在课堂上演示平移的过程,让学生切身体会到两种平移方法的区别和联系，这里利用几何画板软件效果会更好.

第5课时二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质

教学习标

【知识与技能】

使学生掌握用描点法画出函数y=ax2+bx+c的图象的方法.

【过程与方法】

使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标的方法;让学生经历探索二次函数

y=ax>bx+c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解并掌握二次函数y=ax2+bx+c的性质.

【情感、态度与价值观】

鼓励学生思维多样性，开展学生的创新意识.

申点难点

【重点】

用描点法画出二次函数y-ax,bx+c的图象和通过配方法确定抛物线的对称轴、顶点坐标.

【难点】

理解并掌握二次函数y=ax，bx+c(a/O)的性质以及它的对称轴、顶点坐标.

教学过程

一、问题引入

1.你能说出函数y=-4(x-2)?+l的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？

i函数y=-4(x2尸+1的图象的开口向下,对称轴为直线x=2,顶点坐标是(2,1).)

2.函数y=-4(x-2)2+l的图象与函数丫=-4/的图象有什么关系？

［函数y=-4(x-2)2+l的图象可以看成是将函数y=7x2的图象向右平移2个单位,再向上平移1个单位得到的.)

3.函数y=-4(x-2)2+l具有哪些性质？

i当x<2时，函数值y随x的增大而增大；当x>2时,函数值y随x的增大而减小；当x=2时，函数取得最大值,最大值

y=l.)

二、新课教授

用题1.思考:我们知道，像尸a(x-»+k这样的函数,容易确定相应抛物线的顶点坐标为(h,k),二次函数y=|x2-6x+21

也能化成这样的形式吗？

师生活动：

教师引导学生回忆二次函数y=a(x-h)2+k的相关性质及配方知识.

学生积极回忆二次函数y=a(x-h)2+k的相关性质及配方知识.

学生积极展示探究结果,教师评价.

配方可得：

2

y=lx-6x+21

=1(x-6)>3

由此可知，抛物线y=#-6x+21的顶点坐标走(6,3),对称轴是x=6.

问题2.你能画出二次函数y=#-6x+21的图象吗？

2

分析：由以上问题的解决,我们己经知道函数y=lx-6x+21=i(x-6)+3的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.根据这

些特点，可以采用描点作图的方法作出函数y=1/-6x+21的图象，通过观察图象进而得到这个函数的性质.

师生活动：

政师引导学生在平面宜角坐标系中画出二次函数y《x2-6x+21的图象.

学生回忆画图的步骤,动手画图,相互匕拟.

教师对学生的作品进行评价,对于画得好的学生要加以鼓励，激发学生•的学习热情.

解：⑴列表:在x的取值范围内列出函数对应值表：

X・・・3456789・・・

157715.・・

y•••535

V77V

(2)描点:用表格里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点；

⑶连线:用光滑的曲线顺次连接各点,得到函数y=1x2-6x+21的图象.

与同学分享作图过程.

说明：(1)列表时,应根据对称轴是x=6,以6为中心,对称地选取自变量的值,求出相应的函数值.相应的函数值是样等

的；

⑵直角坐标系中,x轴、y轴的长度单位可以任意定,且允许x轴、y轴选取的长度单位不同.要根据具体问题选取适

当的长度单位，使画出的图象美观.

问题3.观察函数ygx」-6x+21的图象，它具有哪些性质？

师生活动：

孜师引导学生观察二次函数yW/Fx+Z】的图象.

学生分组讨论，各组选派代表发言，全班交流,达成共识.

对函数y=1x?-6x+21来说：

当x<6时，函数值y随x的增大而减小；

当x>6时,函数值y随x的增大而增大;

当x=6时，函数取得最小值，最小值y=3.

问题4.以上介绍的都是给出一个具体的二次函数来研究它的图象与性质.那么，对于任意一个二次函数y=ax、bz+c(a

WO),如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标呢?你能把结果写出来吗？

亚生活动：

救师留给学生足够的思考、探究时间.

学生联系上述处理问题的方法,试着对y-ax」+bx+c进行配方.

师生共同完成配方过程,分享成功.

y=ax'+bx+c

=a(x2A)+c

=a[此x+（犷-哈力+c

=a[x2S+（箫+c《

当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下.

对称轴是x=-?,顶点坐标是(技,4).

2a2a4a

三、毯固练习

1.通过配方写出以下抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.

•1)y=3x2+2x;(2)y=-xz-2x;

(3)y=-2x-+8x-8(4)y=1x2-4x+3.

【答案】略

2.二次函数y=2x'+bx+c的顶点坐标是数2),那么b=,c=.

【答案】-40

2

3.二次函数y=-2x-8x-6f当时，y随x的增大而增大；当x=时,y有最值,是.

【答案】x<-2-2大2

4.用配方法求二次函数y=-2x?