人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册学案：3 2 1 双曲线及其标准方程

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册PAGEPAGE13.2双曲线3.2.1双曲线及其标准方程课标要求素养要求1.了解双曲线的定义，几何图形和标准方程.2.理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题.通过推导双曲线方程的过程，提升逻辑推理素养；通过求解双曲线的方程，提升数学运算素养.新知探究如图，取一条拉链，打开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在拉链的拉手M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线，这条曲线就是双曲线的其中一支.问题在以上情境中，曲线上的点应满足怎样的几何条件？〖提示〗如题图，曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|＝常数.1.双曲线的定义当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹就是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值差大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.2.双曲线的标准方程在双曲线中，a不一定大于b.“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2ca，b，c的关系c2＝a2＋b2拓展深化〖微判断〗1.平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线.(×)〖提示〗必须是距离的差的绝对值才表示双曲线.2.平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.(×)〖提示〗平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹为双曲线的一支.3.平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.(×)〖提示〗因为||PF1|－|PF2||＝8＝|F1F2|，故对应的轨迹为两条射线.〖微训练〗1.已知双曲线的焦点为F1(－4，0)，F2(4，0)，双曲线上一点P满足|PF1|－|PF2|＝2，则双曲线的标准方程是________.〖解析〗由题知c＝4，a＝1，故b2＝15，所以双曲线的标准方程为x2－eq\f(y2,15)＝1.〖答案〗x2－eq\f(y2,15)＝12.设点P是双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1上任意一点，F1，F2分别是左、右焦点，若|PF1|＝10，则|PF2|＝________.〖解析〗由双曲线方程，得a＝3，b＝4，c＝5.当点P在双曲线的左支上时，由双曲线定义，得|PF2|－|PF1|＝6，所以|PF2|＝|PF1|＋6＝10＋6＝16；当点P在双曲线的右支上时，由双曲线定义，得|PF1|－|PF2|＝6，所以|PF2|＝|PF1|－6＝10－6＝4.故|PF2|＝4或|PF2|＝16.〖答案〗4或163.已知双曲线x2－y2＝m与椭圆2x2＋3y2＝72有相同的焦点，则m的值为________.〖解析〗椭圆方程为eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,24)＝1，c2＝a2－b2＝36－24＝12，∴焦点F1(－2eq\r(3)，0)，F2(2eq\r(3)，0).∵双曲线eq\f(x2,m)－eq\f(y2,m)＝1与椭圆有相同焦点，∴2m＝12，∴m＝6.〖答案〗6〖微思考〗1.双曲线定义中的“距离的差的绝对值”中的“绝对值”能否去掉？〖提示〗不能去掉.若去掉，就变成双曲线的一个分支了.2.双曲线中a，b，c的关系如何？与椭圆中a，b，c的关系有何不同？〖提示〗双曲线中，b2＝c2－a2，即c2＝a2＋b2，其中c>a，c>b，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中，b2＝a2－c2，即a2＝b2＋c2，其中a>b>0，a>c，c与b大小不确定.题型一双曲线定义的应用〖例1〗(1)若双曲线E：eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于()A.11 B.9C.5 D.3(2)设F1，F2分别是双曲线x2－eq\f(y2,24)＝1的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于()A.4eq\r(2) B.8eq\r(3)C.24 D.48〖解析〗(1)由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，即|3－|PF2||＝6，解得|PF2|＝9(负值舍去)，故选B.(2)由题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|PF1|－|PF2|＝2，,3|PF1|＝4|PF2|，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|PF1|＝8，,|PF2|＝6.))又由|F1F2|＝10，可得△PF1F2是直角三角形，则S△PF1F2＝eq\f(1,2)·|PF1|·|PF2|＝24.〖答案〗(1)B(2)C规律方法求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF1|－|PF2||＝2a求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c－a).〖训练1〗在△ABC中，已知|AB|＝4eq\r(2)，A(－2eq\r(2)，0)，B(2eq\r(2)，0)，且内角A，B，C满足sinB－sinA＝eq\f(1,2)sinC，求顶点C的轨迹方程.解由sinB－sinA＝eq\f(1,2)sinC及正弦定理，可得b－a＝eq\f(c,2)，从而有|CA|－|CB|＝eq\f(1,2)|AB|＝2eq\r(2)<|AB|，由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去顶点).∵a＝eq\r(2)，c＝2eq\r(2)，∴b2＝c2－a2＝6，∴顶点C的轨迹方程为eq\f(x2,2)－eq\f(y2,6)＝1(x>eq\r(2)).题型二求双曲线的标准方程〖例2〗根据下列条件，分别求双曲线的标准方程.(1)经过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(15,4)))，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16,3)，5))；(2)c＝eq\r(6)，经过点(－5，2)，焦点在x轴上.解(1)法一若焦点在x轴上，则设双曲线的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，由于点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(15,4)))和Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16,3)，5))在双曲线上，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(9,a2)－\f(225,16b2)＝1，,\f(256,9a2)－\f(25,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝－16，,b2＝－9))(舍去).若焦点在y轴上，则设双曲线的方程为eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，将P，Q两点坐标代入可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(225,16a2)－\f(9,b2)＝1，,\f(25,a2)－\f(256,9b2)＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝9，,b2＝16，))所以双曲线的标准方程为eq\f(y2,9)－eq\f(x2,16)＝1.综上，双曲线的标准方程为eq\f(y2,9)－eq\f(x2,16)＝1.法二设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，∵P，Q两点在双曲线上，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9m＋\f(225,16)n＝1，,\f(256,9)m＋25n＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－\f(1,16)，,n＝\f(1,9).))∴所求双曲线的标准方程为eq\f(y2,9)－eq\f(x2,16)＝1.(2)法一依题意可设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0).则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝6，,\f(25,a2)－\f(4,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝5，,b2＝1，))∴所求双曲线的标准方程为eq\f(x2,5)－y2＝1.法二∵焦点在x轴上，c＝eq\r(6)，∴设所求双曲线方程为eq\f(x2,λ)－eq\f(y2,6－λ)＝1(其中0<λ<6).∵双曲线经过点(－5，2)，∴eq\f(25,λ)－eq\f(4,6－λ)＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去).∴所求双曲线的标准方程是eq\f(x2,5)－y2＝1.规律方法求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程，然后求出a，b的值.若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂.若双曲线过两定点，可设其方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，通过解方程组即可确定m，n，避免了讨论，从而简化求解过程.〖训练2〗分别求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－5，0)，(5，0)，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8；(2)焦点在x轴上，经过点P(4，－2)和点Q(2eq\r(6)，2eq\r(2)).解(1)由双曲线的定义知，2a＝8，所以a＝4，又知焦点在x轴上，且c＝5，所以b2＝c2－a2＝25－16＝9，所以双曲线的标准方程为eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1.(2)因为焦点在x轴上，故可设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，将点(4，－2)和(2eq\r(6)，2eq\r(2))代入方程得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(16,a2)－\f(4,b2)＝1，①,\f(24,a2)－\f(8,b2)＝1，②))解得a2＝8，b2＝4，所以双曲线的标准方程为eq\f(x2,8)－eq\f(y2,4)＝1.题型三双曲线中的焦点三角形问题〖例3〗如图，已知F1，F2是双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的两个焦点.若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积.解双曲线的标准方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1，故a＝3，b＝4，c＝eq\r(a2＋b2)＝5.将||PF2|－|PF1||＝2a＝6两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.在△F1PF2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq\f(100－100,2×32)＝0，且0°＜∠F1PF2＜180°，∴∠F1PF2＝90°，∴S△F1PF2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝eq\f(1,2)×32＝16.规律方法在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件||PF1|－|PF2||＝2a的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用.〖训练3〗已知双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的左、右焦点分别是F1，F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积.解由eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1得，a＝3，b＝4，c＝5.由双曲线的定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°，所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝64，所以S△F1PF2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2＝eq\f(1,2)×64×eq\f(\r(3),2)＝16eq\r(3).一、素养落地1.通过本节课的学习，提升逻辑推理素养及数学运算素养.2.双曲线定义中||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)不要漏了绝对值符号，当2a＝|F1F2|时表示两条射线.3.在双曲线的标准方程中，a>b不一定成立.要注意与椭圆中a，b，c的区别，在椭圆中a2＝b2＋c2，在双曲线中c2＝a2＋b2.4.用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出关于a，b，c的方程组.如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2＋ny2＝1(mn<0)的形式求解.二、素养训练1.已知F1(3，3)，F2(－3，3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝4，则P点的轨迹是()A.双曲线 B.双曲线的一支C.不存在 D.一条射线〖解析〗因为|PF1|－|PF2|＝4，且4<|F1F2|，由双曲线定义知，P点的轨迹是双曲线的一支.〖答案〗B2.若椭圆eq\f(x2,34)＋eq\f(y2,n2)＝1和双曲线eq\f(x2,n2)－eq\f(y2,16)＝1有相同的焦点，