人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册学案：2 1 2 两条直线平行和垂直的判定

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册PAGEPAGE12．1.2两条直线平行和垂直的判定学习目标1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件.2.会运用条件判定两直线是否平行或垂直3.运用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题．知识点一两条直线(不重合)平行的判定类型斜率存在斜率不存在前提条件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°对应关系l1∥l2⇔k1＝k2l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在图示知识点二两条直线垂直的判定图示对应关系l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2思考两直线的斜率相等是两直线平行的充要条件吗？〖答案〗不是，垂直于x轴的两条直线，虽然平行，但斜率不存在．1．若l1∥l2，则k1＝k2.(×)2．若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直．(×)3．若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．(√)一、两条直线平行的判定例1已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0)，B(2，－1)，C(4,2)，D(2,3)，试判断四边形ABCD是否为平行四边形，并给出证明．解四边形ABCD是平行四边形，证明如下：AB边所在直线的斜率kAB＝－eq\f(1,2)，CD边所在直线的斜率kCD＝－eq\f(1,2)，BC边所在直线的斜率kBC＝eq\f(3,2)，DA边所在直线的斜率kDA＝eq\f(3,2).因为kAB＝kCD，kBC＝kDA，所以AB∥CD，BC∥DA.因此四边形ABCD是平行四边形．反思感悟判断两条不重合的直线是否平行的方法跟踪训练1(1)已知l1经过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2经过点M(5，－2)，N(5,5)，判断直线l1与l2是否平行．解∵l1与l2都与x轴垂直，且l1与l2不重合，∴l1∥l2.(2)试确定m的值，使过点A(m＋1,0)，B(－5，m)的直线与过点C(－4,3)，D(0,5)的直线平行．解由题意直线CD的斜率存在，则与其平行的直线AB的斜率也存在．kAB＝eq\f(m－0,－5－m＋1)＝eq\f(m,－6－m)，kCD＝eq\f(5－3,0－－4)＝eq\f(1,2)，由于AB∥CD，所以kAB＝kCD，即eq\f(m,－6－m)＝eq\f(1,2)，得m＝－2.经验证m＝－2时直线AB的斜率存在，所以m＝－2.二、两条直线垂直的判定例2已知△ABC的顶点为A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，求m的值．解若∠A为直角，则AC⊥AB，∴kAC·kAB＝－1，即eq\f(m＋1,2－5)·eq\f(1＋1,1－5)＝－1，解得m＝－7；若∠B为直角，则AB⊥BC，∴kAB·kBC＝－1，即eq\f(1＋1,1－5)·eq\f(m－1,2－1)＝－1，解得m＝3；若∠C为直角，则AC⊥BC，∴kAC·kBC＝－1，即eq\f(m＋1,2－5)·eq\f(m－1,2－1)＝－1，解得m＝±2.综上所述，m＝－7或m＝3或m＝±2.反思感悟判断两条直线是否垂直在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直．跟踪训练2判断下列各题中l1与l2是否垂直．(1)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；(2)l1经过点A(3,4)，B(3,10)，l2经过点M(－10,40)，N(10,40)．解(1)k1＝－10，k2＝eq\f(3－2,20－10)＝eq\f(1,10)，k1k2＝－1，∴l1⊥l2.(2)l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴；k2＝eq\f(40－40,10－－10)＝0，则l2∥x轴，∴l1⊥l2.垂直与平行的综合应用典例已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定图形ABCD的形状．解由题意知A，B，C，D四点在坐标平面内的位置，如图所示，由斜率公式可得kAB＝eq\f(5－3,2－－4)＝eq\f(1,3)，kCD＝eq\f(0－3,－3－6)＝eq\f(1,3)，kAD＝eq\f(0－3,－3－－4)＝－3，kBC＝eq\f(3－5,6－2)＝－eq\f(1,2).所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，所以AB∥CD.由kAD≠kBC，所以AD与BC不平行．又因为kAB·kAD＝eq\f(1,3)×(－3)＝－1，所以AB⊥AD，故四边形ABCD为直角梯形．〖素养提升〗用代数运算解决几何图形问题(1)利用直线的斜率判定平面图形的形状一般要运用数形结合的方法，先由图形作出猜测，然后利用直线的斜率关系进行判定．(2)明确运算对象，探究运算思路，是对逻辑推理与数学运算核心素养的考查．1．若过点P(3,2m)和点Q(－m，2)的直线与过点M(2，－1)和点N(－3,4)的直线平行，则m的值是()A.eq\f(1,3)B．－eq\f(1,3)C．2D．－2〖答案〗B〖解析〗由kPQ＝kMN，即eq\f(2m－2,3－－m)＝eq\f(4－－1,－3－2)，得m＝－eq\f(1,3).经检验知，m＝－eq\f(1,3)符合题意．2．已知直线l1的斜率为a，l2⊥l1，则l2的斜率为()A.eq\f(1,a) B．－eq\f(1,a)C．a D．－eq\f(1,a)或不存在〖答案〗D〖解析〗当a≠0时，由k1·k2＝－1知，k2＝－eq\f(1,a)，当a＝0时，l2的斜率不存在．3．已知两条直线l1，l2的斜率是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的两个根，则l1与l2的位置关系是()A．平行 B．垂直C．可能重合 D．无法确定〖答案〗B〖解析〗由方程3x2＋mx－3＝0，知Δ＝m2－4×3×(－3)＝m2＋36>0恒成立．故方程有两相异实根，即l1与l2的斜率k1，k2均存在．设两根为x1，x2，则k1k2＝x1x2＝－1，所以l1⊥l2，故选B.4．(多选)若l1与l2为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是α1，α2，斜率分别为k1，k2，则下列命题正确的是()A．若l1∥l2，则斜率k1＝k2B．若k1＝k2，则l1∥l2C．若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2D．若α1＝α2，则l1∥l2〖答案〗ABCD5．若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b，3－a)，则线段PQ的垂直平分线的斜率为________．〖答案〗－1〖解析〗