全国统考高考数学复习专题6立体几何与空间向量-

2017年高考“最后三十天”专题透析2017年高考“最后三十天”专题透析好教育云平台--教育因你我而变好教育云平台--教育因你我而变立体几何与空间向量考点：1．空间几何体的表面积与体积（1）多面体的表面积S棱柱表=S棱柱侧+2（2）旋转体的表面积①圆柱：S表=2πr(r+l)，其中r为底面半径，②圆锥：S表=πr(r+l)，其中r为底面半径，③圆台：S表=π(r'2+r④球体：S球=4π（3）几何体的体积公式①柱体：V柱体=Sℎ，其中S为底面面积，②椎体：，其中S为底面面积，ℎ为高；③台体：，其中S'、S分别为上、下底面面积，ℎ为高；④球体：，其中r为球的半径．2．空间点、直线、平面之间的位置关系（1）平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线在这个平面内．公理2：过不同在一条直线上的三点，有且只有一个平面．推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一直线的两条直线平行．3．直线、平面平行的判定及其性质（1）直线与平面平行的判定定理文字语言：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．符号语言：a⊄α，b⊂α，a//图形语言：如下图．（2）直线与平面平行的性质定理文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．符号语言：a//α，a⊂β，图形语言：如下图．（3）平面与平面平行的判定定理文字语言：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．符号语言：a⊂β，b⊂β，a∩b=P，a//α，图形语言：如下图．（4）平面与平面平行的性质定理文字语言：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．符号语言：α//β，γ∩α=a，图形语言：如下图．4．直线、平面垂直的判定及其性质（1）直线与平面垂直的判定定理文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．符号语言：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b=P⇒图形语言：如下图．（2）直线与平面垂直的性质定理文字语言：垂直于同一个平面内的两条直线平行．符号语言：a⊥α，b⊥图形语言：如下图．（3）平面与平面垂直的判定定理文字语言：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直．符号语言：l⊂β，l⊥图形语言：如下图．（4）平面与平面垂直的性质定理文字语言：两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．符号语言：α⊥β，α∩β=l，a⊂α，a⊥图形语言：如下图．5．空间向量的运用设平面α，β的法向量分别为，，直线l的方向向量为，则：（1）线面平行（2）线面垂直，，（3）面面平行，，（4）面面垂直精准预测题精准预测题一、选择题．1．已知某几何体的正视图和侧视图如图①所示，其俯视图水平放置的直观图如图②中粗线部分所示，其中四边形A'B'A．16+8π B．8+16π C．16+16π D．8+8π【答案】A【解析】根据直观图还原可知，俯视图是边长为4的正方形，结合正视图和侧视图可知，该几何体后半部分为长方体，前半部分为半个圆柱，长方体的边长分别为2，2，4，则其体积为，半个圆柱的底面半径为2，高为4，则其体积为，因此，该几何体的体积为16+8π，故选A．【点评】本题主要考查由三视图求几何体的体积，考查直观图的还原，需要学生具备一定的空间想象及思维能力．2．已知一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的外接球的体积为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，三视图的直观图为三棱锥为A−BCD，且DB=2，按如图所示放在长方体中，则其外接球的直径等于长方体的对角线长，且AE=3因为长方体的对角线长为AD=D则外接球半径为2，且体积为，故选B．【点评】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．3．如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为C1D1则下列说法错误的是（）A．四点B，D，E，F在同一平面内 B．三条直线BF，DE，有公共点C．直线A1C与直线OF不是异面直线 D．直线A1C上存在点N使M，【答案】C【解析】作出图象，如图：对于A，连接B1D1，则，，所以，所以四点B，D，E，F在同一平面内，故A正确；对于B，延长BF，DE，则BF，又BF⊂平面BCC1B1，DE⊂平面DD1C1C且平面BCC1B所以P⊂CC1，即三条直线BF，DE，对于C，直线A1C为正方体的体对角线，所以直线A不可能在同一平面内，所以直线A1C与直线对于D，A1，O，C，C1均在平面所以直线A1C上存在点N使M，N，O故选C．【点评】本题主要空间几何体中，点线面的位置关系，属于基础题．4．《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图），其中四边形ABCD为矩形，EF//AB，若AB=3EF，△ADE和△BCF都是正三角形，且AD=2EF，则异面直线AE与A． B． C． D．【答案】D【解析】解法一：如图，在平面ABFE中，过F作FG//AE交AB于G，连接则∠CFG或其补角为异面直线AE与CF所成的角．设EF=1，则，AD=2，因为EF//AB，AE//所以FG=AE=AD=2，AG=1，BG=2，又AB⊥BC，所以GC=B又CF=BC=2，所以，所以．解法二：如图，以矩形ABCD的中心O为原点，CB的方向为x轴正方向建立空间直角坐标系，因为四边形ABCD为矩形，EF//AB，△ADE和△BCF都是正三角形，所以EF⊂平面yOz，且Oz是线段设，则EF=1，AD=2，，，，，所以AE=−1，所以，所以AE⊥CF，所以异面直线AE与CF所成的角为，【点评】本题考查异面直线夹角的计算问题，常用以下方法：（1）平移法，将异面直线通过平移转化成共面直线，结合三角形知识求解；（2）补形法：通过补形（一般是补一个相同的几何体）将异面直线通过平移转化成共面直线，结合三角形知识求解；（3）向量法：建立空间直角坐标系，结合向量夹角公式求解．5．已知直四棱柱ABCD−A1B1C1D1，其底面A． B． C． D．【答案】A【解析】由直四棱柱ABCD−A1B所以四边形ABCD为球的一截面圆的内接四边形，所以对角互补．又四边形ABCD是平行四边形，所以ABCD为矩形．在直四棱柱ABCD−A1B1C1D又AC1⊥BD，AC1∩CC所以四边形ABCD为正方形，所以直四棱柱ABCD−A由外接球体积为，则球的半径为R=3，由AC1为该外接球的直径，则设，则，则，在△AB1D1中由余弦定理可得，所以，设△AB1D1的外接圆的半径为所以，当且仅当，即a=23时取得等号，即r的最小值为22其外接球被平面AB1D1【点评】本题考查几何体的外接球的截面面积问题，解答本题的关键是先由线面垂直关系得出直四棱柱ABCD−A1B1C二、填空题．6．如图，大摆锤是一种大型的游乐设备，常见于各大游乐园．游客坐在圆形的座舱中，面向外．通常，大摆锤以压肩作为安全束缚，配以安全带作为二次保险．座舱旋转的同时，悬挂座舱的主轴在电机的驱动下做单摆运动．大摆锤的运行可以使置身其上的游客惊心动魄．今年元旦，小明去某游乐园玩“大摆锤”，他坐在点A处，“大摆锤”启动后，主轴OB在平面α内绕点O左右摆动，平面α与水平地面垂直，OB摆动的过程中，点A在平面β内绕点B作圆周运动，并且始终保持OB⊥β，B∈β，已知OB=6AB，在“大摆锤”启动后，下列4个结论中正确的是______（请填上所有正确结论的序号）．①点A在某个定球面上运动；②线段AB在水平地面上的正投影的长度为定值；③直线OA与平面α所成角的正弦值的最大值为；④直线OA与平面α所成角的正弦值的最大值为．【答案】①③【解析】对于命题①，OB、AB均为定值，∵OB⊥β，AB⊂β，∴OB∴OA=OB2+AB对于命题②，过点O作OC与水平地面垂直，设∠BOC=θ当AB⊂则直线AB与水平地面所成的角为θ，所以，线段AB在水平地面上的正投影的长度为ABcosθ，不为定值，命题对于命题③④，由于AB为定值，设点A到平面α的距离为d，则d≤AB，所以，直线OA与平面α所成角的正弦值的最大值为，则命题③正确，命题④错误，故答案为①③．【点评】本题考查立体几何综合，考查线面角的正弦值的计算、线段投影长度以及球面定义的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题．三、解答题．7．如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，三角形ABC是正三角形，PA=AB，点D、E、F分别为棱PA、PC、BC的中点，G为AD的中点．（1）求证：平面BDE；（2）求二面角B−DE−F的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）法一：连接PF交BE于点H，连接DH，见图1：∵E，F分别是PC，BC的中点，∴H是三角形PBC的重心，∴PH=2HF．由已知得PD=2DG，∴，又DH⊂平面BDE，GF⊄平面BDE，∴平面BDE．法二：取EC中点M，连接FM，GM，见图2：由已知得，∴DE⊂平面BDE，GM⊄平面BDE，∴平面BDE．∵M，F分别是EC，BC的中点，∴，又BE⊂平面BDE，MF⊄平面BDE，∴平面BDE，∴GM∩MF=M，∴平面平面BDE，又GF⊂平面GFM，∴平面BDE．法三：在平面ABC内，以垂直于AB的直线为x轴，AB所在的直线为y轴，AP所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，见图3：设正三角形ABC边长为2a（a>0），则D0，0，a∴，DB=(0，设平面BDE的法向量为，则，，∴，可取．又，，∴，∴，即，又GF⊄平面BDE，∴平面BDE．（2）在平面ABC内，以垂直于AB的直线为x轴，AB所在的直线为y轴，AP所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，见图3，设正三角形ABC边长为2aa>0则D0，0，a，，由第（1）问方法三可知，平面BDE的法向量为，设平面DEF的法向量为，又EF=(0，a∵，，∴，可取，∴．∴二面角B−DE−F为锐二面角，∴二面角B−DE−F的余弦值为．【点评】立体几何解答题的基本结构：（1）第一问一般是几何关系的证明，用判定定理；（2）第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离），通常可以建立空间直角坐标系，利用向量法计算．8．如图，底边ABCD是边长为3的正方形，平面ADEF⊥平面ABCD，AFDE（1）求证：平面ACE⊥平面BED；（2）在线段AF上是否存在点M，使得二面角M−BE−D的大小为60°？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，．【解析】（1）因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，DE⊂平面ADEF，DE⊥所以DE⊥平面ABCD，因为AC⊂平面ABCD，所以DE⊥又四边形ABCD是正方形，所以AC⊥因为DE∩BD=D，DE⊂平面BED，BD⊂平面BED，所以AC⊥平面BED．又AC⊂平面ACE，所以平面ACE⊥平面BED．（2）因为DA，DC，DE两两垂直，所以以则A3，0假设在线段A