全国统考高考数学复习专题2函数与导数-

④若函数y=f(x)满足fa+x=−fb−x，则函数fx的图象关于直线对称．5．函数的零点问题（1）函数F(x)=f(x)−g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根，即函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象交点的横坐标．（2）确定函数零点的常用方法：①直接解方程法；②利用零点存在性定理；③数形结合，利用两个函数图象的交点求解．二、导数1．导数的几何意义函数y=fx在x=x0处的导数f'x0就是曲线（1）曲线y=fx在点x0，（2）过点x0，y0作曲线y=fx切点不确定时，一般先设切点坐标，由导数得到切线斜率，写出切线方程后，再利用条件来确定切点坐标，从而得到切线的方程．2．单调性与导数的关系设函数y=fx在区间a（1）如果在a，b内，恒有f'（2）如果在a，b内，恒有f'（3）如果在a，b内，恒有f'3．利用导数判断函数单调性的步骤（1）确定定义域（易错点：漏写定义域）；（2）求导函数f'（3）解f'x>0（4）在定义域范围内取补集，得到减（增）区间．4．极值的定义（1）函数y=fx在点x=a的函数值比它在点x=a附近的函数值都小，则把a叫做fx的极小值点，fa叫做fx的极小值．若y=fx在点x=a处可导，f'x是其导数，就可以用导数描述函数在极小值点附近的特征：f（2）函数y=fx在点x=b的函数值比它在点x=b附近的函数值都大，则把b叫做fx的极大值点，fb叫做fx的极大值．若y=fx在点x=b处可导，f'x是其导数，就可以用导数描述函数在极大值点附近的特征：f注意：极值点指x的取值，极值指相应的fx的取5．求可导函数极值的步骤（1）求函数的定义域；（2）求导数，并判断函数的单调性；（3）画表判断函数的极值．6．求函数fx在区间a（1）求函数y=fx在a（2）比较函数y=fx的各极值与端点处的函数值f最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．7．定积分的性质（1）；（2）；（3）．8．常用定积分公式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）．9．的几何意义（1）当fx在区间a，b上大于0时，表示直线x=a，a≠b，y=0和曲线y=f（2）当fx在区间a，b上小于0时，表示直线x=a，a≠b，y=0和曲线y=f（3）当fx在区间a，b上有正有负时，等于位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于进阶练习一、选择题．1．已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(2−x)=f(x)，且f(x)在(−1，0)上递减．若b=f(−ln2)，，则a，b，A． B． C． D．【答案】A【解析】因为定义在R上的偶函数，所以f(−x)=f(x)，因为f(2−x)=f(x)，所以f(2−x−2)=f(x+2)，即f(−x)=f(2+x)=f(x)，所以f(x)是以2为周期的周期函数，又f(x)在(−1，0)上递减，所以在，b=f(−ln2)=f(ln因为，f(x)在(0，1)所以，，即a<c<b，故选A．【点评】本题考查了函数的基本性质，对于抽象函数，要灵活掌握并运用图象与奇偶性、单调性、周期性、对称性等性质，要注意定义域，还应该学会解决的基本方法与技巧，如对于选择题，可选用特殊值法、赋值法、数形结合等，应用分析、逻辑推理、联想类比等数学思想方法．2．已知a=log56，b=log35，c=log23，，则A．b<a<d<c B．a<b<c<d C． D．a<b<d<c【答案】D【解析】，，，∵64=1296<55∵54=625>35因此，a<b<d<c，故选D．【点评】解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个：（1）判断各个数值所在的区间；（2）利用函数的单调性直接解答．3．区块链作为一种革新的技术，已经被应用于许多领域．在区块链技术中，若密码的长度设定为256比特，则密码一共有种可能．因此，为了破解密码，最坏情况需要进行次运算．现在有一台机器，每秒能进行次运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下这台机器破译密码所需时间大约为（）（参考数据：）A．秒 B．秒 C．秒 D．秒【答案】B【解析】设这台机器破译所需时间大约为x秒，则，两边同时取底数为10的对数，得，所以，所以，所以，所以，而，所以，，故选B．【点评】对数运算的一般思路：（1）拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并；（2）合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．4．已知函数fx=ax−ex与函数gxA． B． C． D．【答案】A【解析】因为函数fx与gx的图象上恰有两对关于x轴对称的点，所以即ex−ax=xln令，则，所以当x∈0，1时，ℎ'(x)<0所以函数在上单调递减，在1，+∞上单调递增，所以在x=1处取得极小值，所以，所以a>e−1，a的取值范围为，故选A．【点评】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用．5．已知函数fx=x2+mxA． B． C． D．【答案】C【解析】令fx=0，可得令，则．令g'x=0，解得x=1当x>1时，g'x<0；当所以gx在−∞，1上单调递增，在1所以，令φt=t2因为函数有三个零点，设φt=t2+mt−mΔ=m2−4(−m)>0，解得m>0则t1，t（1）当，时，将带入方程，即，解得，代入方程，即，解得，故舍去；（2）当，t2=0时，将t2=0带入方程，则m=0，φ（3）当，t2<0时，，解得，所以，故选C．【点评】解题的关键令，求得g(x)的单调性，画出图象，可得t的范围，再利用二次函数的性质，结合t的范围求解，考查分析理解，分类讨论的能力，综合性较强，属中档题．6．（多选）假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物，则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者，现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型．假设捕食者的数量以xt表示，被捕食者的数量以yt表示．下图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向．下列说法A．若在t1、t2时刻满足：yB．如果yt数量是先上升后下降的，那么xC．被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值D．被捕食者数与捕食者数总和达到最大值时，捕食者的数量也会达到最大值【答案】ABD【解析】由图可知，曲线中纵坐标相等时横坐标未必相等，故A不正确；在曲线上半段中观察到yt是先上升后下降，而x捕食者数量最大时是在图象最右端，最小值是在图象最左端，此时都不是被捕食者的数量的最值处，同样当被捕食者的数量最大，即图象最上端和最小即图象最下端时，也不是捕食者数量取最值的时候，所以被捕食者数量和捕食者数量不会同时达到最大和最小值，故C正确；当捕食者数量最大时在图象最右端，xt∈25此时二者总和xt由图象可知存在点xt=10，yt所以并不是被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者数量也会达到最大值，故D错误，故选ABD．【点评】解决本题的关键在于结合图象分析xt与yt变化的关系，着重分析xt二、填空题．7．已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数k的取值范围是________．【答案】【解析】函数的图象如图所示：若函数有两个不同的零点，等价于，的图象又两个不同的交点，由图知：，故答案为．【点评】由函数零点或个数求参数范围问题：若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围；若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．8．设曲线y=alnx+x2a>0上任意一点的切线为l，若【答案】【解析】∵y=alnx+，当且仅当时等号成立，∵l的倾斜角的取值范围是，，解得．故答案为．【点评】本题考查导数与切线的关系，解题的关系是求出导数的最小值，得出最小值为1，即可求解．三、解答题．9．已知函数fx（1）讨论函数fx在区间1（2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）a≥1．【解析】（1）函数fx定义域1，+∞当a≤1时，f'x>0，f所以fx>f1=0，当a>1时，f'x=0又因为f'x在所以当1<x<x0，f'x<0fx<f1=0，所以当x>x0，f'x>0fx0<f以fx在有且仅有一个零点，综上所述：当a≤1，函数fx在1当a>1，函数fx在1（2）由题意知在区间0，+∞设，则，，设，，所以ℎx在0又因为，列表如下：1+-g+-g增减所以当时x=1，gxmax=1【点评】判断函数零点个数的方法：（1）直接法：令fx（2）利用函数的零点存在性定理：利用函数的零点存在性定理时，不仅要求函数的图象在区间a，b上是连续不断的曲线，并且（3）图象法：画出函数fx的图象，函数fx的图象与x轴交点的个数就是函数fx的零点个数；将函数fx拆成两个函数，ℎx和gx的形式，根据fx（4）利用函数的性质：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到，若所考查的函数是周期函数，则需要求出在一个周期内的零点个数，根据周期性则可以得出函数的零点个数．10．己知函数．（1）若fx在R上是减函数，求m（2）如果fx有一个极小值点x1和一个极大值点x2【答案】（1）−∞，【解析】（1）由，得f'(x)=x+m−fx在R上是减函数，则恒成立．设g(x)=f'(x)=x+m−当x>0时，g'x<0，gx单调递减；当时，g'于是gx由题意gx=m−1≤0，所以m≤1，故m的取值范围是（2）设g(x)=f'(x)=x+m−当x>0时，g'x<0，gx单调递减；当时，g若，则g(x)≤0，则fx在定义域内单调递减，所以不满足条件，故g(0)>0，所以m>1，又∵g(−m)=−e−m<0，g(0)=m−1>0设，则，所以y=2x−ex在1，+∞上单调递减，所以当x>1所以，∴∃x1∈(−m，0)∴x∈−∞，x1，g(x)<0，即，gx>0，即f'x∈x2，+∞，gx<0∵x1<0<x2又∵f(−2m)=1−e设，则y'=ex由，得x>ln2，，得0<x<ln所以y'=ex−2x则，所以y=ex−x2即x>0，ex>所以，∴由零点存在定理，得fx在−2m，x又f0=0，结合函数fx【点评】本题考查由函数单调性求参数和证明函数的零点个数，解答本题的关键是fx在R则恒成立，根据条件得出g(−m)=−e−m<0，g(0)=m−1>0，，所以∃x1∈(−m，11．已知函数．（1）若，求fx的单调区间；（2）若fx在0，2上有两个极值点x（i）求实数a的取值范围；（ii）求证：x1【答案】（1）递减区间为0，2，递增区间为2【解析】（1），令gx=e因为x>0，，所以当x∈0，1时，g'所以当x∈1，+∞时，g所以gx所以当x∈0，2时，f'x<0fx的单调递减区间为0，2（2）（i），要使fx在0，2上有两个极值点x则gx=e①a≤1时，由（1）知，gx令Sx=ex−1−x，故S所以Sx>S0=0，故gx>0，故②当a≥e时，∵x∈0，2，，则gx在0，2上单调递减，故③当1<a<e时，由（1）知所以gx在0，ln