全国统考高考数学复习-数列满分限时练

数列等差数列、等比数列对通项的考查除了基本运算、基本概念，还注重对函数与方程、等价转化、分类讨论思想的考查；数列性质的考查主要为等差中项、等比中项、通项公式及前n项和的最大、最小值的问题，难度中等偏易；数列综合运用的考查常以解答题的形式出现，结合数列的递推关系式，等差数列、等比数列的定义展开，求解数列的前n项和或数列不等式的证明，难度中等．一、选择题．1．已知Sn是等差数列an的前n项和，且a2A．1 B．2 C．6 D．18【答案】B【解析】根据等差数列的性质，可得a2，则，故选B．【点评】本题主要考了等差中项，属于基础题．2．“垛积术”是我国古代数学的重要成就之一，宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中记载了“三角形垛”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的堆垛（俯视如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球，…）．若一“落一形”三角锥垛有6层，则该堆垛第6层的小球个数为（）A．45 B．36 C．28 D．21【答案】D【解析】由题意分析可得a1则“三角形数”的通项公式，，故选D．【点评】本题以数学文化为背景，考查数列知识及运算能力，难度中等偏易．3．已知等差数列an前10项的和是310，前20项的和是1220，则数列aA．an=6n+2 B．an=6n−2 C．【答案】B【解析】设公差为d，依题意得，解得a1=4所以an=a【点评】本题考了等差数列通项公式的求法，属于基础题．4．数列an是等差数列，Sn为其前n项和，且a1<0，a2020+aA．2020 B．2021 C．4040 D．4041【答案】C【解析】设数列an的公差为d，由a1<0，a可知a2020<0，a2021>0，所以，S4040=2020a1+a【点评】本题求满足Sn<0的最大正整数n的值，关键就是求出Sn<0，5．设Sn是数列an的前n项和，若，，则S2021A． B． C． D．【答案】B【解析】在数列an中，，，则，，，以此类推可知，对任意的n∈N∗，an+3=a∵2021=3×673+2，因此，，故选B．【点评】根据递推公式证明数列an（1）先根据已知条件写出数列an的前几项，直至出现数列中的循环项，判断循环的项包含的项数k（2）证明an+k=ank∈6．若等差数列an满足a1+a3A．2 B．1 C．0 D．【答案】D【解析】a5【点评】等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换．7．2015年07月31日17时57分，国际奥委会第128次全会在吉隆坡举行，投票选出2022年冬奥会举办城市为北京．某人为了观看2022年北京冬季奥运会，从2016年起，每年的1月1日到银行存入a元的定期储蓄，若年利率为且保持不变，并约定每年到期，存款的本息均自动转为新的一年的定期，到2022年的1月1日将所有存款及利息全部取出，则可取出钱(元)的总数为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意，2016年1月1日，存入的a元，一年后存款及利息为，二年后存款及利息为a(1+p)2，由此可得，从2016年1月1日到2022年1月1日所有的存款及利息为：，故选D．【点评】本题考了数列的实际运用，属于基础题．8．等比数列an中，a1+a2A．90 B．302+1 C．45【答案】A【解析】∵an是等比数列，a1+a2=6，∴前8项和为a1+【点评】本题考了等比数列通项公式的运用，以及前n项和的求法．9．设等比数列an的前n项和为Sn，若，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】an是等比数列，∴S，设S5=2k则S10−S5=−k，故选D．【点评】本题考了等比数列前n项和的基本性质，属于基础题．10．已知等比数列an的公比为q，首项为a，前n项和为SA．若a>0，则anSn>0 C．若a<0，则anSn<0 【答案】B【解析】因为an为等比数列，故a≠0若q=1，则an=a，S若q≠1，则，，故，若q>1，则qn−1>0，若，则qn−1>0，1−若q<0，则，其中q1−q<0取，则当n为偶数，则a2qn当n为奇数，则a2qn1−故A、D错误，故选B．【点评】本题主要考了等比数列前n项和公式以及通项公式，属于中档题．11．（多选）已知数列an的前n项和是SA．若，则an是等差数列B．若Sn=2aC．若an是等差数列，则Sn，D．若an是等比数列，则Sn，【答案】ABC【解析】若，当n=1时，a1=n≥2时，anan=2n(n∈)，∴若Sn=2an−1，当n=1时，n≥2时，an=Sn−S设等差数列an的公差为d，首项是，，S2n同理，S3n因此2S2n−Sn若等比数列an的公比，，则，，不可能成等比数列，D错误，故选ABC．【点评】本题考了等比数列前n项和的性质，以及前n项和与通项的关系．12．（多选）设等比数列an的公比为q，其前q项和为Sn，前n项积为Tn，且满足，a2020A． B．C．T2020是数列Tn中的最大项 【答案】ACD【解析】由a2020−1⋅a2021−1或，又，且a2020⋅a2021>1，可得a2020且一个大于1，一个小于1，若q>1，则an若，则，an=a满足0<a对于B选项，由于，数列an为正项递减数列，0<a2021<1<对于C选项，由上可知，正项数列an前2020项都大于1而从第2021项起都小于1，所以，T2020是数列T对于D选项，T2021D选项正确，故选ACD．【点评】在等比数列an的公比q的取值不确定时，首先分析q的符号，进一步确定q的取值范围，解本题的关键就是结合已知条件分析出，并结合等比数列an二、填空题．13．数列an满足a1=1，a【答案】93【解析】∵an+1+，，，把这些相加的：把这些相减的：2a1+①+②，所以Sn+1=3n+3，所以故答案为93．【点评】数列求和的常用：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法．三、解答题．14．设数列an是等差数列，已知a（1）求数列an（2）设，求b1+【答案】（1）an=3n；（2）【解析】（1）设等差数列an的公差为d则由题意有a3=a∴a（2），．【点评】本题考查了等差数列的通项公式的求法，以及裂项相消求前n项和的方法．15．已知数列an的首项，若向量a=an+1，2，b（1）求数列an的通项公式a（2）已知数列bn，若，求数列的前n项和Sn．【答案】（1）an=2【解析】（1）由a⊥b，则a⋅所以an+1=2a数列an是以2为首项，2则an=2×2（2）由，则anbn=n×由Sn由①×2，可得2S由①－②，可得−，则Sn=n−1所以数列的前n项和Sn=【点评】数列求和的方法：（1）倒序相加法：如果一个数列{an}的前n（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如an16．已知数列an满足：，．（1）求a2n（2）若，求数列an的最小项．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设数列的前n项和为Sn，即，∴．则，故，当n=1，a2=1∴．（2）．考虑奇数项，∵，∴，又，∵，得，而2q−2>0，∴当n≤2时，a2n+1<a2n−1；当n≥3时，a而，所以数列an的最小项为．【点评】数列的最大项最小项，一般根据数列的单调性来处理，如果数列是分段数列，则可以分别讨论各段上的最大项最小项，比较后可得原数列的最大项最小项．17．在各项均为正数的等比数列an中，a2=4，a4=16；数列b（1）求数列an的首项a