河南省周口市、商丘市部分学校2024-2025学年高三上学期10月大联考数学试题

2025届高三10月大联考（新课标卷）数学本卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号\.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式化简集合，再利用补集、交集的定义求解即得.【详解】集合，则，而，所以.故选：B2.使不等式成立的一个必要不充分条件是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用分式不等式化简可得或，即可根据真子集关系求解.【详解】由可得，解得x>2或，设不等式成立的一个必要不充分条件构成的集合是,则是的一个真子集，结合选项可知可以为，故选：D3.已知函数，，则（）A.6 B. C.5 D.【答案】A【解析】【分析】由里往外代入即可求解.【详解】,,故，故选：A.4.已知，为非零向量，，，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由模长的坐标表示可得，再结合投影向量的定义分析求解.【详解】由题意可得：，所以在上的投影向量为.故选：B.5.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，若角的终边过点，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的定义可得，即可由诱导公式化简求解.【详解】由题意可知，，故选：A6.已知函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）A.2 B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，进而求出三角形面积.【详解】函数，求导得，则，而，因此曲线在点处的切线为，即，该切线交轴于点，交轴于点，所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为.故选：D7.已知函数满足，若函数在上的零点为，，…，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用方程组法求出的解析式，结合的奇偶性将上的零点和转化为上的零点和问题，令，转化为，结合正弦和正切函数的图象性质得到结果.【详解】由，可得，解得，易知为奇函数，故的图象关于原点对称，则函数y=fx故函数y=fx在上的零点也关于原点对称，和为在上的零点和即为上的零点和，令，得，，，作出和在同一坐标系中的图象，可知y=fx在内的零点有和两个，故.故选：B.8.已知函数的图象过点，且对任意，都有，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用图象所过点求出，再利用单调递增区间求出范围.【详解】依题意，，而，则，，由对任意，都有，得函数在上单调递增，当时，，而余弦函数的递增区间为：，则，于是，解得，显然32k-即，而，因此或，所以的取值范围是或.故选：C【点睛】思路点睛：涉及求正(余)型函数在指定区间上的单调性问题，先根据给定的自变量取值区间求出相位的范围，再利用正(余)函数性质列出不等式求解即得.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，则（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用不等式的性质判断A；举例说明判断B；利用指数函数、幂函数单调性判断C；作差变形判断D.【详解】对于A，由，得，A正确；对于B，取，满足，而，B错误；对于C，由，得函数在R上递减，在上递增，则，C正确；对于D，由，得，D正确.故选：ACD10.已知函数的最小值为，则（）A.直线为图象的一条对称轴B.在区间上单调递减C.将的图象向左平移个单位长度，得到一个奇函数的图象D.当时，的值域为，则的取值范围为【答案】BD【解析】【分析】根据给定条件，利用三角恒等变换，结合正弦函数性质求出，进而求出，再逐项分析判断即可.【详解】函数，其中由确定，依题意，，整理得，而，解得，因此，对于A，，即直线不是图象的对称轴，A错误；对于B，当时，，而正弦函数在上递减，因此在区间上单调递减，B正确；对于C，是偶函数，C错误；对于D，当时，的值域为，则当时，，因此，解得，D正确.故选：BD11.已知函数对任意实数都有，且，，则（）A. B.C. D.对任意，都有【答案】ABD【解析】【分析】根据给定的函数等式，利用赋值法，结合周期函数的定义逐项分析判断即得.【详解】对任意实数都有，且，对于A，令，得，则，A正确；对于B，令，得，因此，B正确；对于C，由，得，即函数是周期为4的周期函数，又，即，因此，C错误；对于D，由，得，又是周期为4的周期函数，因此对任意，都有，即，D正确故选：ABD【点睛】关键点点睛：涉及由抽象的函数关系求函数值，根据给定的函数关系，在对应的区间上赋值，再不断变换求解即可.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知平面向量，满足，，且，则______.【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用平面向量数量积的运算律，列式计算即得.【详解】依题意，，而，，且，则，所以.故答案为：13.已知为锐角且，则______.【答案】##【解析】【分析】根据和差角公式以及二倍角公式化简可得，即可利用辅助角公式求解.【详解】由可得，由于为锐角，所以，故，进而可得，故，故答案为：14.已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】原不等式可化为，利用为上的增函数可得对任意恒成立，结合参变分离可求的取值范围.【详解】原不等式等价于，也就是，因为均为上的增函数，故为上的增函数，故原不等式即为，故对任意恒成立，故a>4-x+设sx=4-x设，则，故在0,+∞上为减函数，而，故当x∈0,1时，即，故在0,1上为增函数；当x∈1,+∞时，即，故在1,+∞上减函数，故，故，故答案为：.【点睛】思路点睛：对于由指数函数和对数函数构成的较为复杂函数，我们可以利用指对数的运算法则对原有的不等式同构变形，从而把原不等式转化为简单不等式.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）证明：是周期函数；（2）求的单调递增区间.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）由辅助角公式可得，利用三角函数周期性即可证明得出结论；（2）利用复合函数单调性以及正弦函数图象性质解不等式可得结果.【小问1详解】由可得；易知，所以，即可知是以为周期的周期函数【小问2详解】由复合函数单调性可知求得的单调递增区间即可；易知恒成立，可得函数的定义域为；因此只需，解得；即的单调递增区间为.16.在平面四边形中，，，且.（1）求的长；（2）若为的中点，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在三角形中由余弦定理求出，然后利用勾股定理求解即可；（2）在与中，由余弦定理分别求出与，然后在中，由余弦定理求解即可.【小问1详解】在三角形中，，，所以由余弦定理得：，所以，又，所以，又，所以.【小问2详解】在三角形中，，所以，所以，所以在中，为的中点，所以，，，所以由余弦定理得：，所以，在中，，，，所以由余弦定理得：所以，所以在中，由余弦定理得：.17.已知的内角，，所对的边分别为，，，，，向量，，且，所在平面内存在点，满足.（1）判断是否为等腰三角形；（2）当时，求的面积；【答案】（1）等腰三角形，理由见解析（2）【解析】【分析】（1）由，得到，由正弦定理，余弦定理角化边整理即可判断；（2）画出图，在中，由正弦定理求出与，设，则求解即可.【小问1详解】因为，所以，所以，由正弦定理角化边得，由余弦定理得：，所以整理得：，所以，所以，所以，故是等腰三角形.【小问2详解】在中，由正弦定理得：，所以，，当时，，如图，所以在中，，，，所以.18.已知函数.（1）若恒成立，求实数的取值范围；（2）证明：当时，.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据给定条件，分离参数并构造函数，利用导数求出最大值即可得解.（2）构造函数，利用导数证得，再利用函数单调性信不等式性质推理即得.【小问1详解】函数的定义域为，，令，依题意，恒成立，，当时，，当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减，，于是，所以实数的取值范围是.【小问2详解】当时，令，求导得，函数上单调递增，则，即，因此，，令，求导得，即函数在上单调递增，，即，于是，所以.【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.19.阅读材料一：设函数在区间上有定义，若对任意和任意，都有，则称是区间上的下凸函数；反之，如果都有，则称是区间上的上凸函数.阅读材料二：若函数在区间上可导，即存在，且导函数在区间上也可导，则称在区间上存在二阶导函数，即.设函数在区间上存在二阶导函数，则在区间上是下凸（上凸）函数的充要条件是对任意都有（）且在区间的任意子区间内不恒为0.阅读材料三：设函数在区间上连续，（其中为无限接近于0的正数），在上存在二阶导函数，若在和上的符号相反，则点为曲线的拐点.请根据以上阅读材料，回答下列问题：（1）证明：对任意，，不等式恒成立；（2）设函数，若点是曲线的拐点，求实数，的值，并证明的图象关于拐点中心对称：（3）设函数，若点是曲线的一个拐点，且，其中，试证明：.【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）构造函数，证明是上凸函数即可推理得证.（2）利用“拐点”的意义可得，结合求出；再利用中心对称的定义计算推理即可.（3）利用“拐点”的定义求出“拐点”，构造函数，利用导数探讨单调性可得，再结合给定条件及函数的单调性推理即得.【小问1详解】当或时，不等式成立，令函数，，，因此函数是上凸函数，则对任意，，即，所以对任意，，不等式