2025年高考数学二轮复习 专项训练6 导数的几何意义及函数的单调性（解析版）

2025二轮复习专项训练6导数的几何意义及函数的单调[考情分析]1.此部分内容是高考命题的热点内容．在选择题、填空题中多考查导数的计算、几何意义，难度较小.2.应用导数研究函数的单调性多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题．【练前疑难讲解】一、导数的计算和几何意义1．导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝eq\f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)．2．导数的几何意义(1)f′(x0)的几何意义：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，该切线的方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．(2)切点的两大特征：①在曲线y＝f(x)上；②在切线上．二、利用导数研究函数的单调性求可导函数单调区间的一般步骤(1)求函数f(x)的定义域；(2)求导函数f′(x)；(3)由f′(x)>0的解集确定函数f(x)的单调递增区间，由f′(x)<0的解集确定函数f(x)的单调递减区间．三、由单调性求参数范围由函数的单调性求参数的取值范围(1)若可导函数f(x)在区间M上单调递增，则f′(x)≥0(x∈M)恒成立；若可导函数f(x)在区间M上单调递减，则f′(x)≤0(x∈M)恒成立；(3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，则I是其单调区间的子集．一、单选题1．（2024·广东·模拟预测）若函数是偶函数，则曲线在处的切线斜率为（

）A． B．0 C． D．2．（24-25高三上·安徽·开学考试）已知函数的图象在点处的切线方程为，则（

）A． B． C． D．13．（2023·陕西榆林·模拟预测）若函数在其定义域内单调递增，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．4．（2024·云南大理·模拟预测）若函数在为增函数，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．二、解答题5．（2024·浙江金华·一模）已知函数，.(1)若，求的单调区间；(2)若，求的取值范围.6．（2024·江西新余·模拟预测）已知函数.(1)若，求在处的切线方程.(2)讨论的单调性.(3)求证：若，有且仅有一个零点.参考答案：题号1234答案BDBA1．B【分析】利用偶函数的定义可求得，进而求得在处的导数，可得结论.【详解】因为函数是偶函数，所以，又易得函数的定义域是，即，所以，所以，又，所以解得，所以，所以，所以，所以曲线在处的切线斜率为.故选：B.2．D【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义求解即得.【详解】函数，求导得，依题意，，所以.故选：D3．B【分析】将问题转化为f'x≥0在【详解】的定义域为0,+∞，，因为函数在其定义域内单调递增，所以在0,+∞上恒成立，即在0,+∞上恒成立，因为，当且仅当时，等号成立，所以，所以.故选：B4．A【分析】f'x≥0对x∈0,+∞恒成立，其中，令gx=【详解】，由题意f'x≥0对其中，令gx=则需，其中，故，当时，，故f'x在0,+∞∴成立.当时，取，易知在上单调递增，若，则，所以在上递减，故，与题意不符，舍去；若时，，，所以存在，使得，当时，，所以在上递减，故，与题意不符，舍去；综上得.故选：A.5．(1)单调增区间为，减区间为(2)【分析】（1）代入参数值，求导函数，解导函数大于0的不等式，得出增减区间；（2）求导函数，得到增减区间，求得最小值；由题意建立不等式，构建对应函数，由导函数求得单调区间得最小值再建立不等关系，得到范围.【详解】（1）当时，时，f'x<0，x∈1,+∴fx的单调增区间为1,+∞（2）时，f'x<0，时，又，令则，显然单调递减，且，必然存在唯一使得当，，单调递增，当，，单调递减由于时，，成立当时，单调递减，且，因此成立综上，成立的范围为6．(1)；(2)答案见解析；(3)证明见解析.【分析】（1）把代入，利用导数的几何意义求出切线方程.（2）根据给定条件，按，，，分类，利用导数求出单调区间.（3）利用（2）的结论，结合零点存在性定理推理证明即可.【详解】（1）当时，，求导得，则，而，所以函数的图象在处的切线方程为，即.（2）函数的定义域为，求导得，①当时，由，得，由，得，则函数在上单调递增，在上单调递减；②当时，由，得，由，得，则函数在上单调递增，在，上单调递减；③当时，，函数在上单调递减；④当时，由，得，由，得，则函数在上单调递增，在，上单调递减，所以当时，函数的递增区间为，递减区间为；当时，函数的递增区间为，递减区间为，；当时，函数的递减区间为；当时，函数的递增区间为，递减区间为，.（3）①当时，函数在上单调递减，而，，因此存在唯一使，则有且仅有一个零点；②当时，函数在处取得极小值，令，求导得，当时，，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，，即，，当时，，则，因此存在唯一使，则有且仅有一个零点；③当时，函数在处取得极小值，，同理存在唯一使，则有且仅有一个零点，所以有且仅有一个零点.【基础保分训练】一、单选题1．（2023·山东潍坊·模拟预测）设为上的可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为（

）A．2 B．-1 C．1 D．2．（2023·河南郑州·二模）已知曲线在点处的切线方程为，则（

）A．－1 B．－2 C．－3 D．03．（2023·山东·二模）已知直线与曲线相切，则实数a的值为（

）A． B． C．0 D．24．（2023·贵州贵阳·模拟预测）若在和处有极值，则函数的单调递增区间是（

）A． B． C． D．5．（2023·重庆·一模）已知函数，则“”是“在上单调递增”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件6．（2024·重庆·模拟预测）已知函数，为实数，的导函数为，在同一直角坐标系中，与的大致图象不可能是（

）A． B．C． D．二、多选题7．（2023·湖南·模拟预测）已知函数和分别为奇函数和偶函数，且，则（

）A．B．在定义域上单调递增C．的导函数D．8．（22-23高三上·江苏南京·阶段练习）已知函数，，则下列结论正确的是（

）A．函数在上单调递增B．存在，使得函数为奇函数C．任意，D．函数有且仅有2个零点三、填空题9．（2022·全国·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是．10．（2023·广西·一模）若曲线与有一条斜率为2的公切线，则.11．（2022·全国·模拟预测）曲线在处的切线与直线平行，则.四、解答题12．（22-23高二下·四川资阳·期末）已知函数．(1)求曲线在处的切线方程；(2)若时，单调递增，求的取值范围．13．（23-24高三上·湖北·期中）已知函数.(1)若曲线在点处的切线与直线平行，求出这条切线的方程；(2)讨论函数的单调性.参考答案：题号12345678答案CCACCCBDABC1．C【分析】根据导数的定义，计算得到答案.【详解】.故曲线在点处的切线斜率为.故选：C2．C【分析】根据导数的几何意义可知切线斜率为，可得，计算出切点代入切线方程即可得.【详解】由题意可得，根据导数的几何意义可知，在点处的切线斜率为，解得；所以切点为，代入切线方程可得，解得.故选：C3．A【分析】设切点，利用导数的几何意义计算即可.【详解】设切点为，易知，则，解之得，故选：A4．C【分析】求出函数的导函数，依题意且，即可得到方程组，从而求出、的值，再利用导数求出函数的单调递增区间.【详解】因为，所以，由已知得，解得，所以，所以，由，解得，所以函数的单调递增区间是.故选：C．5．C【分析】求得在上单调递增的充要条件即可判断.【详解】由题若在上单调递增，则恒成立，即，故“”是“在上单调递增”的必要不充分条件故选:.6．C【分析】先通过特值代入易得A项符合，对于B,C,D项，通过图象观察分析可得，结合两函数图象交点的位置舍去C项.【详解】由可得对于，当时，在第一象限上递减，对应图象在第四象限且递增，故A项符合；对于在第一象限上与的图象在上都单调递增，故且，则.又由可得，即与的图象交点横坐标应大于1，显然C项不符合，B,D项均符合.故选：C.7．BD【分析】根据函数的奇偶性可得，结合选项即可逐一求解,【详解】由得，由于函数和分别为奇函数和偶函数，所以，因此，对于A,,故A错误，对于B，由于函数在单调递增，在单调递减，所以在单调递增，故B正确，对于C，当且仅当时取等号，而，所以C错误，对于D，，当且仅当时取等号，所以D正确，故选：BD8．ABC【分析】A选项：通过导数判断函数单调性；B选项：取特殊值验证结论的存在；C选项：通过放缩，得到函数值的范围；D选项：通过函数值的符号，判断零点个数.【详解】对于A：，因为，所以，，因此，故，所以在上单调递增，故A正确；对于B：令，则，令，定义域为，关于原点对称，且，故为奇函数，B正确；对于C：时，；时，；时，；C正确；对于D：时，，时，，时，，所以只有1个零点，D错误；故选：ABC9．【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围.【详解】∵，∴，设切点为,则,切线斜率,切线方程为：,∵切线过原点，∴,整理得：,∵切线有两条，∴,解得或,∴的取值范围是,故答案为：10．【分析】根据导数的几何意义以及切线方程的求解方法求解.【详解】设公切线在曲线与上的切点分别为，由可得，所以，解得，所以,则，所以切线方程为，又由，可得，所以，即，所以，又因为切点，也即在切线上，所以，解得，所以.故答案为:.11．【分析】求得，得到，根据题意得到，即可求解.【详解】由题意，函数，可得，可得，，因为曲线在处的切线与直线平行，可得，所以.故答案为：12．(1)(2)．【分析】（1）利用导数公式、导数的几何意义以及直线的点斜式方程求解.（2）在单调递增时，则对恒成立，再利用分离参数法、导数计算求解.【详解】（1）由，得，则，又，所以曲线在处的切线方程为,即．（2）因为时，单调递增，所以时，恒成立，即在时恒成立，设，则，则时，，时，，可知时，取极小值，该极小值也即为上的最小值，所以，即，所以，单调递增时，的取值范围是．13．(1)(2)答案见解析【分析】（1）求导，根据导函数几何意义和平行关系得到方程，求出，从而得到，求出切线方程；（2）求定义域，求导，对导函数因式分解，分，和三种情况，讨论得到函数的单调性.【详解】（1），由已知，∴得又∴曲线在点处的切线方程为化简得：（2）定义域为R，，令得或①当即时，令得或，令得，故在单调递减，在，上单调递增；②当即时，恒成立，故在R上单调递增；③当即时，令得或，令得，在上单调递减，在，上单调递增；综上，当时，在单调递减，在，上单调递增；当时，在R上单调递增；当时，在上单调递减，在，上单调递增；【能力提升训练】一、单选题1．（2023·山东潍坊·模拟预测）已知函数，及其导函数，的定义域均为，为奇函数，关于直线对称，则（

）A． B．C． D．2．（2023·北京西城·模拟预测）已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（2023·广东佛山·二模）若斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（

）A． B．0 C．2 D．0或24．（2023·陕西宝鸡·二模）若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围是（

）A． B． C． D．5．（2023·全国·二模）若曲线有三条过点的切线，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．6．（2024·辽宁·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，也是定义在上的奇函数，则关于的不等式的解集为（

）A． B．C． D．7．（2024·北京海淀·一模）函数是定义在上的偶函数，其图象如图所示，.设是的导函数，则关于x的不等式的解集是（

）A． B． C． D．二、多选题8．（2025·四川巴中·模拟预测）已知函数的图象关于对称，下列结论中正确的是（

）A．是奇函数B．C．若在上单调递增，则D．的图象与直线有三个交点9．（2024·河南·模拟预测）已知函数，下列说法正确的是（

）A．的最小正周期为B．点为图象的一个对称中心C．若在上有两个实数根，则D．若的导函数为，则函数的最大值为三、填空题10．（22-23高二下·浙江杭州·期中）若直线与曲线相切，直线与曲线相切，则的值为.11．（2023·广东佛山·一模）已知曲线与曲线（）相交，且在交点处有相同的切线，则.四、解答题12．（2020·四川成都·模拟预测）已知函数（）.（1）若f(x)是定义域上的增函数，求a的取值范围；（2）若，若函数f(x)有两个极值点，（），求的取值范围.13．（2024·江苏徐州·一模）已知函数，．(1)若函数在上单调递减，求a的取值范围：(2)若直线与的图象相切，求a的值．14．（22-23高二下·天津红桥·阶段练习）已知函数.(1)若是的极值点，求的值；(2)求函数的单调区间；(3)若函数在上有且仅有个零点，求的取值范围.参考答案：题号123456789答案DBDCBADACACD1．D【分析】由为奇函数得，由关于直线对称得为偶函数，对于选项A，由为偶函数满足即可判断；对于选项B，由得即可判断；对于选项C，由偶函数的对称性得到切线的对称性，从而得到导数的关系即可判断；对于选项D，由得到的对称性，从而得到导数的关系即可判断.【详解】解法一：由为奇函数得，令，则，所以，即，所以；因为关于直线对称，所以关于轴对称，即为偶函数，所以.对于选项A，因为为偶函数，所以，所以，故选项A错误.对于选项B，由得，所以，故选项B错误.对于选项C，因为的图像关于轴对称，所以轴左右两边对称点的切线关于轴对称，所以切线的斜率互为相反数，即，所以，所以，故选项C错误.对于选项D，因为，所以关于点中心对称，因为，所以和关于点对称，所以在和处切线的斜率相等，即，所以，故选项D正确.故选：D.2．B【分析】由条件转化为有解，求出与的切点，数形结合求解即可.【详解】由题意，，即有解，先求与相切时，过定点，的导数，设切点为，则由导数可知，所以，解得，即切点为，此时切线斜率，作出函数图象，如图，

由图象可知，当时，存在存在，使得成立.故选：B3．D【分析】设直线与曲线的切点为，先根据导数的几何意义求出在切点处的切线方程，再根据直线与圆相切和圆心到直线距离的关系列式求解即可．【详解】设直线与曲线的切点为，由，则，则，，即切点为，所以直线为，又直线与圆都相切，则有，解得或．故选：D．4．C【分析】设切点为，利用导数的几何意义，求得切线方程，根据切线过点，得到，设，求得，得出函数单调性和极值，列出方程组，即可求解.【详解】设切点为，由函数，可得，则所以在点处的切线方程为，因为切线过点，所以，整理得，设，所以，令，解得或，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，要使得过点可作曲线的三条切线，则满足，解得，即的取值范围是．故选：C．5．B【分析】根据导数的几何意义求出过点的切线方程为，利用方程的解个数与函数图象交点个数的关系将问题转化为图象与直线在R上有3个交点，结合导数求出函数的极值，根据数形结合的思想即可求解.【详解】设该切线的切点为，则切线的斜率为，所以切线方程为，又切线过点，则，整理得.要使过点的切线有3条，需方程有3个不同的解，即函数图象与直线在R上有3个交点，设，则，令，令或，所以函数在上单调递增，在和上单调递减，且极小值、极大值分别为，如图，由图可知，当时，函数图象与直线在R上有3个交点，即过点的切线有3条.所以实数a的取值范围为.故选：B.6．A【分析】根据为奇函数及f'x为偶函数可求，利用导数可判断为上的减函数，从而可求不等式的解.【详解】因为，故，故，因为是定义在R上的奇函数，故，故，故，故，此时，故为上的减函数，而等价于，即即，故或故选：A.7．D【分析】借助函数图象与导数的关系计算即可得.【详解】由，且为偶函数，故，由导数性质结合图象可得当时，f'x当时，f'x>0，当时，即，则由，有，解得，亦可得，或，或，或，由可得或，即，由可得，即，由，可得，即或（舍去，不在定义域内），由，可得，综上所述，关于x的不等式的解集为.故选：D.8．AC【分析】先函数对称性求解，得到的解析式.A项，化简可知为奇函数；B项，代入解析式求值即可；C项，利用整体角求的单调递增区间，由可得范围；D项，利用导数可知直线恰为曲线在处的切线，进而可得公共点个数.【详解】因为的图象关于直线对称，所以，即，解得，所以，验证：当时，，取最大值，故的图象关于直线对称，满足题意；A项，，x∈R，由，则是奇函数，故A正确；B项，由，故B错误；C项，，由，解得，当时，，由在上单调递增，则，解得，故C正确；D项，的图象与直线均过点，由，则，故直线即与曲线相切，如图可知的图象与直线有且仅有一个公共点，故D错误.故选：AC.

9．ACD【分析】对于A，直接由周期公式即可判断；对于B，直接代入检验即可；对于C，画出图形，通过数形结合即可判断；对于D，求得后结合辅助角公式即可得解.【详解】由题意可得，故A正确；，所以不是图象的一个对称中心，故B错误；令，由得，根据题意可转化为直线与曲线，有两个交点，数形结合可得，故C正确；设f'x为则，其中，当且仅当，即当且仅当时等号成立，故D正确，故选：ACD．10．1【分析】构造函数，设切点为，设，设切点为，结合条件得到是函数和的图象与曲线交点的横坐标，利用对称性得出关于直线对称，从而得出，，然后计算出．【详解】设，则，设切点为，则，则切线方程为，即，直线过定点，所以，所以，设，则，设切点为，则，则切线方程为，即，直线过定点，所以，所以，则是函数和的图象与曲线交点的横坐标，易知与的图象关于直线对称，而曲线也关于直线对称，因此点关于直线对称，从而，，所以．故答案为：1.11．【分析】可先设交点为，利用利用两函数在该