2025年高考数学二轮复习 专题四 立体几何 第4讲　空间向量与距离、探究性问题原卷版

第4讲空间向量与距离、探究性问题（新高考专用）目录目录【真题自测】 2【考点突破】 2【考点一】空间距离 2【考点二】空间中的探究性问题 4【专题精练】 7考情分析：1.以空间几何体为载体，考查利用向量方法求空间中点到直线以及点到平面的距离，属于中等难度.2.以空间向量为工具，探究空间几何体中线、面的位置关系或空间角存在的条件，计算量较大，一般以解答题的形式考查，难度中等偏上．真题自测真题自测一、解答题1．（2024·天津·高考真题）已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中．是的中点，是的中点．(1)求证平面；(2)求平面与平面的夹角余弦值；(3)求点到平面的距离．考点突破考点突破【考点一】空间距离核心梳理：(1)点到直线的距离直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的任一点，P为直线l外一点，设eq\o(AP,\s\up6(→))＝a，则点P到直线l的距离d＝eq\r(a2－a·u2).(2)点到平面的距离平面α的法向量为n，A是平面α内任一点，P为平面α外一点，则点P到平面α的距离为d＝eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|).一、单选题1．（2024·江西新余·模拟预测）已知，直线过原点且平行于，则到的距离为（

）.A． B．1 C． D．2．（2024·北京朝阳·一模）在棱长为的正方体中，，，分别为棱，，的中点，动点在平面内，且.则下列说法正确的是（

）A．存在点，使得直线与直线相交B．存在点，使得直线平面C．直线与平面所成角的大小为D．平面被正方体所截得的截面面积为二、多选题3．（2024·福建福州·模拟预测）在长方体中，为的中点，则（

）A． B．平面C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为4．（2024·江苏·一模）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点满足，则（

）A．当时，平面B．任意，三棱锥的体积是定值C．存在，使得与平面所成的角为D．当时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为三、填空题5．（2023·福建·一模）已知空间中三点，则点A到直线的距离为．6．（2024·辽宁·二模）如图，经过边长为1的正方体的三个项点的平面截正方体得到一个正三角形，将这个截面上方部分去掉，得到一个七面体，则这个七面体内部能容纳的最大的球半径是．规律方法：(1)求点到平面的距离有两种方法，一是利用空间向量点到平面的距离公式，二是利用等体积法．(2)求直线到平面的距离的前提是直线与平面平行．求直线到平面的距离可转化成直线上任一点到平面的距离．【考点二】空间中的探究性问题核心梳理：与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探究线面角或两平面的夹角满足特定要求时的存在性问题．处理原则：先建立空间直角坐标系，引入参数(有些是题中已给出)，设出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断．一、单选题1．（2024·北京怀柔·模拟预测）如图，已知正方体中，F为线段的中点，E为线段上的动点，则下列四个结论正确的是（

）

A．存在点E，使平面B．三棱锥的体积随动点E变化而变化C．直线与所成的角不可能等于D．存在点E，使平面2．（2024·山东临沂·二模）已知正方体中，M，N分别为，的中点，则（

）A．直线MN与所成角的余弦值为 B．平面与平面夹角的余弦值为C．在上存在点Q，使得 D．在上存在点P，使得平面二、多选题3．（2024·广西贵港·模拟预测）如图，在正方体中，P为线段的中点，Q为线段上的动点（不包括端点），则（

）A．存在点Q，使得 B．存在点Q，使得平面C．三棱锥的体积是定值 D．二面角的余弦值为4．（2024·河北秦皇岛·二模）如图，在直四棱柱中，四边形是矩形，，，，点P是棱的中点，点M是侧面内的一点，则下列说法正确的是（

）A．直线与直线所成角的余弦值为B．存在点，使得C．若点是棱上的一点，则点M到直线的距离的最小值为D．若点到平面的距离与到点的距离相等，则点M的轨迹是抛物线的一部分三、填空题5．（2024·北京大兴·三模）在棱长为6的正方体中，E为棱上一动点，且不与端点重合，F，G分别为，的中点，给出下列四个结论：①平面平面；②平面可能经过的三等分点；③在线段上的任意点H（不与端点重合），存在点E使得平面；④若E为棱的中点，则平面与正方体所形成的截面为五边形，且周长为.其中所有正确结论的序号是.6．（2024·北京海淀·二模）如图，在正方体中，为棱上的动点，平面为垂足.给出下列四个结论：①；②线段的长随线段的长增大而增大；③存在点，使得；④存在点，使得平面.其中所有正确结论的序号是.四、解答题7．（23-24高三下·广西·阶段练习）在中，，，D为边上一点，，E为上一点，，将沿翻折，使A到处，.

(1)证明：平面；(2)若射线上存在点M，使，且与平面所成角的正弦值为，求λ.8．（2024·湖北·模拟预测）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，平面ABC，，，E，F分别为PA，PC的中点，平面BEF与平面ABC的交线为l．(1)证明：平面PBC；(2)直线l与圆O的交点为B，D，求三棱锥的体积；(3)点Q在直线l上，直线PQ与直线EF的夹角为，直线PQ与平面BEF的夹角为，是否存在点Q，使得？如果存在，请求出；如果不存在，请说明理由．规律方法：解决立体几何中探索性问题的基本方法(1)通常假设问题中的数学对象存在或结论成立，再在这个前提下进行推理，如果能推出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，并可进一步证明，否则假设不成立．(2)探索线段上是否存在满足条件的点时，一定注意三点共线的条件的应用．专题精练专题精练一、单选题1．（2024·江苏盐城·模拟预测）棱长为2的正方体中，设点为底面内（含边界）的动点，则点到平面距离之和的最小值为（

）A． B． C． D．2．（23-24高二下·浙江·期中）空间点，则点到直线的距离（

）A． B． C． D．3．（2024·广西来宾·一模）棱长为3的正方体中，点E，F满足D1E=2ED，BF⃗=2FBA． B．C． D．4．（2024·福建福州·模拟预测）四棱锥的顶点均在球的球面上，底面为矩形，平面平面，，，，则到平面的距离为（

）A． B． C． D．5．（2023·全国·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体中，P为棱的中点，Q为正方形内一动点（含边界），则下列说法中不正确的是（）A．若平面，则动点Q的轨迹是一条线段B．存在Q点，使得平面C．当且仅当Q点落在棱上某点处时，三棱锥的体积最大D．若，那么Q点的轨迹长度为6．（2024·四川成都·三模）在棱长为5的正方体中，是中点，点在正方体的内切球的球面上运动，且，则点的轨迹长度为（

）A． B． C． D．7．（2023·江苏徐州·模拟预测）在空间直角坐标系中，直线的方程为，空间一点，则点到直线的距离为（

）A． B．1 C． D．8．（2023·广东佛山·模拟预测）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是a，且，，E为的中点，则点E到直线的距离为（

）

A． B． C． D．二、多选题9．（2024·江苏扬州·模拟预测）如图，一个棱长为6的透明的正方体容器（记为正方体）放置在水平面的上方，点恰在平面内，点到平面的距离为2，若容器中装有水，静止时水面与表面的交线与的夹角为0，记水面到平面的距离为，则（

）A．平面平面B．点到平面的距离为8C．当时，水面的形状是四边形D．当时，所装的水的体积为10．（2024·广东佛山·模拟预测）如图，几何体的底面是边长为6的正方形底面，，则（

）A．当时，该几何体的体积为45B．当时，该几何体为台体C．当时，在该几何体内放置一个表面积为S的球，则S的最大值为D．当点到直线距离最大时，则11．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知直三棱柱中，且，直线与底面所成角的正弦值为，则（

）A．线段上存在点，使得B．线段上存在点，使得平面平面C．直三棱柱的体积为D．点到平面的距离为三、填空题12．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知空间中有三点，，，则点O到直线的距离为.13．（23-24高二上·江苏无锡·期中）在棱长为3的正方体中，为线段靠近的三等分点.为线段靠近的三等分点，则直线到平面的距离为.14．（2024·北京通州·二模）如图，几何体是以正方形ABCD的一边BC所在直线为旋转轴，其余三边旋转90°形成的面所围成的几何体，点G是圆弧的中点，点H是圆弧上的动点，，给出下列四个结论：①不存在点H，使得平面平面CEG；②存在点H，使得平面CEG；③不存在点H，使得点H到平面CEG的距离大于；④存在点H，使得直线DH与平而CEG所成角的正弦值为．其中所有正确结论的序号是．四、解答题15．（2023·江苏连云港·模拟预测）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD与ABEF均为直角梯形，平面平面ABEF，，，，，，且．(1)已知点G为AF上一点，且，证明：平面DCE；(2)若平面DCE与平面BDF所成锐二面角的余弦值为，求点F到平面DCE的距离．16．（2024·天津河西·模拟预测）如图，在棱长为的正方体中，分别是棱上的动点，且．(1)求证：；(2)当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面BEF夹角的正切值及点到直线的距离．17．（2024·江苏苏州·三模）如图，已知正方体的棱长为，，分别是和的中点.(1)求证：；(2)求直线和之间的距离；(3)求直线与平面所成角的正弦值.18．（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）如图，在三棱柱中，，侧面是正方形，二面角的大小是．(1)求到平面的距离．(2)线段上是否存在一个点D，使直线与平面所成角为？若存在，求出