2025年高考数学二轮复习 专题三 数列 第3讲　数列的递推关系原卷版

第3讲数列的递推关系（新高考专用）目录目录【真题自测】 2【考点突破】 3【考点一】构造辅助数列 3【考点二】利用an与Sn的关系 4【专题精练】 5考情分析：数列的递推关系是高考重点考查内容，作为两类特殊数列——等差数列、等比数列，可直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列真题自测真题自测一、单选题1．（2023·北京·高考真题）已知数列满足，则（

）A．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立B．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立C．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立D．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立2．（2022·浙江·高考真题）已知数列满足，则（

）A． B． C． D．3．（2021·浙江·高考真题）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（

）A． B． C． D．二、填空题4．（2022·北京·高考真题）已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：①的第2项小于3；

②为等比数列；③为递减数列；

④中存在小于的项．其中所有正确结论的序号是．三、解答题5．（2022·全国·高考真题）记为数列的前n项和．已知．(1)证明：是等差数列；(2)若成等比数列，求的最小值．6．（2022·全国·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．(1)求的通项公式；(2)证明：．考点突破考点突破【考点一】构造辅助数列一、单选题1．（2024·山东潍坊·一模）已知数列an满足，．若数列是公比为2的等比数列，则（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）若数列满足，，则满足不等式的最大正整数为（

）A．28 B．29 C．30 D．31二、多选题3．（2024·湖南长沙·一模）小郡玩一种跳棋游戏，一个箱子中装有大小质地均相同的且标有的10个小球，每次随机抽取一个小球并放回，规定：若每次抽取号码小于或等于5的小球，则前进1步，若每次抽取号码大于5的小球，则前进2步.每次抽取小球互不影响，记小郡一共前进步的概率为，则下列说法正确的是（

）A．B．C．D．小华一共前进3步的概率最大4．（2023·辽宁朝阳·一模）已知数列满足，且，则下列说法正确的是（

）A．数列为递减数列 B．C． D．三、填空题5．（23-24高二上·广东河源·期末）已知正项数列满足，则.6．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知数列的前项和为，且.若，则的最小值为.规律方法：(1)形如an＋1－an＝f(n)的数列，利用累加法，即利用公式an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1(n≥2)，即可求数列{an}的通项公式．(2)形如eq\f(an＋1,an)＝f(n)的数列，常令n分别为1,2,3，…，n－1，代入eq\f(an＋1,an)＝f(n)，再把所得的(n－1)个等式相乘，利用an＝a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an－1)(n≥2)即可求数列{an}的通项公式．(3)形如an＋1＝eq\f(qan,pan＋q)(p，q≠0)的数列，取倒数可得eq\f(1,an＋1)＝eq\f(1,an)＋eq\f(p,q)，即eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝eq\f(p,q)，构造等差数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))求通项公式．(4)若数列{an}满足an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)，构造an＋1＋λ＝p(an＋λ)．(5)若数列{an}满足an＋1＝pan＋f(n)(p≠0,1)，构造an＋1＋g(n＋1)＝p[an＋g(n)]．【考点二】利用an与Sn的关系一、单选题1．（2024·山西晋中·模拟预测）已知正项数列的前项和为，若，且恒成立，则实数的最小值为（

）A． B． C． D．32．（2024·江苏·一模）已知正项数列满足，若，则（

）A． B．1 C． D．2二、多选题3．（2024·贵州贵阳·二模）设首项为1的数列前项和为，已知，则下列结论正确的是（

）A．数列为等比数列 B．数列的前项和C．数列的通项公式为 D．数列为等比数列4．（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，下列说法正确的是（

）A．若，则是等差数列B．若，则是等比数列C．若，则数列为递增数列D．若数列为等差数列，，则最小三、填空题5．（23-24高三上·广东东莞·期中）已知数列的前项和，，则.6．（23-24高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）已知数列an满足，设数列an的前项和为，则=规律方法：在处理Sn，an的式子时，一般情况下，如果要证明f(an)为等差(等比)数列，就消去Sn，如果要证明f(Sn)为等差(等比)数列，就消去an；但有些题目要求求{an}的通项公式，表面上看应该消去Sn，但这会导致解题陷入死胡同，这时需要反其道而行之，先消去an，求出Sn，然后利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求出an(n≥2)．专题精练专题精练一、单选题1．画条直线，将圆的内部区域最多分割成（

）A．部分 B．部分C．部分 D．部分2．已知数列满足，其中，则（

）A． B． C． D．3．已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式为（

）A． B．C． D．4．数列满足，（），，若数列是递减数列，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．5．已知数列满足，，，则（

）A． B． C． D．6．已知数列的前项和为，若，则的最大值为（

）A． B． C． D．17．设数列an的前项和为，若，且，则（

）A． B． C． D．8．数列的前项和为，则可以是（

）A．18 B．12 C．9 D．6二、多选题9．数列满足，且对任意的都有，则（

）A． B．数列的前项和为C．数列的前项和为 D．数列的第项为10．已知数列满足，，，则下列结论错误的是（

）A． B．存在，使得C． D．11．设无穷数列an的前项和为，且，若存在，使成立，则（

）A．B．C．不等式的解集为D．对任意给定的实数，总存在，当时，三、填空题12．记数列的前项和为，若，则.13．已知数列的前项和为，且，，则.14．设数列的前项和为，，，，则.四、解答题15．已知数列满足，（）．(1)求数列的通项公式；(2)记数列的前项和为，证明：．16．已知等差数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)数列满足，令，求证：．17．已知数列的前n项和为，在数列中，，，．(1)求数列，的通项公式；(2)设，为数列的前n项和，求的最值．18．记为数列的前项和，若，.(1)求；(2)若，求数列的前项和.19．网球运动是一项激烈且耗时的运动，对于力量的消耗是很大的，这就需要网球运动员提高自己的耐力．耐力训练分为无氧和有氧两种训练方式．某网球俱乐部的运动员在某赛事前展开了一轮为期90天的封闭集训，在封闭集训期间每名运动员每天选择一种方式进行耐力训练．由训练计划知，在封闭集训期间，若运动员第天进行有氧训练，则第天进行有氧