2025年高考数学二轮复习 专题六 解析几何 第8讲　离心率的范围问题解析版

第8讲离心率的范围问题（新高考专用）目录目录【真题自测】 2【考点突破】 2【考点一】利用圆锥曲线的定义求离心率的范围 2【考点二】利用圆锥曲线的性质求离心率的范围 9【考点三】利用几何图形的性质求离心率的范围 15【专题精练】 22考情分析：圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁．真题自测真题自测一、单选题1．（2021·全国·高考真题）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．参考答案：题号1答案C1．C【分析】设，由，根据两点间的距离公式表示出，分类讨论求出的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．【详解】设，由，因为，，所以，因为，当，即时，，即，符合题意，由可得，即；当，即时，，即，化简得，，显然该不等式不成立．故选：C．【点睛】本题解题关键是如何求出的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．考点突破考点突破【考点一】利用圆锥曲线的定义求离心率的范围一、单选题1．（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知是椭圆的两个焦点，点在上，若使为直角三角形的点有8个，则的离心率的范围是（

）A． B． C． D．2．（22-23高三下·四川成都·开学考试）已知，分别为双曲线C的左、右焦点，点P是右支上一点，且，设，当的范围为时，双曲线C离心率的范围为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（21-22高二上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知，为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上一点，且，下列说法正确的是（

）A． B．离心率范围C．当点为短轴端点时，为等腰直角三角形 D．若，则4．（23-24高二上·山东青岛·期中）已知双曲线的左右顶点为，，左右焦点为，，直线与双曲线的左右两支分别交于，两点，则（

）A．若，则的面积为B．直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，则C．若的斜率的范围为，则的斜率的范围为D．存在直线的方程为，使得弦的中点坐标为三、填空题5．（23-24高二上·四川绵阳·阶段练习）已知椭圆：的左，右焦点分别为，，焦距为，是椭圆上一点（不在坐标轴上），是的平分线与轴的交点，若，则椭圆离心率的范围是．6．（23-24高二下·广东深圳·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的右支交于两点，若，则的离心率为.参考答案：题号1234答案CAABDABC1．C【分析】先根据为直角三角形分三类讨论，利用椭圆的对称性可分析出以点、和为直角顶点的点的个数；再利用余弦定理及判断一元二次方程根的个数的方法得出；最后根据离心率的求法及椭圆离心率的范围即可求解.【详解】为直角三角形，可分为以下三类讨论：以点为直角顶点；以点为直角顶点；以点为直角顶点.由椭圆的对称性可知：以点为直角顶点的点有两个；以点为直角顶点的点有两个，则要使为直角三角形的点有8个，须使以点为直角顶点的直角三角形有4个.由椭圆的对称性可得在轴上方有两个点满足以点为直角顶点.则，即，所以，解得即，所以，又因为椭圆离心率，所以.故选：C.2．A【分析】先应用双曲线定义结合正弦定理把离心率转化为角的正弦，再根据两角和差和辅助角公式化简，根据已知角范围求解即可.【详解】在中，由．因为，所以，所以，所以．故选:A.3．ABD【分析】利用极化恒等式可得，结合可得离心率范围，当点为短轴端点时，易知其为等边三角形，结合面积关系可得正切值.【详解】∵，∴，又，∴，∴，故A正确；∵，，∴，即，∴，故B正确；当点为短轴端点时，∵，，∴为等边三角形，故C错误；若，又∴，∴，不妨设为锐角，则为钝角，∴，∴，∴，同理可得，∴，∴，故D正确.故选：ABD4．ABC【分析】对于A：利用余弦定理及双曲线的定义求出，进而可得三角形的面积；对于B：设，与直线联立，发现均与无关，进一步分析可得；对于C：求出为定值，进而可得的斜率的范围；对于D：将直线方程和双曲线方程联立，通过判别式可得结果.【详解】在双曲线中，对于A：在双曲线的焦点三角形中，，可得所以，故A正确；

对于B，不妨设，当时表示双曲线，当时表示该双曲线的两条渐近线.设直线，其与的交点为联立，可得，应满足且.由韦达定理可知，都与无关.所以线段的中点与线段的中点重合，不妨设为.由可知，故B正确；对于C，设，且，，所以若的斜率范围为，则的斜率的范围为，C正确；对于D，联立，消去可得，，故直线与双曲线无交点，所以不存在中点，D错误.故选：ABC.5．【分析】根据角平分线定理求出的关系，根据定义得出或，再由求解即可.【详解】如图，当在O点同侧时，根据椭圆对称性，假设点P在第一象限，

，，是的平分线，，则，由，可得，由，可得，由，可得；当当在O点异侧时，由角平分线定理可得，则，可得，所以；综上，.故答案为：6．【分析】设，利用双曲线定义，结合余弦定理求得，再利用余弦定理建立方程求出离心率.【详解】令，则，在中，由余弦定理得，解得，则，令，在中，由余弦定理得，解得，所以双曲线的离心率.故答案为：【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：①定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；②齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.规律方法：此类题型的一般方法是利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关于a，b，c的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围．【考点二】利用圆锥曲线的性质求离心率的范围一、单选题1．（2022·四川泸州·模拟预测）已知椭圆的左右焦点为，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（

）A． B．C． D．2．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知椭圆的焦距为，若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，则椭圆的离心率范围为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（21-22高二上·湖南永州·阶段练习）下列说法正确的是（

）A．过双曲线右焦点且斜率为的直线与双曲线的右支交于两点，则此双曲线离心率的范围为B．直线与双曲线有且只有一个公共点，则C．动圆与圆外切，与圆内切，则动圆圆心的轨迹是某双曲线的一支D．点满足，则动点的轨迹是一条直线4．（22-23高二上·重庆九龙坡·期末）已知、分别为双曲线的左、右焦点，点在直线l上，过点的直线与双曲线的右支交于A、B两点，下列说法正确的是（）A．若直线l与双曲线左右两支各一个交点，则直线l的斜率范围为）B．点到双曲线渐近线的距离为C．若直线AB垂直于x轴，且△ABM为锐角三角形，则双曲线的离心率取值范围为D．记的内切圆的半径为r1，的内切圆的半径为，若，则三、填空题5．（21-22高二上·黑龙江绥化·期中）已知椭圆上有一点，，是椭圆的左、右焦点，若使得为直角三角形的点有8个，则椭圆的离心率的范围是．6．（21-22高三上·浙江绍兴·期末）已知是双曲线.左，右焦点，若上存在一点，使得成立，其中是坐标原点，则的离心率的取值范围是.参考答案：题号1234答案AAACDACD1．A【分析】由题可知六个点，有两个是短轴端点，因此在四个象限各一个，设是第一象限内的点，分或，列方程组求得点横坐标，由可得离心率范围；或结合椭圆的性质列出不等关系即得．【详解】法一：显然，是短轴端点时，，满足为等腰三角形，因此由对称性，还有四个点在四个象限内各有一个，设是第一象限内使得为等腰三角形的点，若，则，又，消去整理得：，解得(舍去)或，由得，所以，即，若，则，又，消去整理得：，解得或，舍去．所以，所以，即，时，，是等边三角形，只能是短轴端点，只有2个，不合题意．综上，的范围是．法二：①当点与短轴的顶点重合时，构成以为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的；②当构成以为一腰的等腰三角形时，根据椭圆的对称性，只要在第一象限内的椭圆上恰好有一点满足为等腰三角形即可，则或当时，则，即，则，当时，则有，则，综上所述，椭圆的离心率取值范围是.故选：A.2．A【分析】根据椭圆焦点坐标以及直线过定点可得点在椭圆内部，整理不等式可得离心率.【详解】将直线整理可得，易知该直线恒过定点，若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，可知点在椭圆内部；易知椭圆上的点当其横坐标为时，纵坐标为，即可得，整理可得，即，解得.故选：A3．ACD【分析】对A，结合题意知，结合离心率公式可求；对B，联立直线与双曲线方程得，分类讨论和可求值；对C，设动圆半径为，结合圆心距关系和双曲线定义可判断正确；对D，将已知条件转化为到定点距离等于到定直线距离，由定点在定直线上可判断.【详解】对A，由双曲线渐近线性质可知，若过双曲线的右焦点且斜率为的直线与双曲线的右支交于两点，则直线斜率大于渐近线斜率，即，，解得，又双曲线离心率大于1，故，故A正确；对B，由可得，当或时，直线与双曲线只有一个交点，解得或，故B错误；对C，设圆的圆心为，圆的圆心为，动圆圆心为，半径为，则，，故点在以为焦点，的双曲线右支上，故C正确；对D，可将翻译为：动点到点的距离等于动点到直线的距离，又经过，所以动点的轨迹是一条过点，且垂直于的一条直线，故D正确.故选：ACD4．ACD【分析】设出直线的方程，与双曲线方程联立，根据题意，两交点的横坐标异号，利用韦达定理即可求解，判断选项；求出右焦点到渐近线的距离为，进而判断选项；要使为锐角三角形，则，所以，进行等量代换求出离心率的取值即可判断选项；根据三角形内切圆的特点先求出两圆的内心在上，然后利用三角形相似求出的值，进而求出，即可判断选项.【详解】对于，由题意知：直线的斜率存在，设直线的方程为：，设直线与双曲线左右两支的交点分别为，，联立方程组，整理可得：，则，也即，解得：，故选项正确；对于，设右焦点为，双曲线的渐近线方程为：，由点到直线的距离公式可得：点到双曲线渐近线的距离，故选项错误；对于，若直线AB垂直于x轴，则直线的方程为：，设点，，要使为锐角三角形，由双曲线的对称性可知：，则，即，所以，又因为，则，也即，整理可得：，则，解得：，因为，所以，故选项正确；对于，过分别作的垂线，垂足为，则，因为，则，又因，则，所以，即在直线上，同理也在直线上，所以轴，因为，则，所以，由可知：，则，也即，因为，，所以，，故选项正确，故选：.5．【分析】根据题意判断，以为直径的圆与椭圆有4个交点，再求得点P在y轴上时的离心率，最后根据椭圆的离心率越大椭圆越扁求得答案.【详解】由椭圆的对称性，为直角，共有4个位置，为直角，共有4个位置，于是以为直径的圆与椭圆有4个交点.又离心率越大椭圆越扁，而当点P在y轴上时，，于是，若要满足题意，.故答案为：.6．【分析】不妨设点在双曲线的右支上，设，则，先求出，，由条件可得，再根据，根据建立不等式从而可得答案.【详解】不妨设点在双曲线的右支上，设，则，则则同理可得由，可得，又所以，即，即所以，即，即，即所以，即故答案为：规律方法：利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角，通径，三角形中的边角关系，曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(不等式组)求解．【考点三】利用几何图形的性质求离心率的范围核心梳理：一、单选题1．（23-24高二上·湖南长沙·期中）焦点在x轴椭圆中截得的最大矩形的面积范围是，则椭圆离心率的范围是（

）A． B． C． D．2．（2022·全国·模拟预测）已知椭圆和双曲线有相同的焦点、，它们的离心率分别为、，点为它们的一个交点，且，则的范围是（

）A． B．C． D．二、多选题3．（23-24高二上·广东深圳·期中）下列说法正确的是（

）A．直线恒过定点B．直线的倾斜角的范围是C．方程表示的曲线是双曲线D．曲线与曲线恰有三条公切线，则4．（23-24高三上·湖北·开学考试）已知双曲线的左右顶点为，左右焦点为，直线与双曲线的左右两支分别交于两点，则（

）A．若，则的面积为B．存在弦的中点为，此时直线的方程为C．若的斜率的范围为，则的斜率的范围为D．直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，则三、填空题5．（2022·湖南长沙·二模）已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，若C与直线有交点，且双曲线上存在不是顶点的P，使得，则双曲线离心率取值范围范围为.6．（21-22高三上·浙江嘉兴·期末）已知椭圆的右焦点为F，P､Q是椭圆上关于原点对称的两点，M､N分别是PF､QF的中点，若以MN为直径的圆过原点，则椭圆的离心率e的范围是.参考答案：题号1234答案CCBDACD1．C【分析】设椭圆的标准方程为，不妨设矩形的对角线所在的直线方程为：（假设），与椭圆方程联立可得矩形的面积，变形利用基本不等式结合题意求解即可.【详解】设椭圆的标准方程为，不妨设矩形的对角线所在的直线方程为：（假设），联立，则，解得：，，所以矩形的面积为：，当且仅当时取等，因为点在x轴椭圆中截得的最大矩形的面积范围是，所以，则，即，，即，解得：，即.故选：C.2．C【分析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长，焦距．结合椭圆与双曲线的定义,得，,在中,根据余弦定理可得到，，与的关系式，进而可得，设则有，所以，构造函数,利用导数求出函数的值域即可.【详解】解：设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长，焦距，点为第一象限交点．则，，解得，，如图：在中,根据余弦定理可得：，整理得，即，设则有，，所以，即有，所以，所以===，设,则,令，得，所以在上恒成立,所以在上单调递减，当趋于时，趋于，当趋于1时，趋于2，所以，即：.故选：C.3．BD【分析】代入验证知A错误，确定得到B正确，轨迹为两条射线，C错误，确定两圆外切，根据圆心距与半径的关系得到D正确，得到答案.【详解】对选项A：将代入验证不成立，错误；对选项B：直线的斜率为，直线倾斜角为，，，则，正确；对选项C：，表示到点和的距离之差的绝对值为，轨迹为两条射线，错误；对选项D：，，两圆有三条公切线，故两圆外切，故，解得，正确；故选：BD4．ACD【分析】选项A：利用双曲线的定义结合余弦定理求解和三角形面积公式求解，选项B：利用点差法，结合一元二次方程根与系数的关系判断，选项C：利用斜率公式可得和斜率的乘积是定值判断，选项D:设直线带入，通过证明和中点重合判断即可.【详解】在双曲线中，，，，且，，，，选项A：设，，由双曲线定义得：，两边平方得①，在中，由余弦定理可得②，①②联立解得，所以的面积为，A正确；选项B：设，，则，两式相减得，因为弦的中点为，所以，，因此由可得，此时直线的方程为，代入双曲线的方程消去可得，此时，此时直线与双曲线无公共点，说明此时直线不存在，B错误；选项C：设，则，即，又直线与的斜率的乘积，所以若的斜率的范围为，则的斜率的范围为，C正确；选项D：设，当时表示双曲线，当时表示该双曲线的两条渐近线，设直线带入得，应满足，且，由韦达定理可得，，与无关，所以线段的中点与线段的中点重合，不妨设为，则由，可得，D正确；

故选：ACD【点睛】解决直线与圆锥曲线相交（过定点、定值）问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于或的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为，形式；（5）代入韦达定理求解.直线与圆锥曲线相交涉及中点弦问题，常用点差法，该法计算量小，模式化强，易于掌握.5．【分析】由直线与双曲线有交点，得在一三象限的渐近线的斜率大于1，得出的一个范围．双曲线上存在不是顶点的P，使得，与轴交于点，由平面几何的知识及双曲线定义得，在直角三角形中由边的关系得不等式，得出的范围，同时由的范围又是一个不等关系，从而得出离心率范围．【详解】双曲线C与直线有交点，则，，解得，双曲线上存在不是顶点的P，使得，则点在右支上，设与轴交于点，由对称性，所以，所以，，所以，由得，所以，又中，，，所以，即，综上，．故答案为：．6．【分析】设点，利用条件可知得到关于的方程，再联立，用含的式子表示出，再利用的取值范围，即得出离心率的范围.【详解】设点，则，又点，∴，又以为直径的圆过原点，则有,所以，即，∴，又，所以，得，∴，整理得：，解得，又，所以.故答案为：.规律方法：利用几何图形中几何量的大小，例如线段的长度、角的大小等，构造几何度量之间的关系．专题精练专题精练一、单选题1．（23-24高二下·浙江·期中）已知椭圆，为椭圆上一动点（不含左右端点），左右端点为，则离心率e的范围为（

）A． B． C． D．2．（21-22高二·全国·课后作业）已知直线，若椭圆上的点到直线的距离的最大值与最小值之和为，则椭圆的离心率范围是（

）A． B．C． D．3．（21-22高二上·湖南邵阳·期末）设为双曲线与椭圆的公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点是以线段为底边的等腰三角形，若椭圆的离心率范围为，则双曲线的离心率取值范围是（

）A． B． C． D．4．（21-22高二上·辽宁葫芦岛·期末）椭圆与双曲线有公共的焦点、，与在第一象限内交于点，是以线段为底边的等腰三角形，若椭圆的离心率的范围是，则双曲线的离心率取值范围是（

）A． B． C． D．5．（2022·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知双曲线左、右顶点为A，B，若该双曲线上存在点P，使得的斜率之和为1，则该双曲线离心率的范围为（

）A． B． C． D．6．（22-23高三下·四川成都·开学考试）已知，分别为双曲线C的左、右焦点，点P是右支上一点，且，设，当双曲线C的离心率范围为时，的取值范围为（

）A． B． C． D．7．（22-23高二上·北京房山·期末）已知是双曲线的左、右焦点，若在右支上存在点A，使得点到直线的距离为，则双曲线离心率e的范围是（

）A． B． C． D．8．（2023·江西·二模）已知双曲线E:,其左右顶点分别为,,P在双曲线右支上运动,若的角平分线交x轴于D点,关于的对称点为,若仅存在2个P使直线与E仅有一个交点,则E离心率的范围为(

)A． B． C． D．二、多选题9．（23-24高三上·江苏·阶段练习）设矩形的长是宽的2倍，以该矩形的两个顶点为焦点的双曲线W经过另外两个顶点，则W的离心率的可能取值为（

）A． B． C． D．10．（23-24高二下·湖北孝感·期中）设椭圆与双曲线（其中）的离心率分别为，，且直线与双曲线的左、右两支各交于一点，下列结论正确的有（

）A．的取值范围是 B．的取值范围是C．的取值范围是 D．的取值范围是11．（22-23高三上·江苏南京·阶段练习）已知，是椭圆与双曲线共同的焦点，，分别是，的离心率，点M是它们的一个交点，则以下判断正确的有（

）A．面积为B．若，则C．若，则的取值范围为D．若，则的取值范围为三、填空题12．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知双曲线的焦点在轴上，则离心率的范围为．13．（24-25高二上·山东滨州·阶段练习）设分别为椭圆的左、右焦点，在椭圆上运动时，至少有两个位置使得，则椭圆C的离心率范围是．14．（23-24高二上·江西南昌·期中）设，是椭圆与双曲线的公共焦点，曲线，在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的范围是.参考答案：题号12345678910答案BAABDBDDACDACD题号11答案ABD1．B【分析】将条件中的不等式用坐标表示，再结合椭圆方程化简不等式，即可求解椭圆的离心率的范围.【详解】设，，，，，由题意可知，，即，得，则.故选：B2．A【分析】先将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去，由求出的范围，设椭圆上任意一点P（acosθ，sinθ），然后利用点到直线的距离公式求出点P到直线的距离，利用三角函数的性质可求得的最值，从而可得当直线与椭圆相切或相离时满足题意，再由可求出离心率的范围【详解】解：联立可得（1+a2）x2+4a2x+3a2=0，因为直线l与椭圆C相离或相切，所以=16a4﹣12a2（1+a2）≤0，∴1<a2≤3，设椭圆上任意一点P（acosθ，sinθ），则点到直线l的距离，其中，d的最小值､最大值分别为：，，满足最大值与最小值之和为，∴1<a2≤3，.故选：A.3．A【分析】设椭圆的标准方程为，根据椭圆和双曲线的定义可得到两图形离心率之间的关系，再根据椭圆的离心率范围可得双曲线的离心率取值范围.【详解】设椭圆的标准方程为，，则有已知，两式相减得，即，，因为，解得故选：A.4．B【分析】求得，可得出，设椭圆和双曲线的离心率分别为、，可得，由可求得的取值范围.【详解】设，设双曲线的实轴长为，因为与在第一象限内交于点，是以线段为底边的等腰三角形，则，由椭圆的定义可得，由双曲线的定义可得，所以，，则，设椭圆和双曲线的离心率分别为、，则，即，因为，则，故.故选：B.5．D【分析】由题可得与双曲线有公共点，据此可得答案.【详解】易知，设，则，所以，又，所以，即，所以，即直线与双曲线有公共点.联立与双曲线方程，有，消去得：，则要使方程有根，需使.故选：D6．B【分析】结合双曲线的定义和正弦定理可得：，然后利用两角和的正弦公式和辅助角公式可得，然后结合离心率的取值范围即可求解.【详解】在中，由．因为，所以，所以，所以的取值范围为．故选：.7．D【分析】设，，其中，设直线方程为，其中利用点到直线的距离为，得到关于表达式，再利用可得答案.【详解】设，，其中，设直线方程为，则.因点到直线的距离为，则则，则.故选：D8．D【分析】设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，我们可证直线且，据此可求离心率的范围.【详解】设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，由题设可得不为右顶点.设Px0,双曲线在Px0,由可得，整理得到：，故，整理得：即，故，故切线方程为：即.

因为存在2个P使直线与E仅有一个交点，故由双曲线的对称性不妨设在第一象限，此时，均为锐角且存在唯一的满足题设条件.故直线与渐近线平行或与双曲线相切或.若直线与渐近线平行，则，而为的平分线，故其倾斜角满足，故，故，故，但,故，而，由基本不等式可得，当且仅当即时等号成立，此时，这不可能，故直线与渐近线不平行.若直线与双曲线相切，且切点为Px0双曲线在的切线方程为：，故且该切线的斜率为，所以直线的斜率为.此时，而，即，故，矛盾.故直线，所以，而直线的倾斜角为，因为直线与双曲线有且只有一个交点，且在之间，故，由在第一象限内的唯一性可得存在唯一的，使得，而，故，所以即，所以，故选：C.【点睛】思路点睛：解析几何中圆