2025年高考数学二轮复习 专题二 三角函数与解三角形 第4讲　平面向量数量积的最值与范围问题解析版

第4讲平面向量数量积的最值与范围问题（新高考专用）目录目录【真题自测】 2【考点突破】 10【考点一】求参数的最值(范围) 10【考点二】求向量模、夹角的最值(范围) 15【考点三】求向量数量积的最值(范围) 21【专题精练】 27考情分析：平面向量中的最值与范围问题，是高考的热点与难点问题，主要考查求向量的模、数量积、夹角及向量的系数等的最值、范围．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，数形结合也是解决平面向量中的最值与范围问题的重要方法．真题自测真题自测一、单选题1．（2023·全国·高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（

）A． B．C． D．2．（2022·北京·高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则PA⋅PB的取值范围是（

）A． B． C． D．二、填空题3．（2024·天津·高考真题）在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，，则；为线段上的动点，为中点，则的最小值为．4．（2022·天津·高考真题）在中，点D为AC的中点，点E满足.记，用表示，若，则的最大值为5．（2022·浙江·高考真题）设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是．6．（2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为；的最小值为．7．（2021·浙江·高考真题）已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为.参考答案：题号12答案AD1．A【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得，或然后结合三角函数的性质即可确定的最大值.【详解】如图所示，，则由题意可知:，由勾股定理可得

当点位于直线异侧时或PB为直径时，设，则：，则当时，有最大值.

当点位于直线同侧时，设，则：，，则当时，有最大值.综上可得，的最大值为.故选：A.【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.2．D【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出PA，PB，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，设，，所以PA=3-cos所以PA，其中，，因为，所以，即PA⋅PB∈故选：D

3．【分析】解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值.【详解】解法一：因为，即，则，可得，所以；由题意可知：，因为为线段上的动点，设，则，又因为为中点，则，可得，又因为，可知：当时，取到最小值；解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则，可得，因为，则，所以；因为点在线段上，设，且为中点，则，可得，则，且，所以当时，取到最小值为；故答案为：；.4．【分析】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出，以为基底，表示出，由可得，再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出．法二：以点为原点建立平面直角坐标系，设，由可得点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，方程为，即可根据几何性质可知，当且仅当与相切时，最大，即求出．【详解】方法一：，，，当且仅当时取等号，而，所以．故答案为：；．方法二：如图所示，建立坐标系：，，，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，当且仅当与相切时，最大，此时．故答案为：；．5．【分析】根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设，再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到，然后利用即可解出．【详解】以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：则,，设,于是，因为，所以，故的取值范围是.故答案为：．6．1【分析】设，由可求出；将化为关于的关系式即可求出最值.【详解】设，，为边长为1的等边三角形，，，，为边长为的等边三角形，，，，，所以当时，的最小值为.故答案为：1；.7．【分析】设，由平面向量的知识可得，再结合柯西不等式即可得解.【详解】由题意，设，则，即，又向量在方向上的投影分别为x，y，所以，所以在方向上的投影，即,所以，当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是由平面向量的知识转化出之间的等量关系，再结合柯西不等式变形即可求得最小值.考点突破考点突破【考点一】求参数的最值(范围)一、单选题1．（23-24高一下·河北沧州·阶段练习）如图，在中，是的中点，是的中点，过点作直线分别交于点，，且，则的最小值为（

）

A．1 B．2 C．4 D．2．（2022·全国·模拟预测）在中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若，则的最小值为（

）A．9 B．8 C．4 D．2二、多选题3．（2024·山西晋中·模拟预测）在中，为边上一点且满足，若为边上一点，且满足，，为正实数，则下列结论正确的是（

）A．的最小值为1 B．的最大值为C．的最大值为12 D．的最小值为44．（2024·江苏·二模）在长方形ABCD中，，，点E，F分别为边BC和CD上两个动点（含端点），且，设，，则（

）A．， B．为定值C．的最小值50 D．的最大值为三、填空题5．（2024·天津·一模）已知平行四边形的面积为，，且.若F为线段上的动点，且，则实数的值为；的最小值为.6．（2024·上海松江·二模）已知正三角形的边长为2，点满足，且，，，则的取值范围是.参考答案：题号1234答案AABDAC1．A【分析】计算得，再利用三点共线结论得系数和为1，即，再利用基本不等式求出最值即可.【详解】因为是的中点，且，所以.因为三点共线，所以，即，所以，当且仅当时，等号成立.故选：A.2．A【分析】根据向量共线定理得推论得到，再利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.【详解】因为点F为线段BC上任一点（不含端点），所以，故，当且仅当，即时等号成立，故选：A3．BD【分析】根据三点公式求得，结合基本不等式判断即可.【详解】因为，所以，又，因为、、三点共线，所以，又，为正实数，所以，当且仅当，即，时取等号，故A错误，B正确；，当且仅当，即，时取等号，故C错误，D正确.故选：BD4．AC【分析】根据题设结合的位置可确定参数范围，判断A；取特殊位置计算的值，可判断B；根据数量积的运算律结合三角恒等变换可判断C；举出反例可判断D.【详解】对于A，由题意知当E和B重合时，，此时取最小值，取到最大值1；当F和D重合时，，此时取最小值，取到最大值1，A正确；对于B，当E和B重合时，，；当分别位于的中点时，满足，此时，，由此可知不为定值，B错误；对于C，，由，得，即,即，即，设，，则，（为辅助角，），当时，取到最小值50，即的最小值50，C正确，对于D，当时，，则，故D错误，故选：AC【点睛】难点点睛：解答本题的难点是选项C的判断，解答时要利用向量的加减以及向量数量积的运算律结合三角代换以及恒等变换进行求解.5．/0.5【分析】根据题意，利用平面向量的线性运算即可求出第一空，建立平面直角坐标系，依据条件建立方程，结合基本不等式求解第二空即可.【详解】因为所以，由共线，则，解得作，以为原点建立平面直角坐标系，设且，则，而的面积为，则，故，则，则，当且仅当时取“=”，所以的最小值为故答案为：；.6．【分析】取的中点，由题意可得，从而推得三点共线，进而得出，即可得出答案.【详解】取的中点，则，又，又因为，故三点共线，即点在中线上运动，在正三角形中，，又，，则，故.故答案为：规律方法：利用共线向量定理及推论(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)．(2)eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ为实数)，则A，B，C三点共线⇔λ＋μ＝1.【考点二】求向量模、夹角的最值(范围)一、单选题1．（2024·河北石家庄·二模）在平行四边形中，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．2．（2024·全国·模拟预测）已知向量，满足，，则的最小值为（

）A． B． C．8 D．2二、多选题3．（2024·甘肃武威·模拟预测）已知是同一平面内的四点，且，则（

）A．当点在直线的两侧时，B．当点在直线的同侧时，C．当点在直线的两侧时，的最小值为3D．当点在直线的同侧时，4．（23-24高一下·四川成都·期中）已知向量满足：为单位向量，且和相互垂直，又对任意不等式恒成立，若，则（

）A． B．C．当时，最小 D．的最小值为三、填空题5．（2023·天津河西·一模）在梯形中，，且，，分别为线段和的中点，若，，用，表示．若，则余弦值的最小值为．6．（23-24高三上·天津宁河·期末）在平行四边形中，，是的中点，，若设，则可用，表示为；若的面积为，则的最小值为．参考答案：题号1234答案AAACDABD1．A【分析】根据向量的运算律及数量积定义计算即可.【详解】设与同方向的单位向量，与同方向的单位向量，与同方向的单位向量，由题意，所以，所以，即，所以，所以，因为，所以，所以，即.故选：A2．A【分析】设且，建立直角坐标系，得到，求得，得到，结合基本不等式和函数上的单调性，即可求解.【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，设且，因为，可得，则，所以，又因为向量满足，可得，解得，所以，，则，设，因为，当且仅当，所以，又因为在上为单调递增函数，所以，即的最小值为.故选：A.3．ACD【分析】依据在直线的同侧或两侧分类研究，在两侧时由数量积和模的运算计算结果，可判断A、C；在同侧时利用数量积的三角形式求解可判断B，结合平面向量基本定理，判断答案D.【详解】设，由，，得；由，得，，当点在直线的两侧时，如图①，，所以，即，故A正确；因为，所以当时，的最小值为3，故C正确；当点在直线的同侧时，如图②，，所以，故B错误；设，则，即解得，所以，即，故D正确．故选：ACD.4．ABD【分析】根据条件得到，再数形结合，得到，从而判断出选项A正确；再利用选项A的结果，得到，利用夹角公式，即可求得，从而得出选项B正确；由得到，即可判断出选项C和D的正误，从而得出结果.【详解】因为为单位向量，且和相互垂直，所以，得到，对于选项A，如图，设，，则，，又对任意不等式恒成立，所以，故选项A正确，对于选项B，由选项A知，，得到，所以，又，所以，所以选项B正确，又因为，，，，所以，当时，，即，故选项C错误，选项D正确，故选：ABD.5．【分析】空（1）使用向量线性运算求解即可；空（2）以与为基底，用数量积的形式表示出，再由基本不等式求解即可.【详解】如图，由已知，.∴.设，即与的夹角为，，若，则，∴，又∵，，∴由基本不等式，∴.当且仅当，即时，等号成立.故答案为：，.【点睛】关键点睛：解决本题第2空的关键，是用以为夹角的两个向量作为基底，将垂直关系转化为数量积的形式，再借助基本不等式求解.6．【分析】根据题意，利用平面向量的线性运算法则，以及向量数量积的运算公式以及模的运算公式，结合基本不等式，即可求解.【详解】如图所示，根据向量的运算法则，可得，设，因为的面积为，可得，即，又由，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：；.规律方法：找两向量的夹角时，要注意“共起点”以及向量夹角的取值范围是[0，π]．若向量a，b的夹角为锐角，包括a·b>0和a，b不共线；若向量a，b的夹角为钝角，包括a·b<0和a，b不共线．【考点三】求向量数量积的最值(范围)一、单选题1．（23-24高三下·江西·开学考试）如图，已知圆的半径为2，弦长，为圆上一动点，则的取值范围为（

）

A． B．C． D．2．（2024·江西·一模）如图，正六边形的边长为，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的取值范围为（

）A． B．5,7 C． D．二、多选题3．（2024·山东潍坊·二模）已知向量，，为平面向量，，，，，则（

）A． B．的最大值为C． D．若，则的最小值为4．（2024·福建龙岩·一模）已知点与圆是圆上的动点，则（

）A．的最大值为B．过点的直线被圆截得的最短弦长为C．D．的最小值为三、填空题5．（2024·天津·二模）在四边形中，为中点．记，用表示；若，则的最大值为．6．（2024·天津·一模）在中，，则；若点为所在平面内的动点，且满足，则的取值范围是．参考答案：题号1234答案CBBCDACD1．C【分析】取的中点，连接、，根据数量积的运算律得到，再求出即可求出的范围，从而得解.【详解】取的中点，连接、，

则，又，所以，，即，所以，．故的取值范围为．故选：C2．B【分析】根据题意，由平面向量数量积的运算化简，可得，再由的范围，即可得到结果.【详解】由题意可得，，当与正六边形的边垂直时，，当点运动到正六边形的顶点时，，所以，则，即.故选：B3．BCD【分析】对A，设，根据可得，从而可得的范围；对B，化简，根据点到圆上的点的距离求解最大值即可；对C，化简，再结合满足圆的方程求范围即可；对D，根据满足圆的方程进行三角换元求解最值即可.【详解】对A，设，根据有，即，为圆心为1,0，半径为的圆，又的几何意义为原点到圆上的距离，则，故A错误；对B，，则转化为求圆上的点到12,1的距离最大值，为，故B正确；对C，，因为，故，故C正确；对D，因为，故，又因为，故，，故当时，取最小值取最小值，故D正确.故选：BCD4．ACD【分析】对A利用圆外点到圆上点距离最值模型即可判断；对B，利用弦长公式即可判断；对C，根据投影向量与向量数量积之间的关系即可即可；对D，根据向量共线定理并结合向量减法的线性运算转化为圆心到直线的距离即可.【详解】对A，圆的圆心坐标，半径，将原点代入圆的方程有，则原点在圆外，则，则，故A正确；对B，将B2,1代入圆方程得，则点在圆内，设圆心到过点的直线距离为，则,而被截的弦长为，则弦长最短为，故B错误；对C，作出在上投影向量，则，因为，即，则，故C正确；

对D，对与共线，则的最小值为点到直线的距离，易知直线的方程为，则点到直线的距离，故D正确.故选：ACD.

5．【分析】利用给定的基底，利用向量的线性运算求出；利用数量积的运算律及定义，余弦定理、基本不等式求出最大值即得.【详解】由是中点，，得；在四边形中，令，由，得，由，得，在中，由余弦定理得，，即，当且仅当时取等号，由，得，，因此，所以的最大值为.故答案为：；6．【分析】借助模长与数量积的关系即可得，取中点，借助向量的线性运算可得，逐项计算即可得其取值范围.【详解】，故，，取中点，则，，，故，故.故答案为：；.规律方法：向量数量积最值(范围)问题的解题策略(1)形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断．(2)数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集或方程有解等问题，然后利用函数、不等式或方程的有关知识来解决．专题精练专题精练一、单选题1．（23-24高三上·北京昌平·期末）已知点在圆上，点的坐标为为原点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2024·河南郑州·二模）在平面直角坐标系中，设，，动点P满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．3．（2024·北京平谷·模拟预测）已知，，P是曲线上一个动点，则的最大值是（

）A．2 B． C． D．4．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）在等腰中，的外接圆圆心为，点在优弧上运动，则的最小值为（

）A．4 B．2 C． D．5．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知菱形的边长为，动点在边上（包括端点），则的取值范围是（

）A． B． C． D．6．（2023·北京海淀·三模）已知为单位向量，向量满足，，则的最大值为（

）A．1 B．2 C． D．47．（2024·安徽·模拟预测）已知是圆O：的直径，M，N是圆O上两点，且，则的最小值为（

）A．0 B．-2 C．-4 D．8．（2024·辽宁·模拟预测）在矩形中，，为中点，为平面内一点，.则的取值范围为（

）A． B．C． D．二、多选题9．（23-24高一下·重庆·阶段练习）的内角A，B、C的对边分别为a，b，c，若，则（

）A． B．C．角A的最大值为 D．面积的最大值为10．（2024·河南·三模）已知平面向量，则下列说法正确的有（

）A．一定可以作为一个基底B．一定有最小值C．一定存在一个实数使得D．的夹角的取值范围是11．（2024·福建泉州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知是动点．下列命题正确的是（

）A．若，则的轨迹的长度等于2B．若，则的轨迹方程为C．若，则的轨迹与圆没有交点D．若，则的最大值为3三、填空题12．（23-24高三下·安徽·阶段练习）已知正方形的边长为2，中心为，四个半圆的圆心均为正方形各边的中点（如图），若在上，且，则的最大值为．13．（22-23高二下·上海浦东新·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点、的距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系中，、，点满足，则的最小值为.14．（2023·山东·二模）已知直线过圆的圆心，且与圆相交于，两点，为椭圆上一个动点，则的最大值与最小值之和为．参考答案：题号12345678910答案DCDDCCCABCDBC题号11答案ACD1．D【分析】设，利用平面向量数量积的坐标运算结合直线与圆的位置关系可得结果.【详解】设，因点的坐标为，所以，则，设，即，依题意，求t的范围即求直线与圆有公共点时在y轴上截距的范围，即圆心到的距离，解得，所以的取值范围为，故选：D.2．C【分析】设出点Px,y，利用数量积的坐标表示得到点的轨迹，结合直线与圆的关系进行求解即可.【详解】设Px,y，则，，则，即，化为，则点的轨迹为以为圆心，半径为2的圆，又，所以三点共线，显然当直线与此圆相切时，的值最大.又,则,则.故选：C.3．D【分析】根据向量数量积的坐标运算可得，再利用直线与圆的位置关系数形结合即可得解.【详解】因为，即，则曲线表示以坐标原点O为圆心，半径为1的上半圆，并记为，设点Px,y，则，所以，令，则，故直线（斜率为，纵截距为）与曲线有公共点，如图所示：

直线过点，则，即，直线与曲线相切，则，解得或（舍去），所以，则，所以的最大值为.故选：D.4．D【分析】根据题意，由正弦定理可得圆的外接圆直径，从而可得，代入计算，即可得到结果.【详解】由已知，所以圆的外接圆直径为，因为，所以，所以，因为，即，所以时，取到最小值．故选：D．5．C【分析】建立平面直角坐标系，利用向量积的坐标计算将目标式化简，求出取值范围即可.【详解】如图，作，以为原点，建立平面直角坐标系，易知，，，设，且x∈0,2，故，，故，而，.故选：C6．C【分析】设，，根据求出，再根据得到，最后根据向量模的坐标表示及二次函数的性质计算可得.【详解】依题意设，，由，所以，则，又，且，所以，即，所以，当且仅当时取等号，即的最大值为.故选：C7．C【分析】取的中点C，结合垂径定理与数量积的运算表示出后，借助三角函数值域即可得解.【详解】设的中点为C，∵，，则，∵C为的中点，∴，设向量与的夹角为，∴，又，∴的最小值为.故选：C.8．A【分析】建系，设，根据向量的坐标运算结合辅助角公式可得，再结合正弦函数的有界性分析求解.【详解】如图，建立平面直角坐标系，

则，因为，可设，则，可得，其中，因为，所以.故选：A.9．BCD【分析】首先将向量的数量积转化为，再根据余弦定理和基本不等式，三角形的面积公式，即可求解.【详解】，故A错误；根据余弦定理，则，故B正确；由A知，，，则，故C正确；，，当时，面积的最大值为，故D正确.故选：BCD10．BC【分析】对A：借助基底的定义与向量共线定理计算即可得；对B：借助模长定义计算即可得；对C：借助模长与数量积的关系计算即可得；对D：找出反例即可得.【详解】对A：若，即，即，此时