4.4-4.6 椭球面、双曲面、抛物面

4.4椭球面1.范围:|x|≤a,|y|≤b,|z|≤c.图形在x=±a,y=±b,z=±c所围成的长方体内.2.对称性:图形关于坐标原点、三个坐标轴以及三个坐标面都是对称.（直角坐标系下）2021/6/2713.截痕

椭球面与三个坐标面的交线（称为主截线或主椭圆）：2021/6/272椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.椭球面与平面（）的交线为椭圆同理与平面

和的交线也是椭圆.2021/6/273abcyx

zo2021/6/274椭球面的两种特殊情况：旋转椭球面由椭圆

绕轴旋转而成．球面方程可写为2021/6/275例

已知椭球面的轴与三坐标轴重合,且通过椭圆与点M,求椭球面方程.解由椭球面的轴与三坐标轴重合，可设其方程为它与xOy面的交线是椭圆：2021/6/276与已知椭圆重合，比较得又因椭球面通过点,故2021/6/277例

已知椭球面求过x轴且与椭球面的交线是圆的平面.解设所求平面方程为它与椭球面的交线是2021/6/278如果交线是圆，则圆心是椭球面的对称中心(0,0,0)，

且圆通过椭球面的顶点(a,0,0)，(-a,0,0)，

故其方程为它与椭球面的交线是2021/6/279比较(1)与(2),得因此,所求平面为练习：习题4.43,4,5作业：习题4.422021/6/27101.单叶双曲面(2)对称性:

图形关于坐标原点、三个坐标轴以及三个坐标面都对称.(1)范围:故曲面在椭圆柱面的外部；4.5双曲面2021/6/2711(3)截痕用平面z=z0

截曲面所得截痕为椭圆：用平面y=y0

截曲面所得截痕为：这是一条双曲线（或两条直线）.xyoz2021/6/2712截痕用平面x=x

0截曲面所得截痕为：这是一条双曲线（或两条直线）xyoz2021/6/27132.双叶双曲面(2)对称性:

图形关于坐标原点、三个坐标轴以及三个坐标面都对称.(1)范围:故曲面在两平行平面的外部；2021/6/2714xyo(3)截痕2021/6/2715例

用一组平行平面z=h(h为任意参数)截割单叶双曲面得一族椭圆,求这族椭圆焦点的轨迹.解这族椭圆的方程为2021/6/2716练习：习题4.53作业：习题4.52,4,52021/6/2717练习

已知a>b>c>0，讨论k的不同取值时方程的图像.答案

k<

c：

椭球面k=

c：

椭圆柱面k=

b：

双曲柱面k>=

a：

空集c<k<

b：

单叶双曲面b<k<

a：

双叶双曲面2021/6/2718（与

同号）(1)范围:

若p>0且q>0,

则图形在xOy

平面上方，否则在xO

y

平面下方.(2)对称性:

图形关于z

轴、yOz

平面、xOz

平面对称.4.6抛物面1.椭圆抛物面2021/6/2719(3)截痕用坐标面

xOy(z=0)

与曲面相截截得一点，即坐标原点设坐标原点也叫椭圆抛物面的顶点.xyzo不相交.用平面去截2021/6/2720设用平面去截xyzo交线为椭圆.2021/6/2721用坐标面与曲面相截截得抛物线设用平面去截xyzo交线为抛物线.2021/6/2722用坐标面与曲面相截均可得抛物线.同理:当时可类似讨论.设xyzo2021/6/2723zxyoxyzo椭圆抛物面的图形如下：2021/6/2724特殊地：当时，方程变为旋转抛物面（由面上的抛物线绕z轴旋转而成）2021/6/2725(1)范围:

x,y,zR,曲面可向各方向无限延伸.(2)对称性:

图形关于z

轴、yOz

平面、xOz

平面对称.2.双曲抛物面（与

同号）2021/6/2726(3)截痕用平面z=z0

(z0

0)截曲面所得截痕为双曲线（与

同号）xyzo2021/6/2727截痕

用平面x=x0与

y=y0

截曲面所得截痕为抛物线（与

同号）2021/6/2728解两曲面的交线为例

求球面