新高考数学二轮复习分层训练专题19 直线和圆（解析版）

答案第=page11页，共=sectionpages22页专题19直线和圆【练基础】单选题1．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0，若在直线SKIPIF1<0上存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】设出SKIPIF1<0点坐标，由SKIPIF1<0进行化简，结合二次函数的性质求得SKIPIF1<0的取值范围.【详解】对于直线SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，设SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0两边平方得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，根据二次函数的性质可知，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值，且最大值为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：A2．（2023·山西·校联考模拟预测）已知圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的圆心到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，则圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的公切线共有（

）A．0条 B．1条 C．2条 D．3条【答案】B【分析】先根据题意求得SKIPIF1<0，从而得到两圆的圆心和半径，进而求得圆心距等于两半径的差，得知两圆内切，即可知道公切线只有1条.【详解】圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，半径为a，所以圆心到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0．圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0，圆心坐标为SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，圆心距SKIPIF1<0，所以两圆相内切．所以两圆的公切线只有1条.故选：B．3．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若直线SKIPIF1<0上存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根据题意分析可得直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0有公共点（公共点不能是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0），结合直线与圆的位置关系分析运算.【详解】若SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为直径的圆上（点SKIPIF1<0不能是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0），∵以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为直径的圆的圆心为SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，则圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0有公共点（公共点不能是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0），当直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0有公共点时，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；当直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的公共点为A或B时，则直线SKIPIF1<0即为x轴，即SKIPIF1<0；综上所述：实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.故选：B.4．（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）已知点SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0的右焦点，点SKIPIF1<0是双曲线上位于第一象限内的一点，且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴垂直，点SKIPIF1<0是双曲线渐近线上的动点，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】由双曲线的方程可得点SKIPIF1<0坐标及渐近线方程，进而求得点SKIPIF1<0坐标，利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】解：由双曲线方程可得，点SKIPIF1<0坐标为SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入双曲线方程，得SKIPIF1<0，由于点SKIPIF1<0在第一象限，所以点SKIPIF1<0坐标为SKIPIF1<0，因为双曲线的渐近线方程为SKIPIF1<0，所以，点SKIPIF1<0到双曲线的渐近线的距离为SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0是双曲线渐近线上的动点，所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0．故选：B．5．（2023·内蒙古·校联考模拟预测）已知直线SKIPIF1<0被圆SKIPIF1<0截得的线段长为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】由圆的一般方程可确定圆心和半径，根据直线被圆截得的弦长为SKIPIF1<0可构造方程求得结果.【详解】由圆SKIPIF1<0方程得：圆心SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，SKIPIF1<0圆心SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0.故选：B.6．（2023·山东泰安·统考一模）已知直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切，与抛物线SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0两点，以SKIPIF1<0为直径的圆过坐标原点，则直线SKIPIF1<0的方程为（

）A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】B【分析】设直线SKIPIF1<0方程，利用直线与圆相切，与抛物线相交，且验证以SKIPIF1<0为直径的圆过坐标原点，即可求得直线方程.【详解】若直线SKIPIF1<0的斜率不存在，又直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切，则直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，又直线与抛物线SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0两点，则直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，此时可设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，不符合题题意；若直线SKIPIF1<0的斜率存在，设直线SKIPIF1<0得方程为SKIPIF1<0，由直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切，则圆心SKIPIF1<0到直线的距离为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0①，设SKIPIF1<0，则联立抛物线与直线方程SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0②，联立①②解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故选：B.7．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，曲线SKIPIF1<0关于点SKIPIF1<0的对称曲线为SKIPIF1<0，若以曲线SKIPIF1<0与两坐标轴的交点为顶点的四边形面积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．0或SKIPIF1<0 D．0【答案】C【分析】根据给定条件，求出曲线SKIPIF1<0的方程，再判断原点与曲线SKIPIF1<0的位置关系，结合四边形面积求出弦长作答.【详解】曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0是以点SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径的圆，点SKIPIF1<0关于点SKIPIF1<0的对称点SKIPIF1<0，则曲线SKIPIF1<0是以点SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径的圆，圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0与两坐标轴各有两个交点，又圆SKIPIF1<0的圆心在y轴上，则原点必在圆SKIPIF1<0内，因此圆SKIPIF1<0的内接四边形两条对角线互相垂直，其中一条对角线长为SKIPIF1<0，设另一条对角线长为SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因此圆SKIPIF1<0截x轴所得弦长为SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，令SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的值为0或SKIPIF1<0.故选：C8．（2023·陕西西安·统考一模）已知双曲线C：SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0的直线与圆SKIPIF1<0相切于点Q，与双曲线的右支交于点P，若线段SKIPIF1<0的垂直平分线恰好过右焦点SKIPIF1<0，则双曲线C的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】A【分析】根据题意画出草图，由题意O为SKIPIF1<0的中点可得SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0，即可得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据双曲线定义推得SKIPIF1<0长度，在直角三角形SKIPIF1<0中用勾股定理即可找到SKIPIF1<0之间的关系，即可求得离心率.【详解】设SKIPIF1<0的焦距为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由题意过SKIPIF1<0的直线与圆SKIPIF1<0相切于点Q，连接SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,连接SKIPIF1<0,设M为SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,因为O为SKIPIF1<0的中点，故Q为SKIPIF1<0的中点，即SKIPIF1<0,在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由于M为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,在双曲线SKIPIF1<0中，P在右支上，有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，故双曲线的离心率为SKIPIF1<0，故选：A【点睛】关键点点睛：要求双曲线的离心率，即要求出SKIPIF1<0之间的关系，因而解答本题时，根据题意推出相关线段的长，特别是SKIPIF1<0，继而在SKIPIF1<0中应用勾股定理即是关键所在.二、多选题9．（2023·山东菏泽·统考一模）已知圆SKIPIF1<0，下列说法正确有（

）A．对于SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0都有两个公共点B．圆SKIPIF1<0与动圆SKIPIF1<0有四条公切线的充要条件是SKIPIF1<0C．过直线SKIPIF1<0上任意一点SKIPIF1<0作圆SKIPIF1<0的两条切线SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为切点），则四边形SKIPIF1<0的面积的最小值为4D．圆SKIPIF1<0上存在三点到直线SKIPIF1<0距离均为1【答案】BC【分析】对于选项A，转化为判断直线恒过的定点与圆的位置关系即可；对于选项B，转化为两圆外离，运用几何法求解即可；对于选项C，由SKIPIF1<0，转化为求SKIPIF1<0最小值即可；对于选项D，设圆心到直线的距离为d，比较SKIPIF1<0与1的关系即可.【详解】对于选项A，因为SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以直线恒过定点SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以定点SKIPIF1<0在圆O外，所以直线SKIPIF1<0与圆O可能相交、相切、相离，即交点个数可能为0个、1个、2个.故选项A错误；对于选项B，因为圆O与动圆C有4条公切线，所以圆O与圆C相离，又因为圆O的圆心SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，圆C的圆心SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0.故选项B正确；对于选项C，SKIPIF1<0，又因为O到P的距离的最小值为O到直线SKIPIF1<0的距离，即：SKIPIF1<0，所以四边形PAOB的面积的最小值为SKIPIF1<0.故选项C正确；对于选项D，因为圆O的圆心SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，则圆心O到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以圆O上存在两点到直线SKIPIF1<0的距离为1.故选项D错误.故选：BC.10．（2023·广东佛山·统考一模）设单位圆O与x轴的左、右交点分别为A、B，直线l：SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0）分别与直线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0交于C、D两点，则（

）A．SKIPIF1<0时，l的倾斜角为SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0，点A、B到l的距离之和为定值C．SKIPIF1<0，使l与圆O无公共点D．SKIPIF1<0，恒有SKIPIF1<0【答案】BD【分析】对于A：首先得到直线的斜率，即可求出直线的倾斜角，从而判断A，对于B，分别求出点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离，再求和即可，求出坐标原点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离，即可判断C，求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点坐标，再求出SKIPIF1<0，即可判断D.【详解】解：依题意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，对于A：当SKIPIF1<0时直线SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，故A错误；对于B：点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离之和为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即对SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离之和为定值SKIPIF1<0，故B正确；对于C：坐标原点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0与单位圆相切，即直线SKIPIF1<0与单位圆必有一个交点，故C错误；对于D：对于直线SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，恒有SKIPIF1<0，故D正确；故选：BD11．（2023·全国·模拟预测）设直线l：SKIPIF1<0，圆C：SKIPIF1<0，若直线l与圆C恒有两个公共点A，B，则下列说法正确的是（

）A．r的取值范围是SKIPIF1<0B．若r的值固定不变，则当SKIPIF1<0时∠ACB最小C．若r的值固定不变，则SKIPIF1<0的面积的最大值为SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0的面积最大时直线l的斜率为1或SKIPIF1<0【答案】BD【分析】A选项，先整理直线方程，得到直线过的定点，再根据直线与圆的位置关系得到半径r的范围；B选项，利用平面几何知识分析出当SKIPIF1<0时，∠ACB最小，再利用斜率之间的关系即可判断；C选项，先将SKIPIF1<0的面积用半径r和圆心C到直线l的距离d表示，再利用二次函数的知识求最值即可；D选项，利用C选项得到半径r和圆心C到直线l的距离d之间的关系，再利用点到直线的距离公式建立方程，求得a，b之间的关系，即可得到结果．【详解】A选项：因为直线l：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以直线l过定点SKIPIF1<0，因为直线l与圆C恒有两个公共点，所以SKIPIF1<0，故A错误；B选项：因为直线l过定点SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，∠ACB最小，因为SKIPIF1<0，所以此时直线l的斜率为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故B正确；C选项：设圆心C到直线l的距离为d，则SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的面积最大，且SKIPIF1<0；②若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则函数S随着d的增大而增大，所以SKIPIF1<0，综上SKIPIF1<0的面积的最大值为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故C错误；D选项：由C选项知，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0的面积最大，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以直线l的斜率SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故D正确．故选：BD．【点睛】关键点点睛：求解本题的关键：（1）整理直线方程，得到直线过的定点的坐标；（2）熟练掌握直线与圆的位置关系，并能利用平面几何知识分析出圆心角何时最小．12．（2023·辽宁沈阳·统考一模）已知圆SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0上的动点，过点SKIPIF1<0作圆SKIPIF1<0的两条切线，切点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．切线长SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0B．四边形SKIPIF1<0面积的最小值为SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0的一条直径，则SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0D．直线SKIPIF1<0恒过定点SKIPIF1<0【答案】ABD【分析】利用勾股定理可求得切线长SKIPIF1<0的最小值，可判断A选项；利用三角形的面积公式可判断B选项；利用平面向量数量积的运算性质以及SKIPIF1<0的最小值，可判断C选项；设点SKIPIF1<0，求出直线SKIPIF1<0的方程，可求得直线SKIPIF1<0恒过定点的坐标，可判断D选项.【详解】圆心为SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0，由圆的几何性质可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.对于A选项，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取最小值，且SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，A对；对于B选项，由切线长定理可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，B对；对于C选项，易知SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，C错；对于D选项，设点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，以SKIPIF1<0为直径的圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，将圆SKIPIF1<0的方程与圆SKIPIF1<0的方程作差可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，变形可得SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以，直线SKIPIF1<0恒过定点SKIPIF1<0，D对.故选：ABD.三、填空题13．（2023·宁夏银川·六盘山高级中学校考一模）圆心在直线SKIPIF1<0上，且过点SKIPIF1<0的圆的标准方程为__________．【答案】SKIPIF1<0【分析】先求得点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0确定线段的中垂线，再根据直线SKIPIF1<0上，两方程联立求得圆心，从而得到圆的半径即可.【详解】解：点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0确定直线的斜率为SKIPIF1<0，其中点为SKIPIF1<0，所以线段的中垂线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又圆心在直线SKIPIF1<0上，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以圆心为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以圆的标准方程为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<014．（2023·江西赣州·统考一模）已知函数SKIPIF1<0且SKIPIF1<0的图像恒过定点SKIPIF1<0，且点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0外，则符合条件的整数SKIPIF1<0的取值可以为__________.（写出一个值即可）【答案】SKIPIF1<0（不唯一，取SKIPIF1<0的整数即可）【分析】先求定点SKIPIF1<0的坐标，结合点在圆外以及圆的限制条件可得SKIPIF1<0的取值.【详解】因为函数SKIPIF1<0的图像恒过定点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；因为点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0外，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0为整数，所以SKIPIF1<0的取值可以为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0（不唯一，取SKIPIF1<0的整数即可）.15．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）古希腊数学家阿波罗尼斯发现如下结论：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值SKIPIF1<0的点的轨迹是圆”．在平面直角坐标系中，已知点SKIPIF1<0，点P满足SKIPIF1<0，设点P的轨迹为圆M，点M为圆心，若直线SKIPIF1<0与圆M相交于D，G两点，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0____________．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】设点SKIPIF1<0由SKIPIF1<0求出圆M方程，根据SKIPIF1<0截圆弦长SKIPIF1<0求得SKIPIF1<0值.【详解】设点SKIPIF1<0SKIPIF1<0点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，化为:SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0的轨迹圆SKIPIF1<0，圆心SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0.圆心SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0故答案为:SKIPIF1<0或SKIPIF1<016．（2023·河南·校联考模拟预测）圆SKIPIF1<0与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，点N满足SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与圆M和点N的轨迹同时相切，则直线l的斜率为________．【答案】SKIPIF1<0【分析】求出A、B坐标，设N(x,y)，求出N的轨迹圆E的方程，作出图象，利用圆的公切线的几何性质即可求其斜率．【详解】对于圆SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，则点N的轨迹是圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0的圆．又圆M的方程为SKIPIF1<0，则圆M的圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴两圆相交，设直线l与圆M和点N轨迹圆E切点分别为C，D，连接CM，DE，过M作DE的垂线，垂足为点F，则四边形CDFM为矩形，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则两圆公切线CD的斜率即为直线FM的斜率为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0.四、解答题17．（2022·云南昆明·昆明一中模拟预测）已知点SKIPIF1<0，动点M满足SKIPIF1<0，点M的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的轨迹方程；(2)曲线C上任意一点N（不同于A，B）和点A，B的连线分别与y轴交于P，Q两点，O为坐标原点求证：SKIPIF1<0为定值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)证明见解析【分析】（1）结合SKIPIF1<0，由向量的坐标运算化简即可求解曲线C的轨迹方程；（2）设SKIPIF1<0，分别由点斜式求出直线SKIPIF1<0和直线SKIPIF1<0的方程，令SKIPIF1<0可求SKIPIF1<0，相乘即可求证.【详解】（1）设点SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，所以曲线SKIPIF1<0的轨迹方程为SKIPIF1<0；（2）设点SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．18．（2022·河南鹤壁·鹤壁高中校考模拟预测）已知圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0上一动点，过点SKIPIF1<0作圆SKIPIF1<0的切线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，切点分别是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0．(1)试问直线SKIPIF1<0是否恒过定点，若是求出这个定点，若否说明理由；(2)直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，求SKIPIF1<0的取值范围（SKIPIF1<0为坐标原点）．【答案】(1)直线SKIPIF1<0恒过定点SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】(1)由题可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为直径的圆上，利用两圆方程，求得直线SKIPIF1<0的方程，即可求解．(2)直线与圆联立方程组,利用韦达定理解决取值范围.【详解】（1）直线SKIPIF1<0恒过定点SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，由题意知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为直径的圆上，又SKIPIF1<0，则以SKIPIF1<0为直径的圆的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又圆SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，两式相减，故直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即直线SKIPIF1<0恒过定点SKIPIF1<0，（2）由SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，直线与圆交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由韦达定理，有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，由二次函数的性质可知，SKIPIF1<0的图像抛物线开口向上，对称轴方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.【提能力】一、单选题19．（2023·甘肃兰州·兰州五十九中校考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－4x＝0及点A(－1,0)，B(1,2)，在圆C上存在点P，使得|PA|2＋|PB|2＝12，则点P的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】设P(x,y)，由SKIPIF1<0求得SKIPIF1<0点轨迹是圆，又SKIPIF1<0在已知圆上，判断出两圆相交后可得SKIPIF1<0点个数．【详解】设P(x,y)，则(x－2)2＋y2＝4，|PA|2＋|PB|2＝(x＋1)2＋(y－0)2＋(x－1)2＋(y－2)2＝12，即x2＋y2－2y－3＝0，即x2＋(y－1)2＝4，圆心为SKIPIF1<0，半径为2，又圆SKIPIF1<0圆心为SKIPIF1<0，半径为2，因为SKIPIF1<0，所以圆(x－2)2＋y2＝4与圆x2＋(y－1)2＝4相交，所以点P的个数为2.故选：B.20．（2023·山东潍坊·校考一模）已知平面向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据题意，求出SKIPIF1<0，建立平面直角坐标系，设SKIPIF1<0，求出轨迹方程，利用几何意义即可求出SKIPIF1<0的最大值.【详解】由SKIPIF1<0可知,SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，如图建立坐标系，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的终点在以SKIPIF1<0为圆心,1为半径的圆上，所以SKIPIF1<0，几何意义为SKIPIF1<0到SKIPIF1<0距离的2倍，由儿何意义可知SKIPIF1<0，故选：D.21．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知直角SKIPIF1<0的直角顶点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上，若点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据圆的性质，结合圆与圆的位置关系进行求解即可.【详解】因为圆SKIPIF1<0的圆心坐标为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，直角SKIPIF1<0的直角顶点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上，所以有SKIPIF1<0，因为直角SKIPIF1<0的直角顶点为SKIPIF1<0，所以点A在以SKIPIF1<0为直径的圆上，因此圆心坐标为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，因为点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上，所以这两个圆位置关系为相交或内切或外切，所以有SKIPIF1<0，故选：C22．（2023·全国·校联考模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点SKIPIF1<0的距离之比为定值SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0.设点SKIPIF1<0的轨迹为曲线SKIPIF1<0，则下列说法错误的是（

）A．SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0B．当SKIPIF1<0三点不共线时，则SKIPIF1<0C．在C上存在点M，使得SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据已知条件及两点之间的距离公式，利用三角形的角平分线定理及圆与圆的位置关系，结合三点共线时线段取得最短即可求解.【详解】设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，故A正确；当SKIPIF1<0三点不共线时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的角平分线，所以SKIPIF1<0，故B正确；设SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以C上不存在点M，使得SKIPIF1<0，故C错误；因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上时，等号成立，故D正确.故选：C.23．（2023·全国·模拟预测）已知点P是圆SKIPIF1<0上一点，若点P到直线SKIPIF1<0的距离为1，则满足条件的点P的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据圆心到直线的距离即可求解.【详解】由题意可知圆心为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，故与直线SKIPIF1<0平行且过圆心的直线与圆相交的两个交点即为满足条件的点P，此时有两个，又圆的半径为2，故当过圆心且与SKIPIF1<0垂直的直线与圆的下半部分相交的一个点也符合，故共有3个.故选:C24．（2023·四川凉山·统考一模）已知SKIPIF1<0为抛物线SKIPIF1<0的焦点，过SKIPIF1<0作垂直SKIPIF1<0轴的直线交抛物线于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，以SKIPIF1<0为直径的圆交SKIPIF1<0轴于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】由题意可知圆是以焦点为圆心，SKIPIF1<0为半径的圆，根据弦长公式即得.【详解】由题可知SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以以SKIPIF1<0为直径的圆的半径是SKIPIF1<0，圆心为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以抛物线方程SKIPIF1<0.故选：B.25．（2023·湖南长沙·统考一模）在平面直角坐标系SKIPIF1<0中,已知SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,若该平面中存在点SKIPIF1<0,同时满足两个条件SKIPIF1<0与SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】设出点SKIPIF1<0坐标,根据SKIPIF1<0,求出点SKIPIF1<0的轨迹方程,根据SKIPIF1<0,可求出点SKIPIF1<0的另一个轨迹方程,只需这两个方程的曲线无交点即可,利用圆与圆的位置关系列出等式求出范围即可.【详解】解:由题知,不妨设SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,化简可得:SKIPIF1<0,故点SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为圆心,SKIPIF1<0为半径的圆上,又因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,化简可得:SKIPIF1<0,即点SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为圆心,SKIPIF1<0为半径的圆上,故若存在点P，只需圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0有交点即可,即SKIPIF1<0,同时平方化简可得:SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,解得:SKIPIF1<0.所以不存在点P时，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故选:D26．（2022·北京·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点P在直线SKIPIF1<0上，且点P在第四象限，点SKIPIF1<0．以PQ为直径的圆C与直线l的另外一个交点为T，满足SKIPIF1<0，则圆C的直径为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0