理论力学课件 矢量分析

理论力学ClassicalMechanics2024Introduction绪论空间分布量及其时空变化02表示空间04矢量分析基础01旋转变换03101矢量分析基础1.1矢量的基本概念位置矢量矢量定义:具有大小和方向，它在几何上对应于从一个点指向另一个点的向量，例如位移、速度、力等。坐标表示方法物理对象（比如机械运动系统）的某个性质通常需要多个量来刻画。为了方便，同时强调它们的共同归属，我们通常会把这些相关量打包成一个整体物理量来看待和处理。1.2矢量运算矢量的分解合成转化1）物理对象们存在着相互影响并时刻在变化着；2）针对矢量构建相应的运算体系来方便地处理这些相互影响和变化规律；3）运算体系要体现现实世界物理对象关系及其演化所呈现出来的特点。1.2.1加法矢量加法满足平行四边形法则几何解释解决矢量合成（从左到右看）和分解（从右到左看）的问题。1.2.1加法①交换律②结合律1.2.1加法③矢量减法通过矢量减法，我们可以得到一个特殊的矢量——零矢量。任何矢量与它求和都等于其自身。1.2.2数乘令为一实数，它与矢量的数乘定义为一个新的矢量大小特例1.2.2数乘①分配律②结合律③单位矢量其长度是从单位矢量出发，通过拉伸、压缩和反向（数乘），可以得到该方向上的任意矢量。1.2.3内积（点乘）内积定义：它实现了将两个矢量映射到一个标量上去。1.2.3内积（点乘）①交换律②分配律1.2.3内积（点乘）③矢量模长④施瓦兹不等式⑤三角不等式证明：1.2.3外积（叉乘）外积定义：长度：方向：矢量向矢量逆时针旋转时，旋转轴的指向（右手定则）外积的平行四边形面积解释：1.2.3外积（叉乘）与矢量的加法类似，矢量的外积也可以看作是将两个矢量合成为另一个矢量。空间反演(坐标反转)我们将通常的矢量称为极矢量，而将外积得到的矢量称为轴矢量（也称赝矢量）在空间上镜像反演时，轴矢量的方向保持不变，与极矢量不同。1.2.3外积（叉乘）特性极矢量轴矢量（赝矢量）定义通常的矢量，如位移、速度、力由两个极矢量的叉积生成的矢量，如角动量、磁场在镜像反演下的行为方向反转方向保持不变几何意义直接描述方向和大小，如直线位移与旋转有关，如角动量、磁场等计算来源直接计算（如位移、速度的变化）通常是两个极矢量的叉积1.2.3外积（叉乘）空间反演下的赝标量两极矢量的内积，得到的标量不会发生改变两轴矢量的内积，得到的标量也不会更改符号一个极矢量和一个轴矢量内积，得到的标量符号发生反转赝标量在物理定律中表现出对空间反演敏感的特性，通常出现在涉及对称性、空间反演、旋转和拓扑效应等现象中。1.2.3外积（叉乘）外积和内积的混合或者多重运算，我们会经使用到，其中最为常见的计算关系有：1.3线性空间作为几何对象的矢量可以被拉伸、压缩、翻转、合成与分解，对应的代数操作是数乘和矢量加减法。拉伸、压缩合成张开的线性空间和1.3线性空间矢量和张开平面空间矢量坐标表示1.3线性空间矢量的运算规则的简化令：（2）矢量加减法（1）矢量数乘（3）矢量内积（4）矢量外积1.3线性空间矢量的个数越多，张开的空间越大么？1.3线性空间一般地，如果用于张开空间的矢量组有冗余，我们称它们线性相关。1）有非零解，那么矢量组线性相关。2）如果只有全零解，那么矢量组线性无关。如果一个矢量，在矢量组所张开的空间内，那么下式一定有实数解1.3线性空间举个例子令直角坐标系中表示矩阵表示解组成了矢量，目标矢量是它经过函数变换而来1.3线性空间矩阵（及其逆矩阵）可以看作是线性变换（lineartransform）的一种表示，常见的与几何有关的线性变换有恒等、镜像、放大、旋转等。202空间分布量及其时空变化2.1空间分布1）有了线性空间后，空间中任意一点都可以方便地用矢量（及其坐标）来表示。2）弥散在空间中的物理量也可以用基于矢量的函数来刻画。3）有空间分布特性的量叫做场，它通常写成：物理量可以是标量或者矢量，分别称为标量场和矢量场2.2场的轴向变化：偏导数考察从空间的一点移动到另一点，跨过单位长度距离，标量场的变化：引力场例子2.3场的定向变化：梯度通过偏导数我们很容易计算轴向的小位移所引起的场的变化一般的小位移并不一定是沿着轴向的，我们可以重新选择坐标系，使小位移沿着新坐标系的轴向，有在两个坐标系中有了两种展开方式等式两边与基矢内积，可以得到两套坐标系中坐标之间的关系2.3场的定向变化：梯度该式可以看作是两个矢量的内积第一个矢量我们称其为标量场的梯度。它也可以看作是一个矢量算符作用在标量场上的结果被称为那勃勒（Nabla）算符2.3场的定向变化：梯度因此，沿任意方向的小位移造成的标量场改变为一个特殊的情况是当梯度矢量与小位移的方向垂直时，由上式我们有注意到在场为恒定值的曲面上（比如等高线，等势面等），梯度矢量没有分量，它只分布在垂直该面的方向上。2.4场的时间变化：全导数场的自变量矢量还可能依赖其它量而变化，比如时间。那么在一段微小的时间段内，场的单位时间变化为2.4场的时间变化：全导数2.4场的时间变化：全导数假设场的变化是连续的（物理量通常都有良好的连续性），于是，场关于时间的全导数为隐藏时间的影响，场关于空间的全微分为2.4矢量场的聚散：散度矢量场，我们可以用类似电场线的形式将其可视化。场的发散、汇聚和旋转现象2.4矢量场的聚散：散度①场进入该区域②场离开该区域③该区域产生（发出）了新的场④该区域破坏（吸收）了原有的场场在立方区域的进出2.4矢量场的聚散：散度首先考虑仅在x2方向上通过的场分量y2

场线会有一部分从左边x2，处x1x3截面进入该区域场线会有一部分从右边x2+

dx2，处x1x3截面离开该区域根据场线的定义，进入这个区域的场线数目（通量）应该与场在x2处的大小y(x2)成正比。那么，场线的面密度与场的大小成正比，所以穿过dx1dx2截面的总场线数目为离开区域的场线数目为2.4矢量场的聚散：散度此区域产生（吸收）的场线数目为其它两个方向，场的进出、产生和破坏情况完全类似2.4矢量场的聚散：散度为所选空间区域的体积代表了该区域的源头产生场并发散出去的本领（体密度）我们称其为散度，定义为2.4矢量场的旋转：旋度如何定量分析矢量场的旋转特性?线索：当一个物体进行旋转时，与旋转中心的距离越大，其线速度也越大。水平方向的速度受竖直方向上的位移影响2.4矢量场的旋转：旋度该木棍的速度由水流的速度场决定对于逆时针旋转，考察点竖直向上的空间移动(x2)会造成其水平向左的速度v1增加。该效应，使用偏导数来量化。负号：逆时针旋转为正值，速度方向与x轴正方向相反。水平方向的速度受竖直方向上的位移影响2.4矢量场的旋转：旋度竖直方向上的速度受水平方向的位移影响类似地，旋转中竖直方向的速度变化率与水平方向的位移的关系为在一个平面内，速度场的速度可以被分解为水平和竖直两个分量。加和两者，得到描述速度场总旋转程度的量，这就是所谓的旋度。2.4矢量场的旋转：旋度竖直方向上的速度受水平方向的位移影响图示旋转轴的方向垂直直面向外，所以是总旋度在e3轴上的分量类似的，旋度在e1轴上的分量类似的，旋度在e2轴上的分量2.4矢量场的旋转：旋度速度场的总旋度可以表示为这三者的矢量合成。上式可以表示为梯度算子与矢量场的外积形式。列维-奇维塔函数303旋转变换3.1提取坐标：基于内积计算通过将矢量投影到基矢量上实现坐标提取在第一个直角坐标系中另一坐标系中3.2被动变换：以不变应万变改变坐标系并不会改变矢量本身的性质，因此我们可以得到以下关系通过对上式两边同时对基矢求内积3.2被动变换：以不变应万变基矢之间的几何关系这表明绕定轴的旋转操作是一种可以使用矩阵来描述的线性变换。3.2被动变换：以不变应万变在旧坐标系中其坐标表示为在新坐标系中的坐标表示3.2被动变换：以不变应万变与之相似，其它两个基矢的坐标为坐标变换矩阵的各列直接对应了基矢量在新坐标系下的坐标表示3.2被动变换：以不变应万变当进行只涉及旋转的直角坐标变换时，可以按照以下三个步骤操作：①根据坐标系基矢量之间的几何关系，确定旧坐标系中的基矢量在新坐标系下的坐标表示。②利用这些新的坐标表示来构造坐标变换矩阵。③通过将坐标变换矩阵作用于矢量的旧坐标表示，计算出该矢量在新坐标系下的坐标表示。3.3主动变换：矢量自身旋转主动变换和被动变换在同一坐标系中，矢量的主动旋转也可以导致其坐标发生变化。

404表示空间4.1位形空间（ConfigurationSpace）用于描述物体的静态空间构型，也就是描述其组成质点的具体几何位置。完整描述构型所需要的最少变量个数称为该空间的维度。对于做平面圆周运动的质点来说，在构型空间中它的运动路径可以表示为4.2事件空间（EventSpace）

位形空间的路径并未考虑时间因素。当质点在确定的时刻出现在某个特定位置时，我们称其为“可观测事件”。所有这些可观测事件一起定义了“事件空间”。以一个做平面圆周运动的质点为例，在事件空间中，它的运动路径可以表示为4.3相空间（Phase