理论力学课件 第三章 分析力学3

理论力学ClassicalMechanics2024第三章分析力学哈密顿量：时间对称性与能量守恒3.5动力方程：基于哈密顿的力学体系3.6泊松括号：统一处理物理量的变化3.7洛伦兹力：拉格朗日量中的矢量势3.833.5哈密顿量：时间对称性与能量守恒守恒律与对称性之间的关系存在不改变拉格朗日量的对称操作，利用欧拉-拉格朗日方程就可以发现蕴含在该系统中相应的守恒量比如系统的空间平移对称性对应了动量守恒3.5哈密顿量：时间对称性与能量守恒对于这种具有时间平移不变性的系统，其拉格朗日量就不能显含有时间变量。几种经典物理实验不管从什么时间点开始实验得到的结果不变时间的平移不变性时间有对称性么？3.5哈密顿量：时间对称性与能量守恒从形式上说，就是在构造拉格朗日函数时，它括号里的自变量不能出现时间t。比如，对一个自由运动的粒子来说，它的拉格朗日量就只能是坐标和速度的函数。注意，不显含时间，并不能说明这个系统的拉格朗日量就无法随时间变化了。当粒子的坐标和速度随着时间变化时，它的拉格朗日量当然应该跟着变化。也就是说，拉格朗日量是可以受时间的间接影响的。所以，它可以写成时间的嵌套函数。什么叫不显含时间呢？3.5哈密顿量：时间对称性与能量守恒我们拿谐振子，比如连着弹簧的小球来举个例子：谐振子的运动是往复的周期运动，比如所以，L与时间的关系为3.5哈密顿量：时间对称性与能量守恒真实弹簧系统的拉格朗日量会直接受到时间的影响：显含时间：即使是系统的坐标和速度都没变化，但是随着时间的流逝，系统的拉格朗日量也会改变。因此，系统的自变量里面必须明显包含时间项：在什么情况下，系统的拉格朗日量会显含时间呢？3.5哈密顿量：时间对称性与能量守恒把拉格朗日量做一个全微分：三个自变量坐标变化速度的变化时间t的变化定量地描述“变化”就是求微分3.5哈密顿量：时间对称性与能量守恒

拉格朗日方程代入3.5哈密顿量：时间对称性与能量守恒

动能项包含，则，动量在x方向的分量直角坐标系下广义坐标表示广义速度：广义动量：3.5哈密顿量：时间对称性与能量守恒为了强调这层关系，我们常称p为q的共轭动量。换成把

换成

注意有限的求和可以和求导交换顺序，所以可以先把p和q一点的乘积项先加起来，再求导。3.5哈密顿量：时间对称性与能量守恒注意等式右边这一项，当系统满足时间平移对称性的时候，L不显含时间t，所以偏导数

，再看看等式左边，现在变成了一个时间倒数等于0。两个时间导数项就可以合并：3.5哈密顿量：时间对称性与能量守恒时间对称性下的守恒量，叫做哈密顿，简称H：𝐿减去求和项的结果是一个常数3.5哈密顿量：时间对称性与能量守恒哈密顿究竟有什么物理意义？当系统具有时间平移对称性时，拉格朗日量对时间的偏导为0，得到哈密顿量不变，也就是系统总能量守恒。哈密顿量就是系统的总能量3.5哈密顿量：时间对称性与能量守恒弹簧振子的拉格朗日量：弹簧的势能与劲度系数成正比，当其它条件不变，劲度系数下降了，势能降低，总能量也就减少了。系统能量的变化，也就是哈密顿量随时间的变化率，现在受弹簧劲度系数衰减的影响3.5哈密顿量：时间对称性与能量守恒3.5哈密顿量：时间对称性与能量守恒劲度系数变化的原因来自弹簧外部，也就是空气的腐蚀。当空气与弹簧发生化学反应时，储存在弹簧材料中的弹性势能就被释放出去了。换句话说，系统能量不守恒是因为系统外部力量的干预，这种干预是与时间相关的。一个有意思的问题是:减少的能量去哪了？如果你把弹簧和空气当做一个整体，这个更大的系统就没有外部力量干预了，系统的能量就又守恒了。所以，原则上说，能量总是可以守恒的，就看你能不能发现那个更大的系统。But33.6动力方程：基于哈密顿的力学体系3.6动力方程：基于哈密顿的力学体系引入哈密顿量通过时间的对称性讨论了能量守恒问题从拉格朗日力学来到哈密顿力学相空间（1）相空间：提高表示维度降低粒子数目3.6动力方程：基于哈密顿的力学体系欧拉拉格朗日方程

粒子们都是自由的，每个粒子有3个独立维度，n个粒子就是3n个独立的维度，每一个独立的维度都可以写出一个欧拉拉格朗日方程来，所以是3n个。为什么是3n个呢？初始条件:

（1）相空间：提高表示维度降低粒子数目3.6动力方程：基于哈密顿的力学体系

（1）相空间：提高表示维度降低粒子数目3.6动力方程：基于哈密顿的力学体系以一维弹簧谐振子来为例：在6n维空间中只需要追踪1个粒子的运动，也就是一条轨迹而已追踪n个粒子的运动，n条轨迹绕来绕去极其复杂在3维空间弹簧劲度系数定义广义的坐标三维空间是直观的，完全符合我们的直觉，在相空间，空间维度从3个暴涨到了6n个，我们这是不是自找麻烦呢？（1）相空间：提高表示维度降低粒子数目3.6动力方程：基于哈密顿的力学体系

坐标和动量的是完全对称的（1）相空间：提高表示维度降低粒子数目3.6动力方程：基于哈密顿的力学体系当弹簧能量守恒时，系统哈密顿就是一个常数。相空间中的质点还需要一个动力学方程，这个动力学方程肯定跟系统的哈密顿有关，至少是包含哈密顿、广义坐标q与共轭动量p这些量的微分方程。在一维空间中，弹簧在做复杂的往复运动；在二维相空间中来看，仅是一个简单的圆周运动。But（1）相空间：提高表示维度降低粒子数目3.6动力方程：基于哈密顿的力学体系全微分（2）正则方程：在相空间建立动力学方程3.6动力方程：基于哈密顿的力学体系H是p和q的函数哈密顿正则方程：（2）正则方程：在相空间建立动力学方程3.6动力方程：基于哈密顿的力学体系当哈密顿不显式地依赖某些坐标时，这些坐标被称为循环坐标，比如不依赖p：循环坐标的出现可以大大简化运动方程的求解过程（2）正则方程：在相空间建立动力学方程3.6动力方程：基于哈密顿的力学体系（3）勒让德变换：为动力方程选择自变量相互独立函数的二阶导数可以实现降阶3.6动力方程：基于哈密顿的力学体系（3）勒让德变换：为动力方程选择自变量直接使用新变量定义得到的函数变换并不具有唯一性3.6动力方程：基于哈密顿的力学体系（3）勒让德变换：为动力方程选择自变量对主函数进行适当的调整定义函数的勒让德变换为正变换逆变换一一对应3.6动力方程：基于哈密顿的力学体系一元函数变换二元函数变换多元函数变换哈密顿量是拉格朗日函数的勒让德变换被替换的坐标

乘以原函数关于替换坐标的一阶导数减去原函数（3）勒让德变换：为动力方程选择自变量3.6动力方程：基于哈密顿的力学体系（4）刘维尔定理：系统初态对运动的影响把三维空间中多粒子系统的运动，看成高维相空间中单个粒子的运动相空间中粒子运动下一时刻系统在相空间中的位置系统在相空间中的运动轨迹也就是广义坐标和共轭动量随时间变化的微分方程：

3.6动力方程：基于哈密顿的力学体系（4）刘维尔定理：系统初态对运动的影响想一想：在每一个可能的初始状态，也就是相空间中的每一个点上，都安排一个粒子，然后让这群充满相空间的粒子，按照哈密顿力学给出的运动方程，浩浩荡荡地在相空间中集体流动，会得到一个什么结果？由于粒子流是从单个粒子所有可能的初始状态出发的，所以这股粒子流在相空间流过的痕迹，其实就是单个粒子所有可能的运动轨迹的集合。你可能会问：从单个粒子的视角切换到流体视角，会不会大幅增加解决问题的难度呢？相空间的流体没有真实流体那么复杂3.6动力方程：基于哈密顿的力学体系1.单个粒子的具体运动轨迹不确定性很大（我们通常也不关心）2.多个粒子构成的整体系统的集体运动更有可能涌现出来确定的规律。（4）刘维尔定理：系统初态对运动的影响3.6动力方程：基于哈密顿的力学体系（4）刘维尔定理：系统初态对运动的影响如何描述流体运动：类比电场：为空间中每一个点都分配一个矢量E(x,y,z)，然后通过覆盖整个空间的矢量群来研究电场是如何在空间中变来变去的。

如果，流体的速度只于空间位置有关，而于时间无关，那么速度场就仅是位置的函数𝒗(𝑥,𝑦,𝑧)，这时流体的流动看起来就是稳定的。3.6动力方程：基于哈密顿的力学体系粒子群运动视为流动，用速度矢量场来描述流体的动态考察粒子的汇聚和发散情况带入哈密顿方程虚拟粒子在相空间的移动速度（4）刘维尔定理：系统初态对运动的影响3.6动力方程：基于哈密顿的力学体系系统要可逆，顺着时间线流入状