理论力学课件 第三章 分析力学1

理论力学ClassicalMechanics2024第三章分析力学最速降线：路径选择登上历史舞台3.1运动解释：选择作用量最小的路径3.2动力学方程：从拉格朗日函数出发3.3对称操作：如何寻找系统的守恒量3.433.1最速降线：路径选择登上历史舞台3.1最速降线：路径选择登上历史舞台1630年，伽利略提出了著名的最速降线问题：“不考虑摩擦，小球从一个点运动到另一点，沿着什么路径跑时间最短？”圆弧（事实上是错的）我找了小球的运动跟光的传播之间的相似性，通过把空间划分成一层一层的薄介质，利用折射定律，计算出了小球的传播路径。约翰伯努利伽利略在一份公开的数学杂志上，约翰挑衅了全欧洲的数学家，说是要用这个问题考验大家智商。如果大家在年底还给不出答案，他就公布结果。他还特意含沙射影地点了牛顿的名。牛顿在数学问题上我不喜欢被外国人催促和挑衅。3.1最速降线：路径选择登上历史舞台现在使用微分符号就是莱布尼兹的杰作。牛顿使用的是3.1最速降线：路径选择登上历史舞台二进制系统，使用0和1来表示数字和逻辑符号，它是现代计算机的基础。当然，最早发现并使用二进制数的是我们中国人。莱布尼兹把它系统化了，莱布尼兹本人也指出了太极、八卦和二进制的关系。莱布尼兹我除了微积分，还有二进制系统。3.1最速降线：路径选择登上历史舞台最速下降的问题可以看作路径选择的问题，现实是无数条可能的路径中的一条。欧拉AB不同于微积分走一步看一步，深入到运动的细节中去研究的思路，欧拉是从整体上考虑这个问题的。最速降线问题，我是从整体上考虑的3.1最速降线：路径选择登上历史舞台3.1最速降线：路径选择登上历史舞台计算函数的微分求导，令它为0解方程路径选择的问题要从中找出，物体走哪一条路径花的时间最少。对于这种挑选极值的优化问题，如果只是针对多元函数，那就是求函数的极大极小值问题。AB3.1最速降线：路径选择登上历史舞台最速下降问题假设小球的运动轨迹方程为，不管轨迹的形状多么奇怪，我们可以确定，只要把轨迹定下来，小球总有一个唯一的通过时间。调整自变量函数

的具体形式，使得整体函数的值最小。换句话说，我们需要求自变量是函数的函数的极值。利用连续空间点表示运动路径3.1最速降线：路径选择登上历史舞台变分法微分操作是考察当自变量有微小变化时，因变量会有什么变化。变分操作是考察当自变量函数形式有微小变化时，整个嵌套函数的值会有什么变化。函数取极值自变量的微小变化不会给函数取值带来什么影响，所以函数取极值的条件是它的微分变分的情况也类似，路径的微小改变，也不会影响整体结果，所以有微分操作变分操作33.2运动解释：选择作用量最小的路径3.2运动解释：选择作用量最小的路径牛顿第二定律给出了质点运动状态（速度和位置）随时间的演变规则。考察单个质点，在外部环境不变的情况下的一维运动问题。其中力表示成位置的函数是因为目前已知的基本相互作用都是保守力，比如库仑力，万有引力等等，而它们仅由质点的位置决定。3.2运动解释：选择作用量最小的路径质点速度运动的下一步的力学状态只与现在的力学状态和受力情况相关，而受力情况又只于它所处的位置相关。下一时刻质点的未来，本质上是由其初始时刻的力学状态决定的。换句话说，从出生开始，质点每一步该如何走，大自然早就安排好了。3.2运动解释：选择作用量最小的路径AB大自然有意识地在做路径选择。可重复性意味着背后有一套选择规则为什么它就非得沿着这条轨道下落呢？？它为什么不能选择其它路径？？怎么做选择的？根据自己的目的或者价值观给选项排个顺序做取舍3.2运动解释：选择作用量最小的路径（1）评价路径上的每一点（2）累计路径上所有点的得分，得到总分（3）根据路径得分选择实际路径3.2运动解释：选择作用量最小的路径对于连续的路径，根据微积分的结论，无数个位置点得分的相加会变成沿着路径的积分。我们把这个总