高考数学二轮复习专项训练28定点、定值问题含答案及解析

2025二轮复习专项训练28定点、定值问题[考情分析]解析几何是数形结合的典范，是高中数学的主要知识模块，定点和定值问题是高考考查的重点知识，在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等，试题难度较大，多次以压轴题出现．【练前疑难讲解】一、定点问题求解定点问题常用的方法(1)“特殊探路，一般证明”，即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目标的一般性证明．(2)“一般推理，特殊求解”，即先由题设条件得出曲线的方程，再根据参数的任意性得到定点坐标．(3)求证直线过定点(x0，y0)，常利用直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)来证明．二、定值问题求圆锥曲线中定值问题常用的方法(1)引出变量法：其解题流程为eq\x(变量)→eq\x(选择适当的量为变量)↓eq\x(函数)→eq\x(把要证明为定值的量表示成上述变量的函数)↓eq\x(定值)→eq\x(把得到的函数化简，消去变量得到定值)(2)特例法：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．一、单选题1．（22-23高三下·河北衡水·阶段练习）已知抛物线过点，动点M，N为C上的两点，且直线AM与AN的斜率之和为0，直线l的斜率为，且过C的焦点F，l把分成面积相等的两部分，则直线MN的方程为（

）A． B．C． D．2．（22-23高二上·山东济宁·期末）已知双曲线，抛物线的焦点为，抛物线的准线与双曲线的两条渐近线分别交于点，若为正三角形，则双曲线的渐近线方程为（

）A． B．C． D．二、多选题3．（22-23高三上·山东东营·期末）已知椭圆与直线交于两点，记直线与轴的交点为，点关于原点对称，若，则（

）A． B．椭圆过个定点C．存在实数，使得 D．4．（2023·江苏·二模）已知椭圆，点为右焦点，直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于另一点，则（

）A．周长为定值 B．直线与的斜率乘积为定值C．线段的长度存在最小值 D．该椭圆离心率为三、填空题5．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角的正切值为.若直线（且）与双曲线交于A，B两点，直线，的斜率的倒数和为，则直线恒经过的定点为.6．（2023·福建漳州·三模）已知椭圆的长轴长为，离心率为，为上的两个动点，且直线与斜率之积为（为坐标原点），则椭圆的短轴长为，.四、解答题7．（2024·北京·高考真题）已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为．(1)求椭圆的方程及离心率；(2)若直线BD的斜率为0，求t的值．8．（23-24高三上·上海闵行·期中）已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点．(1)求双曲线C的方程；(2)若，试问：是否存在直线，使得点M在以为直径的圆上?请说明理由．(3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值．【基础保分训练】一、单选题1．（22-23高二上·北京丰台·期末）设圆，直线，为上的动点．过点作圆的两条切线，切点为，给出下列四个结论：①当四边形为正方形时，点的坐标为②的取值范围为③当为等边三角形时，点坐标为④直线恒过定点其中正确结论的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（21-22高二上·安徽蚌埠·期末）已知直线l与抛物线交于不同的两点A，B，O为坐标原点，若直线的斜率之积为，则直线l恒过定点（

）A． B． C． D．3．（22-23高三下·湖南·阶段练习）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上（异于顶点），（点为坐标原点），过点作直线的垂线与轴交于点，则（

）A．6 B． C．4 D．4．（22-23高二上·上海浦东新·期末）已知双曲线：，点P为曲线在第三象限一个动点，以下两个命题，则（

）①点P到双曲线两条渐近线的距离为，，则为定值.②已知A、B是双曲线上关于原点对称不同于P的两个点，若PA、PB的斜率存在且分别为，，则为定值.A．①真②真 B．①假②真C．①真②假 D．①假②假二、多选题5．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）已知是抛物线的焦点，是上的两点，为原点，则（

）A．若垂直的准线于点，且，则四边形的周长为B．若，则的面积为C．若直线过点，则的最小值为D．若，则直线恒过定点6．（22-23高二下·浙江·开学考试）设为双曲线：上一动点，，为上、下焦点，为原点，则下列结论正确的是（

）A．若点，则最小值为7B．若过点的直线交于两点（与均不重合），则C．若点，在双曲线的上支，则最小值为D．过的直线交于、不同两点，若，则有4条7．（22-23高二上·湖南衡阳·期中）圆锥曲线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形叫做“阿基米德三角形”.如图是抛物线的阿基米德三角形，弦AB经过焦点F，又BC，AD均垂直于准线l，且C，D为垂足，则下列说法正确的有（

）A．以AB为直径的圆必与准线l相切于M点B．为定值4C．为定值D．有最小值8．（22-23高三上·广东云浮·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别是，左、右顶点分别是，点是椭圆上异于的任意一点，则下列说法正确的是（

）A． B．若的面积为，则点的横坐标为C．存在点满足 D．直线与直线的斜率之积为三、填空题9．（2023·湖南长沙·一模）如图，已知抛物线C：，圆E：，直线OA，OB分别交抛物线于A，B两点，且直线OA与直线OB的斜率之积等于，则直线AB被圆E所截的弦长最小值为．10．（22-23高二上·山东枣庄·期末）设椭圆的上顶点为，且长轴长为，过任作两条互相垂直的直线分别交椭圆于，两点，则直线过定点．11．（2022高三·全国·专题练习）已知椭圆左顶点为，为椭圆上两动点，直线交于，直线交于，直线的斜率分别为且，（是非零实数），求.12．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知为双曲线上一点，以为切点的切线为，直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，则（为坐标原点）的面积为．四、解答题13．（2024·浙江杭州·二模）已知是椭圆的左，右顶点，点与椭圆上的点的距离的最小值为1.(1)求点的坐标.(2)过点作直线交椭圆于两点（与不重合），连接，交于点.（ⅰ）证明：点在定直线上；（ⅱ）是否存在点使得，若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由.14．（2023·江苏南通·一模）已知双曲线的左顶点为，过左焦点的直线与交于两点.当轴时，，的面积为3.(1)求的方程；(2)证明：以为直径的圆经过定点.15．（2023·四川南充·三模）已知椭圆的左、右焦点为，，离心率为．点P是椭圆C上不同于顶点的任意一点，射线、分别与椭圆C交于点A、B，的周长为8．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若，，求证：为定值．16．（23-24高二上·浙江·期中）已知双曲线的右焦点，离心率为.(1)求双曲线的方程；(2)过点直线与双曲线交于两点，设直线的斜率分别为，求证：为定值.【能力提升训练】一、单选题1．（21-22高二下·四川遂宁·阶段练习）点，是曲线C：的左右焦点，过作互相垂直的两条直线分别与曲线交于A，B和C，D；线段AB，CD的中点分别为M，N，直线与x轴垂直且点G在C上.若以G为圆心的圆与直线MN恒有公共点，则圆面积的最小值为（

）A． B． C． D．2．（21-22高二下·贵州贵阳·期末）抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，过点作直线与此抛物线交于，两点，若，则（

）A．3 B．4 C．5 D．6二、多选题3．（2023·安徽·三模）已知抛物线的焦点为，准线为，、是上异于点的两点（为坐标原点）则下列说法正确的是（

）A．若、、三点共线，则的最小值为B．若，则的面积为C．若，则直线过定点D．若，过的中点作于点，则的最小值为4．（22-23高三下·广东清远·阶段练习）已知是抛物线的焦点，点在抛物线上，过点的两条互相垂直的直线，分别与抛物线交于，和，，过点分别作，的垂线，垂足分别为，，则（

）A．四边形面积的最大值为2B．四边形周长的最大值为C．为定值D．四边形面积的最小值为32三、填空题5．（2023·辽宁大连·三模）已知为坐标原点，是双曲线的左､右焦点，双曲线上一点满足，且，则双曲线的渐近线方程为.点A是双曲线上一定点，过点的动直线与双曲线交于两点，为定值，则当时实数的值为.6．（2023·黑龙江哈尔滨·一模）如图，椭圆与双曲线有公共焦点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为两曲线的一个公共点，且，则；为的内心，三点共线，且，轴上点满足，，则的最小值为．四、解答题7．（2022·辽宁沈阳·二模）已知椭圆的焦距为2，且经过点．(1)求椭圆C的方程；(2)经过椭圆右焦点F且斜率为的动直线l与椭圆交于A、B两点，试问x轴上是否存在异于点F的定点T，使恒成立？若存在，求出T点坐标，若不存在，说明理由．8．（2023·重庆·一模）已知双曲线E：的离心率为2，左、右焦点分别为，点为双曲线E右支上异于其顶点的动点，过点A作圆C：的一条切线AM，切点为M，且．(1)求双曲线E的标准方程；(2)设直线与双曲线左支交于点B，双曲线的右顶点为，直线AD，BD分别与圆C相交，交点分别为异于点D的点P，Q．判断弦PQ是否过定点，如果过定点，求出定点，如果不过定点，说明理由．9．（24-25高二上·湖南株洲·阶段练习）椭圆与椭圆：有相同的焦点，且经过点.(1)求椭圆的方程；(2)椭圆的右焦点为，设动直线与坐标轴不垂直，与椭圆交于不同的，两点，且直线和的斜率互为相反数.①证明：动直线恒过轴上的某个定点，并求出该定点的坐标；②求面积的最大值.10．（23-24高二上·江苏盐城·阶段练习）已知，M为平面上一动点，且满足，记动点M的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)若，过点的动直线交曲线E于P，Q（不同于A，B）两点，直线AP与直线BQ的斜率分别记为，，求证：为定值，并求出定值.

2025二轮复习专项训练28定点、定值问题[考情分析]解析几何是数形结合的典范，是高中数学的主要知识模块，定点和定值问题是高考考查的重点知识，在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等，试题难度较大，多次以压轴题出现．【练前疑难讲解】一、定点问题求解定点问题常用的方法(1)“特殊探路，一般证明”，即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目标的一般性证明．(2)“一般推理，特殊求解”，即先由题设条件得出曲线的方程，再根据参数的任意性得到定点坐标．(3)求证直线过定点(x0，y0)，常利用直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)来证明．二、定值问题求圆锥曲线中定值问题常用的方法(1)引出变量法：其解题流程为eq\x(变量)→eq\x(选择适当的量为变量)↓eq\x(函数)→eq\x(把要证明为定值的量表示成上述变量的函数)↓eq\x(定值)→eq\x(把得到的函数化简，消去变量得到定值)(2)特例法：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．一、单选题1．（22-23高三下·河北衡水·阶段练习）已知抛物线过点，动点M，N为C上的两点，且直线AM与AN的斜率之和为0，直线l的斜率为，且过C的焦点F，l把分成面积相等的两部分，则直线MN的方程为（

）A． B．C． D．2．（22-23高二上·山东济宁·期末）已知双曲线，抛物线的焦点为，抛物线的准线与双曲线的两条渐近线分别交于点，若为正三角形，则双曲线的渐近线方程为（

）A． B．C． D．二、多选题3．（22-23高三上·山东东营·期末）已知椭圆与直线交于两点，记直线与轴的交点为，点关于原点对称，若，则（

）A． B．椭圆过个定点C．存在实数，使得 D．4．（2023·江苏·二模）已知椭圆，点为右焦点，直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于另一点，则（

）A．周长为定值 B．直线与的斜率乘积为定值C．线段的长度存在最小值 D．该椭圆离心率为三、填空题5．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角的正切值为.若直线（且）与双曲线交于A，B两点，直线，的斜率的倒数和为，则直线恒经过的定点为.6．（2023·福建漳州·三模）已知椭圆的长轴长为，离心率为，为上的两个动点，且直线与斜率之积为（为坐标原点），则椭圆的短轴长为，.四、解答题7．（2024·北京·高考真题）已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为．(1)求椭圆的方程及离心率；(2)若直线BD的斜率为0，求t的值．8．（23-24高三上·上海闵行·期中）已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点．(1)求双曲线C的方程；(2)若，试问：是否存在直线，使得点M在以为直径的圆上?请说明理由．(3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值．参考答案：题号1234答案DCABBCD1．D【分析】由题意求出抛物线方程为，设，直线，联立直线和抛物线的方程结合韦达定理由，可求出，再求出直线l的方程，由题意可转化为到直线的距离为到直线距离的，代入求解即可得出答案.【详解】因为抛物线过点，所以，解得：，所以，设，直线，代入中整理得，所以,，所以，即，则，解得：，所以直线，直线l的斜率为，且过C的焦点，所以，则到直线的距离为，所以l把分成面积相等的两部分，因为直线与直线平行，所以到直线的距离为到直线距离的，，解得：或（舍去）.所以直线MN的方程为.故选：D.2．C【分析】根据双曲线方程，把渐近线表示出来，推出两点坐标，利用为正三角形，列方程解系数既可.【详解】双曲线的两条渐近线方程为，抛物线的焦点为，准线方程为，不妨取，，为正三角形，由对称性可知，直线的倾斜角为，则，解得，所以双曲线的两条渐近线方程为.故选：C3．AB【分析】将椭圆方程与直线方程联立可得韦达定理的结论，利用垂直关系的向量表示，结合向量数量积坐标运算和韦达定理可整理得到A正确；由A中结论变形可得，由此可得椭圆所过四个定点坐标，知B正确；利用弦长公式表示并化简得到，根据可求得的范围，由此可知C错误；令，可解得，知D错误.【详解】设，，由得：，则，，，；对于A，由题意知：，，，，即，，，A正确；对于B，由知：，则当时，椭圆方程恒成立，椭圆过定点，，，，共个，B正确；对于C，，即；又，，，即，不存在实数，使得，C错误；对于D，令，解得：，存在实数使得，D错误.故选：AB.4．BCD【分析】通过取不同值求出周长即可判断A，设出点的坐标利用斜率公式化简即可判断B，确定线段取最小值的条件即可判断C，确定、的值即可求出离心率从而判断D．【详解】该椭圆中，则，所以离心率为，故D正确；设，，，则在、斜率都存在的前提下有，，于是为定值，故B正确；由题意可设的方程为，联立，消得，则，所以，则当时，，所以线段的长度存在最小值，故C正确.当时，直线与椭圆交于点和，不妨取点为，得直线方程为，求得交点为，则，，，此时的周长为，当时，联立，解得，不妨取，则垂直于轴，此时，，，此时的周长为，显然周长不为定值，故A错误；故选：BCD．5．【分析】先根据渐近线的倾斜角算出，然后联立直线和双曲线，结合题目条件和韦达定理找到的关系，从而得到定点.【详解】因为双曲线方程为一条渐近线的倾斜角的正切值为.所以，解得，所以双曲线方程为.设，，联立得，.由韦达定理得，.因为，所以.所以，由题意知，此时.所以直线方程为，恒经过的定点为.故答案为：6．【分析】根据椭圆长轴长、离心率可求得，由此可得短轴长及椭圆方程；设，，根据斜率关系，结合两角和差公式可整理得到，利用两点间距离公式，结合诱导公式和同角三角函数关系可求得结果.【详解】椭圆的长轴长为，，又离心率，，椭圆的短轴长为，椭圆；设，，，，.故答案为：；.【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的几何性质，求解距离平方和的关键是能够通过三角换元的方式，结合斜率关系得到所满足的关系式，进而结合诱导公式来进行求解.7．(1)(2)【分析】（1）由题意得，进一步得，由此即可得解；（2）设，，联立椭圆方程，由韦达定理有，而，令，即可得解.【详解】（1）由题意，从而，所以椭圆方程为，离心率为；（2）直线斜率不为0，否则直线与椭圆无交点，矛盾，从而设，，联立，化简并整理得，由题意，即应满足，所以，若直线斜率为0，由椭圆的对称性可设，所以，在直线方程中令，得，所以，此时应满足，即应满足或，综上所述，满足题意，此时或.8．(1)；(2)不存在，理由见解析；(3)证明见解析【分析】(1)根据题意列式求，进而可得双曲线方程；(2)设，联立方程，利用韦达定理判断是否为零即可；(3)用两点坐标表示出直线，得点坐标，表示出，结合韦达定理，证明为定值．【详解】（1）由双曲线的离心率为，且在双曲线上，可得，解得，∴双曲线的方程为．（2）双曲线的左焦点为，当直线的斜率为0时，此时直线为，与双曲线左支只有一个交点，舍去；当直线的斜率不为0时，设，联立方程组，消得，易得，设Ax1,y1∵，则，即，可得与不垂直，∴不存在直线，使得点在以为直径的圆上．（3）由直线，得，∴，又，∴，∵，∴，且，∴，即为定值．

【基础保分训练】一、单选题1．（22-23高二上·北京丰台·期末）设圆，直线，为上的动点．过点作圆的两条切线，切点为，给出下列四个结论：①当四边形为正方形时，点的坐标为②的取值范围为③当为等边三角形时，点坐标为④直线恒过定点其中正确结论的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（21-22高二上·安徽蚌埠·期末）已知直线l与抛物线交于不同的两点A，B，O为坐标原点，若直线的斜率之积为，则直线l恒过定点（

）A． B． C． D．3．（22-23高三下·湖南·阶段练习）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上（异于顶点），（点为坐标原点），过点作直线的垂线与轴交于点，则（

）A．6 B． C．4 D．4．（22-23高二上·上海浦东新·期末）已知双曲线：，点P为曲线在第三象限一个动点，以下两个命题，则（

）①点P到双曲线两条渐近线的距离为，，则为定值.②已知A、B是双曲线上关于原点对称不同于P的两个点，若PA、PB的斜率存在且分别为，，则为定值.A．①真②真 B．①假②真C．①真②假 D．①假②假二、多选题5．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）已知是抛物线的焦点，是上的两点，为原点，则（

）A．若垂直的准线于点，且，则四边形的周长为B．若，则的面积为C．若直线过点，则的最小值为D．若，则直线恒过定点6．（22-23高二下·浙江·开学考试）设为双曲线：上一动点，，为上、下焦点，为原点，则下列结论正确的是（

）A．若点，则最小值为7B．若过点的直线交于两点（与均不重合），则C．若点，在双曲线的上支，则最小值为D．过的直线交于、不同两点，若，则有4条7．（22-23高二上·湖南衡阳·期中）圆锥曲线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形叫做“阿基米德三角形”.如图是抛物线的阿基米德三角形，弦AB经过焦点F，又BC，AD均垂直于准线l，且C，D为垂足，则下列说法正确的有（

）A．以AB为直径的圆必与准线l相切于M点B．为定值4C．为定值D．有最小值8．（22-23高三上·广东云浮·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别是，左、右顶点分别是，点是椭圆上异于的任意一点，则下列说法正确的是（

）A． B．若的面积为，则点的横坐标为C．存在点满足 D．直线与直线的斜率之积为三、填空题9．（2023·湖南长沙·一模）如图，已知抛物线C：，圆E：，直线OA，OB分别交抛物线于A，B两点，且直线OA与直线OB的斜率之积等于，则直线AB被圆E所截的弦长最小值为．10．（22-23高二上·山东枣庄·期末）设椭圆的上顶点为，且长轴长为，过任作两条互相垂直的直线分别交椭圆于，两点，则直线过定点．11．（2022高三·全国·专题练习）已知椭圆左顶点为，为椭圆上两动点，直线交于，直线交于，直线的斜率分别为且，（是非零实数），求.12．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知为双曲线上一点，以为切点的切线为，直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，则（为坐标原点）的面积为．四、解答题13．（2024·浙江杭州·二模）已知是椭圆的左，右顶点，点与椭圆上的点的距离的最小值为1.(1)求点的坐标.(2)过点作直线交椭圆于两点（与不重合），连接，交于点.（ⅰ）证明：点在定直线上；（ⅱ）是否存在点使得，若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由.14．（2023·江苏南通·一模）已知双曲线的左顶点为，过左焦点的直线与交于两点.当轴时，，的面积为3.(1)求的方程；(2)证明：以为直径的圆经过定点.15．（2023·四川南充·三模）已知椭圆的左、右焦点为，，离心率为．点P是椭圆C上不同于顶点的任意一点，射线、分别与椭圆C交于点A、B，的周长为8．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若，，求证：为定值．16．（23-24高二上·浙江·期中）已知双曲线的右焦点，离心率为.(1)求双曲线的方程；(2)过点直线与双曲线交于两点，设直线的斜率分别为，求证：为定值.参考答案：题号12345678答案BAAABCDCDABCBD1．B【分析】对于①，当四边形为正方形时，利用，求出，再设，利用，解方程，可知①不正确；对于②，设，利用，以及二次函数知识可得；故②正确对于③，根据为等边三角形，可得，，设出点的坐标，利用可求出结果；对于④，设出点的坐标，求出以为直径的圆的方程，利用两圆的方程相减得到公共弦的方程，将代入直线的方程恒成立，可得答案.【详解】对于①，当四边形为正方形时，，又圆的圆心，半径，所以，设点，则，所以，化简得，该方程的判别式，该方程无解，所以不存在点使得四边形为正方形，故①不正确；对于②，由①可知，，即的取值范围为，故②正确；对于③，设点，则，当为等边三角形时，可知，又平分，所以，在直角三角形中，由于,所以，即，所以，又点，所以，化简得，解得，所以，则，故③不正确；对于④，设点，则，，以为直径的圆的圆心为，半径为，所以以为直径的圆的方程为，化简得，联立，得，所以直线的方程为：，将代入直线的方程恒成立，故直线恒过定点，故④正确.所以正确的答案有2个，故选：B.2．A【分析】设出直线方程，联立抛物线方程，得到，进而得到的值，将直线的斜率之积为，用A,B点坐标表示出来，结合的值即可求得答案.【详解】设直线方程为，联立，整理得：，需满足，即，则，由，得：，所以，即，故，所以直线l为：，当时，，即直线l恒过定点，故选：A.3．A【分析】设，由，得为的中点,表示的方程，求出点的坐标，结合抛物线的定义求得结果.【详解】法一：依题意，设，由，得为的中点且，则，易得直线的垂线的方程为.令，得，故，由抛物线的定义易知，故，故选:A.法二：特殊值法.不妨设，则，则，易得直线的垂线的方程为.令，得，故，又，故.故选:A.4．A【分析】根据给定条件，求出双曲线的渐近线方程，借助点到直线距离计算判断①，利用斜率坐标公式计算判断②作答.【详解】依题意，设，且有，双曲线的渐近线为，因此为定值，①真；设，则，且，显然，否则，之一垂直于y轴，由双曲线对称性知另一条必垂直于x轴，其斜率不存在，不符合题意，则为定值，②真，所以①真②真.故选：A5．BCD【分析】对于A，由条件可得垂直于轴，然后可得四边形的周长，对于B，由条件可得点的横纵坐标，即可得的面积，对于C，设直线，然后联立抛物线的方程消元，然后得到，然后结合基本不等式可得的最小值，对于D，设直线，然后联立抛物线方程消元，然后由可求出的值.【详解】

对于选项，由题意知，且垂直于轴，根据抛物线的定义可知.设与轴的交点为，易知，故，所以四边形的周长为，选项错误；对于选项，由题意得，解得，所以，从而，选项正确；对于选项，若直线过点，设直线，联立直线与抛物线方程得，易得，则，所以，当且仅当时，等号成立，选项C正确；对于选项D，设直线，联立直线与抛物线方程得，则，即，，所以，由可得，即，解得，故直线的方程为，即直线恒过定点，选项D正确.故选：BCD.6．CD【分析】结合双曲线的图象与性质，逐项判断，即可确定本题答案.【详解】由双曲线：，得，设，则，当且仅当时取等号，所以最小值为，故A错误；设两点坐标分别为，，当时，有，又因为，所以；当时，有一个不存在；故B错误；，故C正确；由双曲线：，可得通径长为，且实轴长，所以这样的直线有4条，故D正确.

故选：CD7．ABC【分析】根据抛物线的切线方程，相似关系，联立直线与抛物线方程后根与系数的关系，两角和的正切公式代入即可求解.【详解】先证明出抛物线在其上一点处的切线方程为证明如下：由于点在抛物线上，则，联立即，，所以抛物线在其上一点处的切线方程为设，，设直线AB的方程为，联立消去x得，根据根与系数的关系可得，又抛物线在点A处的切线方程为，即同理可知，抛物线在点B处的切线方程为，由题意知，，直线MA的斜率为，直线MB的斜率为，，所以，，即点M在以AB为直径的圆上，联立，解得，所以点M的横坐标为，所以点M在抛物线的准线上，即以AB为直径的圆必与准线l相切于M点，故A正确;当AB垂直于x轴时，由抛物线的对称性可知，点M为抛物线的准线与x轴的交点，此时，则，，又此时，则为定值4，当AB不与x轴垂直时，直线AB的斜率为，直线MF的斜率为，，则，在中，，又以AB为直径的圆与准线l相切于M点，设以AB为直径的圆的圆心为，即得，则点M坐标为，则，故B正确;，故C正确;由题意知，，则又根据题意知，则无最小值.故D错误.故选：ABC.8．BD【分析】结合椭圆的定义、直线斜率、椭圆中三角形的面积等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】依题意，所以，A选项错误.，，，B选项正确.

，“”中的等号成立的条件是，所以不存在满足，C选项错误.设，，，，D选项正确.故选：BD.9．【分析】先由两直线斜率之积构造齐次化方程，得出直线AB过定点，再利用直线与圆的位置关系计算弦长确定最值即可.【详解】设，，设：，又，∴，∴，∴．∴，∴，∴直线AB恒过点，由图结合圆的弦长公式可知，当圆心E到动直线AB的距离最大时，即当直线时，弦长最短，此时弦最小为．故答案为：10．【分析】根据题意求出椭圆C的方程，设直线AB的方程为，与椭圆方程联立，结合韦达定理与，求得的值，进而可得答案．【详解】根据题意椭圆的焦点在轴上，设椭圆的方程为∵上顶点为，∴，又长轴长为，∴，则椭圆C的方程为，

易知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为，由可得，∴，又，∴，解得或．当时，直线AB经过点D，不满足题意，则直线AB的方程为，故直线AB过定点．故答案为：．11．1【分析】设，由以及解出，代入椭圆方程求出；同理可得；进而求出的值．【详解】解法1：可得点，设，则，由可得，即有，，，两边同乘以，可得，解得，将代入椭圆方程可得，由可得，可得；故答案为：．解法2：作变换之后椭圆变为圆，方程为，，设，则，，∴，，∴.故答案为：．12．【分析】根据给定条件，求出双曲线渐近线方程，设出直线的方程，联立求出点的纵坐标，再利用直线与双曲线相切借助判别式求出三角形面积作答.【详解】双曲线的渐近线为，直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，

显然直线不垂直于y轴，设直线，，由得点的纵坐标，由得点的纵坐标，由消去x得，于是，化简得，直线与x轴交点的横坐标为，所以的面积.故答案为：13．(1)；(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）存在，【分析】（1）设Px0,y0（2）（ⅰ）设直线，与椭圆方程联立方程，结合韦达定理得，写出直线，的方程，进而求解即可；（ⅱ）由题意点在以为直径的圆上，代入圆的方程求得，写出直线的方程，与椭圆联立，求得点C的坐标，进而可得答案.【详解】（1）设Px0,因为，①若，解得（舍去），②若，解得（舍去）或，所以点的坐标位.（2）（ⅰ）设直线，由，得，所以，所以，①由，得或，易知直线的方程为y=y1直线的方程为，③联立②③，消去，得，④联立①④，消去，则，解得，即点在直线上；（ⅱ）由图可知，，即，所以点在以为直径的圆上，设，则，所以，即.故直线的方程为，直线的方程与椭圆方程联立，得，因为,所以，所以,故.14．(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据题意，可得，，进而求解；（2）设方程为，，联立直线和双曲线方程组，可得，以为直径的圆的方程为，由对称性知以为直径的圆必过轴上的定点，进而得到，进而求解.【详解】（1）当轴时，两点的横坐标均为，代入双曲线方程，可得，，即，由题意，可得，解得，，，双曲线的方程为：；（2）方法一：设方程为，，以为直径的圆的方程为，由对称性知以为直径的圆必过轴上的定点，令，可得，而，，对恒成立，，以为直径的圆经过定点；方法二：设方程为，由对称性知以为直径的圆必过轴上的定点.设以为直径的圆过，，而，，，即对恒成立，，即以为直径的圆经过定点.15．(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用椭圆的定义及性质计算即可；（2）设直线PA的方程为，设，，联立椭圆方程结合韦达定理可得的关系，再由易知向量线性关系转化，计算即可.【详解】（1）∵，∴，由离心率为得，从而，所以椭圆C的标准方程为．（2）

设，，则，可设直线PA的方程为，其中，联立，化简得，则，同理可得，．因为，．所以，所以是定值.16．【小题1】；【小题2】证明见解析【分析】（1）根据焦点坐标，离心率列出方程组，求出，即可写出双曲线方程.（2）先根据题意可判断直线AB的斜率存在且不为0,结合过点设出直线方程；再与双曲线方程联立得到两根之和、两根之积；最后表示出，结合韦达定理化简即可证明结果.【详解】（1）由题意得，解得，所以双曲线的方程为.（2）由题意得直线AB的斜率存在且不为0.设直线方程为，，.联立，消去得，所以.，又，.【能力提升训练】一、单选题1．（21-22高二下·四川遂宁·阶段练习）点，是曲线C：的左右焦点，过作互相垂直的两条直线分别与曲线交于A，B和C，D；线段AB，CD的中点分别为M，N，直线与x轴垂直且点G在C上.若以G为圆心的圆与直线MN恒有公共点，则圆面积的最小值为（

）A． B． C． D．2．（21-22高二下·贵州贵阳·期末）抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，过点作直线与此抛物线交于，两点，若，则（

）A．3 B．4 C．5 D．6二、多选题3．（2023·安徽·三模）已知抛物线的焦点为，准线为，、是上异于点的两点（为坐标原点）则下列说法正确的是（

）A．若、、三点共线，则的最小值为B．若，则的面积为C．若，则直线过定点D．若，过的中点作于点，则的最小值为4．（22-23高三下·广东清远·阶段练习）已知是抛物线的焦点，点在抛物线上，过点的两条互相垂直的直线，分别与抛物线交于，和，，过点分别作，的垂线，垂足分别为，，则（

）A．四边形面积的最大值为2B．四边形周长的最大值为C．为定值D．四边形面积的最小值为32三、填空题5．（2023·辽宁大连·三模）已知为坐标原点，是双曲线的左､右焦点，双曲线上一点满足，且，则双曲线的渐近线方程为.点A是双曲线上一定点，过点的动直线与双曲线交于两点，为定值，则当时实数的值为.6．（2023·黑龙江哈尔滨·一模）如图，椭圆与双曲线有公共焦点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为两曲线的一个公共点，且，则；为的内心，三点共线，且，轴上点满足，，则的最小值为．四、解答题7．（2022·辽宁沈阳·二模）已知椭圆的焦距为2，且经过点．(1)求椭圆C的方程；(2)经过椭圆右焦点F且斜率为的动直线l与椭圆交于A、B两点，试问x轴上是否存在异于点F的定点T，使恒成立？若存在，求出T点坐标，若不存在，说明理由．8．（2023·重庆·一模）已知双曲线E：的离心率为2，左、右焦点分别为，点为双曲线E右支上异于其顶点的动点，过点A作圆C：的一条切线AM，切点为M，且．(1)求双曲线E的标准方程；(2)设直线与双曲线左支交于点B，双曲线的右顶点为，直线AD，BD分别与圆C相交，交点分别为异于点D的点P，Q．判断弦PQ是否过定点，如果过定点，求出定点，如果不过定点，说明理由．9．（24-25高二上·湖南株洲·阶段练习）椭圆与椭圆：有相同的焦点，且经过点.(1)求椭圆的方程；(2)椭圆的右焦点为，设动直线与坐标轴不垂直，与椭圆交于不同的，两点，且直线和的斜率互为相反数.①证明：动直线恒过轴上的某个定点，并求出该定点的坐标；②求面积的最大值.10．（23-24高二上·江苏盐城·阶段练习）已知，M为平面上一动点，且满足，记动点M的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)若，过点的动直线交曲线E于P，Q（不同于A，B）两点，直线AP与直线BQ的斜率分别记为，，求证：为定值，并求出定值.参考答案：题号1234答案BBABDABD1．B【分析】讨论斜率，斜率存在时设、联立曲线C，应用韦达定理求线段AB，CD的中点坐标，进而确定的方程，可得过定点，若以G为圆心的圆半径为，只需保证可满足圆与直线恒有公共点，即得面积最小值.【详解】当直线斜率均存在时，令且，则，联立与曲线C并整理得：，且，则，所以，故，联立与曲线C并整理得：，同理，，，可得，直线，故过定点，当直线中一条的斜率不存在时，令，则，所以，，故过，而，要使以G为圆心的圆与直线MN恒有公共点，且圆面积最小，若圆的半径为，只需恒成立，故圆最小面积为.故选：B【点睛】关键点点睛：讨论直线斜率，设直线方程联立曲线方程，结合韦达定理求线段中点坐标，进而确定的方程，得到过定点，根据恒有公共点有圆半径为，只需保证恒成立即可.2．B【分析】根据抛物线标准方程，得到焦点坐标和准线方程，设出直线方程，联立抛物线方程，整理得到关于的一元二次方程，根据垂直，得到点的横坐标，根据韦达定理，得到的横坐标，在由抛物线的定义，可得答案.【详解】由，则焦点，且准线方程为直线，即，设过点的直线方程为，联立抛物线可得：，消去可得：，化简得：，因为，且直线过点，所以，即点位于以线段为直径的圆上，易知以线段为直径的圆的方程为，将代入上式，可得，解得，（舍去），则点的横坐标，设点的横坐标，由韦达定理可得：，则，根据抛物线的定义，可得，，则，故选：B.3．ABD【分析】设出直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理、焦半径公式以及基本不等式可求得的最小值，可判断A选项；求出点的横坐标的绝对值，利用三角形的面积公式可判断B选项；设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理以及求出的值，求出直线所过定点的坐标，可判断C选项；利用抛物线的定义以及基本不等式可判断D选项.【详解】对于A选项，易知抛物线的焦点为，当直线与轴重合时，直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，设直线的方程为，设点、，联立可得，，由韦达定理可得，，则，易知，，所以，，当且仅当时，等号成立，故的最小值为，A对；对于B选项，设点，，可得，所以，，则，所以，，B对；对于C选项，易知的斜率存在，设直线的方程为，设点、，由于直线不过原点，所以，，联立可得，，由韦达定理可得，所以，，因为，则，解得，所以，直线的方程为，故直线过定点，C错；对于D选项，过点作于点，过点作于点，设，，所以，因为，所以，则的最小值为，当且仅当时，等号成立，D对．故选：ABD．【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.4．ABD【分析】根据给定条件，求出抛物线的方程，确定四边形形状，利用勾股定理及均值不等式计算判断A，B；设出直线的方程，与抛物线方程联立，求出弦长即可计算推理判断C，D作答.【详解】依题意，，解得，即抛物线：，焦点，准线方程为：x=−1，直线，与坐标轴不垂直，因为，，则四边形为矩形，有，当且仅当时取等号，，即四边形面积的最大值为2，A正确；因为，则，当且仅当时取等号，因此四边形周长的最大值为，B正确；

设直线方程为：，，由x=ty+1y2=4x消去y得：，则，，同理，因此，C错误；四边形面积，当且仅当时取等号，所以四边形面积的最小值为32，D正确.故选：ABD【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.5．【分析】第一空，先判定△为直角三角形.再由勾股定理求得即可；第二空，设直线，根据韦达定理表示，由于为定值，用待定系数法计算即可.【详解】（1）根据，取的中点，易知，可知，，即△为直角三角形.设，依题意有，解得，根据勾股定理得，解得，故双曲线为等轴双曲线，渐近线为.（2）当时，双曲线，设直线，联