高考数学二轮复习专题一函数与导数第1讲函数的图象与性质含答案及解析

第1讲函数的图象与性质（新高考专用）目录目录【真题自测】 2【考点突破】 4【考点一】函数的概念与表示 4【考点二】函数的图象 5【考点三】函数的性质 7【专题精练】 9考情分析：1.函数的图象与性质是高考考查的重点和热点，主要考查函数的定义域与值域、分段函数、函数图象的识别与应用以及函数性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)的综合应用，难度属于中等及以上.2.此部分内容多以选择题、填空题的形式出现，有时在压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题相结合命题．真题自测真题自测一、单选题1．（2024·全国·高考真题）函数在区间的图象大致为（

）A． B．C． D．2．（2023·全国·高考真题）已知是偶函数，则（

）A． B． C．1 D．23．（2023·全国·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（

）A． B．C． D．4．（2023·全国·高考真题）若为偶函数，则（

）．A． B．0 C． D．15．（2022·全国·高考真题）函数在区间的图象大致为（

）A． B．C． D．6．（2024·全国·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（

）A． B． C．1 D．27．（2023·全国·高考真题）已知函数．记，则（

）A． B． C． D．8．（2022·全国·高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（

）A． B． C．0 D．19．（2022·全国·高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（

）A． B． C． D．10．（2024·全国·高考真题）设函数，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．111．（2022·全国·高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（

）A． B． C． D．二、多选题12．（2023·全国·高考真题）已知函数的定义域为，，则（

）．A． B．C．是偶函数 D．为的极小值点13．（2024·全国·高考真题）设函数，则（

）A．当时，有三个零点B．当时，是的极大值点C．存在a，b，使得为曲线的对称轴D．存在a，使得点为曲线的对称中心14．（2022·全国·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（

）A． B． C． D．三、填空题15．（2022·全国·高考真题）若是奇函数，则，．16．（2023·全国·高考真题）若为偶函数，则．考点突破考点突破【考点一】函数的概念与表示核心梳理：1．复合函数的定义域(1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范围即为f(g(x))的定义域．(2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的范围，即为f(x)的定义域．2．分段函数分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集．一、单选题1．（2024·辽宁辽阳·一模）已知函数满足，则（）A．10000 B．10082 C．10100 D．103022．（23-24高一上·辽宁·期中）已知函数的定义域是，则的定义域是（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2024·浙江·模拟预测）对于，满足，且对于，恒有．则（

）A． B． C． D．4．（2024·全国·模拟预测）已知和分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则（

）．A．是增函数 B．C． D．三、填空题5．（2024·北京大兴·三模）已知，若，则.6．（2024·北京通州·三模）已知函数的值域是，若，则m的取值范围是．规律方法：(1)形如f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则．(2)对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解．【考点二】函数的图象核心梳理：1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．一、单选题1．（2023·湖南张家界·二模）函数的部分图象大致形状是（

）A． B．C． D．2．（2024·北京顺义·二模）若函数，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件二、多选题3．（2024·江苏苏州·模拟预测）定义表示中的最小者，设函数，则（

）A．有且仅有一个极小值点为 B．有且仅有一个极大值点为3C． D．恒成立4．（2023·福建厦门·二模）函数f(x)＝b（x-a）2（x-b）的图象可以是（

）A． B．C． D．三、填空题5．（2024·天津红桥·一模）设函数，若有四个实数根，，，，且，则的取值范围．6．（2024·北京西城·模拟预测）若关于的方程恰有三个不同实数解，则实数的值为．规律方法：(1)确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，特别是利用一些特殊点排除不符合要求的图象．(2)函数图象的应用主要体现为数形结合思想，借助于函数图象的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、最值、交点、方程的根等问题．【考点三】函数的性质核心梳理：1．函数的奇偶性(1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x)．(2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数)．2．函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法．3．函数的周期性若函数f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)或f(x＋2a)＝f(x)，则函数y＝f(x)的周期为2|a|.4．函数图象的对称中心和对称轴(1)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．(2)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝eq\f(a＋b,2)对称．一、单选题1．（23-24高三上·辽宁抚顺·期末）已知函数，若，是锐角的两个内角，则下列结论一定正确的是（

）A． B．C． D．2．（23-24高三上·河南周口·阶段练习）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2024·湖南邵阳·一模）已知函数与其导函数的定义域均为，且和都是奇函数，且，则下列说法正确的有（

）A．关于对称 B．关于对称C．是周期函数 D．4．（2023·山东烟台·二模）定义在上的函数满足，是偶函数，，则（

）A．是奇函数 B．C．的图象关于直线对称 D．三、填空题5．（2024·河南·一模）已知函数及其导函数的定义域均为R，记.且，，当，，则.（用数字作答）6．（2024·内蒙古赤峰·一模）定义在上的函数满足：对任意都有，且当时，恒成立.下列结论中可能成立的有.①为奇函数；②对定义域内任意，都有；③对，都有；④.规律方法：(1)若f(x＋a)＝－f(x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或fx＋a＝\f(1,fx)))，其中f(x)≠0，则f(x)的周期为2|a|.(2)若f(x)的图象关于直线x＝a和x＝b对称，则f(x)的周期为2|a－b|.(3)若f(x)的图象关于点(a,0)和直线x＝b对称，则f(x)的周期为4|a－b|.专题精练专题精练一、单选题1．（2024·湖南岳阳·三模）已知为奇函数，则（

）A． B． C． D．2．（2024·陕西·一模）已知函数的定义域为，函数的值域为B，则（

）A． B． C． D．3．（2024·北京怀柔·模拟预测）已知函数，则对任意实数x，函数的值域是（

）A． B． C． D．4．（2024·四川遂宁·模拟预测）下列函数满足的是（

）A． B．C． D．5．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）如图，边长为1的正方形，其中边在轴上，点与坐标原点重合，若正方形沿轴正向滚动，先以为中心顺时针旋转，当落在轴上时，再以为中心顺时针旋转，如此继续，当正方形的某个顶点落在轴上时，则以该顶点为中心顺时针旋转．设顶点滚动时形成的曲线为y=fx，则（

）A．0 B． C．1 D．6．（22-23高一下·山西·阶段练习）若函数，在R上单调递增，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．7．（2024·湖北武汉·二模）已知函数，则关于的不等式的解集为（

）A． B． C． D．8．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知且，若函数的值域为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题9．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知奇函数的定义域为，若，则（

）A． B．的图象关于直线对称C． D．的一个周期为10．（2023·湖南·模拟预测）已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列说法一定正确的是（

）A．函数的周期为2 B．函数的图象关于对称C．函数为偶函数 D．函数的图象关于对称11．（2024·广东韶关·二模）已知定义在R上的函数的导函数分别为，且，，则（

）A．关于直线对称 B．C．的周期为4 D．三、填空题12．（23-24高三上·广东惠州·阶段练习）已知是定义在，且满足，当时，，若函数在区间上有10个不同零点，则实数的取值范围是．13．（2024·上海·三模）已知函数，若，，且，则的最小值是14．（2024·河南郑州·二模）已知不等式对任意的实数x恒成立，则的最大值为.

第1讲函数的图象与性质（新高考专用）目录目录【真题自测】 2【考点突破】 17【考点一】函数的概念与表示 17【考点二】函数的图象 22【考点三】函数的性质 27【专题精练】 34考情分析：1.函数的图象与性质是高考考查的重点和热点，主要考查函数的定义域与值域、分段函数、函数图象的识别与应用以及函数性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)的综合应用，难度属于中等及以上.2.此部分内容多以选择题、填空题的形式出现，有时在压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题相结合命题．真题自测真题自测一、单选题1．（2024·全国·高考真题）函数在区间的图象大致为（

）A． B．C． D．2．（2023·全国·高考真题）已知是偶函数，则（

）A． B． C．1 D．23．（2023·全国·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（

）A． B．C． D．4．（2023·全国·高考真题）若为偶函数，则（

）．A． B．0 C． D．15．（2022·全国·高考真题）函数在区间的图象大致为（

）A． B．C． D．6．（2024·全国·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（

）A． B． C．1 D．27．（2023·全国·高考真题）已知函数．记，则（

）A． B． C． D．8．（2022·全国·高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（

）A． B． C．0 D．19．（2022·全国·高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（

）A． B． C． D．10．（2024·全国·高考真题）设函数，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．111．（2022·全国·高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（

）A． B． C． D．二、多选题12．（2023·全国·高考真题）已知函数的定义域为，，则（

）．A． B．C．是偶函数 D．为的极小值点13．（2024·全国·高考真题）设函数，则（

）A．当时，有三个零点B．当时，是的极大值点C．存在a，b，使得为曲线的对称轴D．存在a，使得点为曲线的对称中心14．（2022·全国·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（

）A． B． C． D．三、填空题15．（2022·全国·高考真题）若是奇函数，则，．16．（2023·全国·高考真题）若为偶函数，则．参考答案：题号12345678910答案BDDBADAAAC题号11121314答案DABCADBC1．B【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入可得，可排除D.【详解】，又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C，又，故可排除D.故选：B.2．D【分析】根据偶函数的定义运算求解.【详解】因为为偶函数，则，又因为不恒为0，可得，即，则，即，解得.故选：D.3．D【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，则有函数在区间上单调递减，因此，解得，所以的取值范围是.故选：D4．B【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可.【详解】因为为偶函数，则，解得，当时，，，解得或，则其定义域为或，关于原点对称.，故此时为偶函数.故选：B.5．A【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.【详解】令，则，所以为奇函数，排除BD；又当时，，所以，排除C.故选：A.6．D【分析】解法一：令，分析可知曲线与恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得，并代入检验即可；解法二：令，可知ℎx为偶函数，根据偶函数的对称性可知ℎx的零点只能为0，即可得，并代入检验即可.【详解】解法一：令，即，可得，令，原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点，注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，可得，即，解得，若，令，可得因为x∈−1,1，则，当且仅当时，等号成立，可得，当且仅当时，等号成立，则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点，所以符合题意；综上所述：.解法二：令，原题意等价于ℎx因为，则ℎx根据偶函数的对称性可知ℎx即，解得，若，则，又因为当且仅当时，等号成立，可得，当且仅当时，等号成立，即ℎx有且仅有一个零点0，所以符合题意；故选：D.7．A【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.【详解】令，则开口向下，对称轴为，因为，而，所以，即由二次函数性质知，因为，而，即，所以，综上，，又为增函数，故，即.故选：A.8．A【分析】法一：根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出．【详解】[方法一]：赋值加性质因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以一个周期内的．由于22除以6余4，所以．故选：A．[方法二]：【最优解】构造特殊函数由，联想到余弦函数和差化积公式，可设，则由方法一中知，解得，取，所以，则，所以符合条件，因此的周期，，且，所以，由于22除以6余4，所以．故选：A．【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.9．A【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.【详解】设，则，故排除B;设，当时，，所以，故排除C;设，则，故排除D.故选：A.10．C【分析】解法一：由题意可知：的定义域为，分类讨论与的大小关系，结合符号分析判断，即可得，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析的符号，进而可得的符号，即可得，代入可得最值.【详解】解法一：由题意可知：的定义域为，令解得；令解得；若，当时，可知，此时，不合题意；若，当时，可知，此时，不合题意；若，当时，可知，此时；当时，可知，此时；可知若，符合题意；若，当时，可知，此时，不合题意；综上所述：，即，则，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为；解法二：由题意可知：的定义域为，令解得；令解得；则当时，，故，所以；时，，故，所以；故，则，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.故选：C.【点睛】关键点点睛：分别求、的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断.11．D【分析】根据对称性和已知条件得到，从而得到，，然后根据条件得到的值，再由题意得到从而得到的值即可求解.【详解】因为的图像关于直线对称，所以，因为，所以，即，因为，所以，代入得，即，所以，.因为，所以，即，所以.因为，所以，又因为，联立得，，所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，所以因为，所以.所以.故选：D【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.12．ABC【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例即可排除选项D.方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数进行判断即可.【详解】方法一：因为，对于A，令，，故正确.对于B，令，，则，故B正确.对于C，令，，则，令，又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.方法二：因为，对于A，令，，故正确.对于B，令，，则，故B正确.对于C，令，，则，令，又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，对于D，当时，对两边同时除以，得到，故可以设，则，当肘，，则，令，得；令，得；故在上单调递减，在上单调递增，因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，

显然，此时是的极大值，故D错误.故选：.13．AD【分析】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.【详解】A选项，，由于，故时，故在上单调递增，时，，单调递减，则在处取到极大值，在处取到极小值，由，，则，根据零点存在定理在上有一个零点，又，，则，则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确；B选项，，时，，单调递减，时，单调递增，此时在处取到极小值，B选项错误；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，即存在这样的使得，即，根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为，于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误；D选项，方法一：利用对称中心的表达式化简，若存在这样的，使得为的对称中心，则，事实上，，于是即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确.方法二：直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，，，，由，于是该三次函数的对称中心为，由题意也是对称中心，故，即存在使得是的对称中心，D选项正确.故选：AD【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心14．BC【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确；对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误；若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.故选：BC.[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC.故选：BC.[方法三]：因为，均为偶函数，所以即，，所以，，则，故C正确；函数，的图象分别关于直线对称，又，且函数可导，所以，所以，所以，所以，，故B正确，D错误；若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.故选：BC.【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．15．；．【分析】根据奇函数的定义即可求出．【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性若，则的定义域为，不关于原点对称若奇函数的有意义，则且且，函数为奇函数，定义域关于原点对称，，解得，由得，，，故答案为：；．[方法二]：函数的奇偶性求参函数为奇函数[方法三]：因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称．由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意．故答案为：；．16．2【分析】利用偶函数的性质得到，从而求得，再检验即可得解.【详解】因为为偶函数，定义域为，所以，即，则，故，此时，所以，又定义域为，故为偶函数，所以.故答案为：2.考点突破考点突破【考点一】函数的概念与表示核心梳理：1．复合函数的定义域(1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范围即为f(g(x))的定义域．(2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的范围，即为f(x)的定义域．2．分段函数分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集．一、单选题1．（2024·辽宁辽阳·一模）已知函数满足，则（）A．10000 B．10082 C．10100 D．103022．（23-24高一上·辽宁·期中）已知函数的定义域是，则的定义域是（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2024·浙江·模拟预测）对于，满足，且对于，恒有．则（

）A． B． C． D．4．（2024·全国·模拟预测）已知和分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则（

）．A．是增函数 B．C． D．三、填空题5．（2024·北京大兴·三模）已知，若，则.6．（2024·北京通州·三模）已知函数的值域是，若，则m的取值范围是．参考答案：题号1234答案CDABDABC1．C【分析】赋值得到，利用累加法得到，令得到，赋值得到，从而求出答案.【详解】中，令得，，故，故，其中，①，②，③……，，上面99个式子相加得，，令得，中，令得，故.故选：C2．D【分析】根据抽象函数的定义域可得满足，结合根式的意义即可求解.【详解】因为函数的定义域为，所以满足，即，又，即，所以，解得.所以函数的定义域为.故选：D.3．ABD【分析】赋值法求得，由，求的值判断选项A，由，求得，结合恒有，对BCD中的函数值进行判断.【详解】令代入及，得，所以，，A选项正确；令代入，得；令代入由，得，，，，，对于．恒有，，，B选项正确；，C选项错误；，则有，即，D选项正确.故选：ABD【点睛】方法点睛：抽象函数问题可以通过化抽象为具体的方法，即赋予恰当的数值或代数式，经过运算与推理，最后得出结论，常用的方法有：(1)令等特殊值求抽象函数的函数值；(2)令或，且，判断抽象函数的单调性；(3)令，判断抽象函数的奇偶性；(4)换为，确定抽象函数的周期；(5)用，或换为等来解答抽象函数的其它一些问题.4．ABC【分析】对于A：通过奇偶性得到，和原式联立列方程组求出和的解析式，观察可得的单调性；对于B：先确定的单调性，然后根据单调性和奇偶性确定大小；对于C：直接代入解析式计算验证；对于D：直接代入解析式计算验证.【详解】因为①，所以，根据和的奇偶性知，，从而②，联立①②，解得，，显然是增函数，选项A正确；因为当时，，所以，故在上单调递增，又为偶函数，所以，选项B正唃；，选项C正确；，而，选项D错误．故选：ABC．5．或【分析】根据分段函数解析式得到方程（不等式）组，解得即可.【详解】因为且，所以或，解得或.故答案为：或6．【分析】先判断出在上单调递增，在上单调递减，然后作出与在上的图象，求出在上的值域，再结合图象可求得结果.【详解】当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值，为，作出与在上的图象如图所示：当，时，，此时，此时，因为的值域为，则时，必有解，即，解得，由图知,故答案为：【点睛】关键点点睛：此题考查函数的综合问题，考查分段函数，考查由函数的值域确定参数的范围，解题的关键是根据题意作出函数图象，结合图象求解，考查数形结合的思想，属于较难题.规律方法：(1)形如f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则．(2)对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解．【考点二】函数的图象核心梳理：1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．一、单选题1．（2023·湖南张家界·二模）函数的部分图象大致形状是（

）A． B．C． D．2．（2024·北京顺义·二模）若函数，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件二、多选题3．（2024·江苏苏州·模拟预测）定义表示中的最小者，设函数，则（

）A．有且仅有一个极小值点为 B．有且仅有一个极大值点为3C． D．恒成立4．（2023·福建厦门·二模）函数f(x)＝b（x-a）2（x-b）的图象可以是（

）A． B．C． D．三、填空题5．（2024·天津红桥·一模）设函数，若有四个实数根，，，，且，则的取值范围．6．（2024·北京西城·模拟预测）若关于的方程恰有三个不同实数解，则实数的值为．参考答案：题号1234答案CCACDBC1．C【分析】根据函数的奇偶性、对称性以及函数值的对应性，利用排除法即可得出结果.【详解】因为的定义域为R.定义域关于原点对称，，所以是偶函数，图象关于轴对称，故排除选项B、D，当时，令可得或，所以时，两个相邻的零点为和，当时，，，，故排除选项A，故选：C.2．C【分析】根据题意分析可知为奇函数且在R上单调递增，分析可知等价于，即可得结果.【详解】由题意可知：的定义域为R，且，若，则，可知，若，同理可得，所以为奇函数，作出函数的图象，如图所示，由图象可知在R上单调递增，若，等价于，等价于，等价于，所以“”是“”的充要条件.故选：C.3．ACD【分析】根据函数的新定义得到分段函数的解析式，画出函数的图象，结合函数的图象和选项，逐项判定，即可求解．【详解】由题意，函数作出函数的图象，如图所示，由图象知，有且仅有一个极小值点为，所以A正确；函数有两个极大值点1和3，所以B错误；令，可得或或，解得或，即当时，，所以C正确；由图象知，当时，函数的最大值，所以存在实数，使得恒成立，所以D正确.故选：ACD．4．BC【分析】首先根据解析式确定零点类型，再结合图象，判断选项.【详解】由函数解析式可知，是不变号零点，是变号零点，A.由图可知，变号零点是0，则，则，不成立，故A错误；B.由图可知，变号零点小于0，不变号零点为0，则，此时，当，，当，，当时，，满足图象，故B正确；C.由图可知，，，当时，，当时，，当时，，满足图象，故C正确；D.由图可知，，，当时，，与图象不符，所以D错误.故选：BC5．【分析】作出的图象，根据图象确四个根间的关系，从而得到，且，再利用函数的单调性即可求出结果.【详解】因为，所以，其图象如图所示，又有四个实数根，由图知，得到，即，且，由，得到或，所以，所以，令，，易知在区间上单调递增，所以，所以的取值范围为，故答案为：.6．【分析】根的存在性和个数的判断，转化为函数图象的交点并作图数形结合判断参数范围.【详解】问题等价于函数的图象和恰有三个不同公共点，的图象可由的图象轴上方的不动，轴下方的对称上去，如图数形结合可得故答案为：规律方法：(1)确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，特别是利用一些特殊点排除不符合要求的图象．(2)函数图象的应用主要体现为数形结合思想，借助于函数图象的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、最值、交点、方程的根等问题．【考点三】函数的性质核心梳理：1．函数的奇偶性(1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x)．(2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数)．2．函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法．3．函数的周期性若函数f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)或f(x＋2a)＝f(x)，则函数y＝f(x)的周期为2|a|.4．函数图象的对称中心和对称轴(1)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．(2)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝eq\f(a＋b,2)对称．一、单选题1．（23-24高三上·辽宁抚顺·期末）已知函数，若，是锐角的两个内角，则下列结论一定正确的是（

）A． B．C． D．2．（23-24高三上·河南周口·阶段练习）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2024·湖南邵阳·一模）已知函数与其导函数的定义域均为，且和都是奇函数，且，则下列说法正确的有（

）A．关于对称 B．关于对称C．是周期函数 D．4．（2023·山东烟台·二模）定义在上的函数满足，是偶函数，，则（

）A．是奇函数 B．C．的图象关于直线对称 D．三、填空题5．（2024·河南·一模）已知函数及其导函数的定义域均为R，记.且，，当，，则.（用数字作答）6．（2024·内蒙古赤峰·一模）定义在上的函数满足：对任意都有，且当时，恒成立.下列结论中可能成立的有.①为奇函数；②对定义域内任意，都有；③对，都有；④.参考答案：题号1234答案DAACDABD1．D【分析】由已知可得，根据余弦函数的单调性，得出，由的单调性即可判断选项.【详解】因为，所以，当时，，所以，即，所以在上单调递减.因为，是锐角的两个内角，所以，则，因为在上单调递减，所以，故，故D正确.同理可得，C错误；而的大小不确定，故与，与的大小关系均不确定，所以与，与的大小关系也均不确定，AB不能判断.故选：D2．A【分析】参变分离可得恒成立，结合基本不等式求出的最小值，即可求出参数的取值范围.【详解】因为恒成立，即恒成立，所以恒成立，又由（当且仅当时取等号），所以．故选：A．3．ACD【分析】对于A,根据fx−1为奇函数，得到关系式，两边求导即可判断；对于B，利用的图象可以由fx−1向左平移1个单位即可判断；对于C,根据是奇函数及关于对称得到关系式，综合分析即可求得周期；对于D,结合已知条件可求得的值，进一步计算即可.【详解】因为fx−1为奇函数，所以，所以，即，所以的图象关于直线对称.故A正确；因为fx−1为奇函数，则其图象关于对称，向左平移一个单位后得到的图象，则的图象关于对称，故B错误；因为为奇函数，则，则有，所以①,又，则②,由①②，则，则，，则，所以8是函数的一个周期.，是周期函数，故C正确；因为，，所以，，所以，故D正确，故选：ACD.4．ABD【分析】利用函数的奇偶性、对称性、周期性求解即可.【详解】对于选项，∵是偶函数，∴，∴函数关于直线对称，∴，∵，∴，∴是奇函数，则正确；对于选项，∵，∴，∴,∴的周期为，∴，则正确；对于选项，若的图象关于直线对称，则，但是，，即，这与假设条件矛盾，则选项错误；对于选项，将代入，得，将，代入，得，同理可知，又∵的周期为，∴正奇数项的周期为，∴，则正确.故选：ABD.5．1012【分析】根据推出函数为奇函数，由还原成，推理得到，得出函数图象关于直线对称，两者结合得出为以4为周期的函数，分别求出，计算即得.【详解】由可得，即①又由可得，即，从而，故(是常数)，因当时，则,即得②，由②可得，又由①得，即，故函数为周期函数，周期为4.由，可知，因是R上的奇函数，,则由可得，，，则，于是故答案为：1012.6．①③④【分析】令，求得，进而推得，可判定①正确；结合函数的单调性的判定方法，进而可判定②不正确；根据，结合基本不等式，可判定③正确；根据，结合裂项法求和，可判定④正确.【详解】对于①中，由对任意都有，令，可得，所以，任取x∈−1,1，可得，可得，所以，所以函数是−1,1上的奇函数，所以①正确；对于②中，设，可得，则则有，因为当x∈0,1时，恒成立，且函数为为奇函数，所以当时，恒成立，可得，即，即，在0,1为减函数，又因为为奇函数，所以函数在−1,1为减函数，且当时，；当x∈0,1时，，又由，因为，不妨设，可得，，所以，即，所以②不正确；对于③中，对于，可得，则，可得，且，因为，当且仅当时，等号成立，所以，所以，即，所以③正确；对于④中，因为函数为奇函数，可得，所以，因为，所以，所以，所以④正确.故答案为：①③④.【点睛】方法点睛：对于抽象函数的求值或函数性质的求解策略：（1）对于抽象函数的基本性质的求解，通常借助合理赋值，结合函数的单调性、奇偶性的定义，进行推理，得出函数的基本性质，有时借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题.（2）解答抽象函数的周期性问题时，通常先利用周期性中为自变量所在区间，结合函数的奇偶性和对称性进行推理，得到，求得函数的周期；（3）解答抽函数的求值问题时，通常利用合理赋值，再结合函数的对称性和周期性，进行求解.规律方法：(1)若f(x＋a)＝－f(x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或fx＋a＝\f(1,fx)))，其中f(x)≠0，则f(x)的周期为2|a|.(2)若f(x)的图象关于直线x＝a和x＝b对称，则f(x)的周期为2|a－b|.(3)若f(x)的图象关于点(a,0)和直线x＝b对称，则f(x)的周期为4|a－b|.专题精练专题精练一、单选题1．（2024·湖南岳阳·三模）已知为奇函数，则（

）A． B． C． D．2．（2024·陕西·一模）已知函数的定义域为，函数的值域为B，则（

）A． B． C． D．3．（2024·北京怀柔·模拟预测）已知函数，则对任意实数x，函数的值域是（

）A． B． C． D．4．（2024·四川遂宁·模拟预测）下列函数满足的是（

）A． B．C． D．5．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）如图，边长为1的正方形，其中边在轴上，点与坐标原点重合，若正方形沿轴正向滚动，先以为中心顺时针旋转，当落在轴上时，再以为中心顺时针旋转，如此继续，当正方形的某个顶点落在轴上时，则以该顶点为中心顺时针旋转．设顶点滚动时形成的曲线为y=fx，则（

）A．0 B． C．1 D．6．（22-23高一下·山西·阶段练习）若函数，在R上单调递增，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．7．（2024·湖北武汉·二模）已知函数，则关于的不等式的解集为（

）A． B． C． D．8．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知且，若函数的值域为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题9．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知奇函数的定义域为，若，则（

）A． B．的图象关于直线对称C． D．的一个周期为10．（2023·湖南·模拟预测）已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列说法一定正确的是（

）A．函数的周期为2 B．函数的图象关于对称C．函数为偶函数 D．函数的图象关于对称11．（2024·广东韶关·二模）已知定义在R上的函数的导函数分别为，且，，则（

）A．关于直线对称 B．C．的周期为4 D．三、填空题12．（23-24高三上·广东惠州·阶段练习）已知是定义在，且满足，当时，，若函数在区间上有10个不同零点，则实数的取值范围是．13．（2024·上海·三模）已知函数，若，，且，则的最小值是14．（2024·河南郑州·二模）已知不等式对任意的实数x恒成立，则的最大值为.参考答案：题号12345678910答案DBCCABAAADBC题号11答案ACD1．D【分析】由函数图象平移的规则，且为奇函数，得出函数图象的对称性，进而得出的值.【详解】由函数图象平移的规则可知：函数的图象可由函数的图象向右平移个单位、向下平移个单位得