2025届上海市莘庄中学高考考前提分数学仿真卷含解析

2025届上海市莘庄中学高考考前提分数学仿真卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为，，，且，则此三棱锥外接球表面积的最小值为（）A． B． C． D．2．已知函数，则（）A． B．1 C．-1 D．03．已知函数的图像与一条平行于轴的直线有两个交点，其横坐标分别为，则（）A． B． C． D．4．在区间上随机取一个实数，使直线与圆相交的概率为（）A． B． C． D．5．设且，则下列不等式成立的是（）A． B． C． D．6．如图在直角坐标系中，过原点作曲线的切线，切点为，过点分别作、轴的垂线，垂足分别为、，在矩形中随机选取一点，则它在阴影部分的概率为（）A． B． C． D．7．设复数z＝，则|z|＝（）A． B． C． D．8．已知函数，若，则的值等于（）A． B． C． D．9．如图所示，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于，两点，且，则该椭圆的离心率是（）A． B． C． D．10．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线与圆都相切，则双曲线的离心率是（）A．2或 B．2或 C．或 D．或11．已知全集，集合，，则阴影部分表示的集合是（）A． B． C． D．12．如图是2017年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述中不正确的是（）A．2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省．B．与去年同期相比，2017年第一季度的GDP总量实现了增长．C．2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个D．去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．甲、乙、丙、丁4名大学生参加两个企业的实习，每个企业两人，则“甲、乙两人恰好在同一企业”的概率为_________.14．如图，在菱形ABCD中，AB=3，，E，F分别为BC，CD上的点，，若线段EF上存在一点M，使得，则____________，____________．（本题第1空2分，第2空3分）15．已知为偶函数，当时，，则__________．16．已知，，且，则的最小值是______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过度的部分按元/度收费，超过度但不超过度的部分按元/度收费，超过度的部分按元/度收费．（I）求某户居民用电费用（单位：元）关于月用电量（单位：度）的函数解析式；（Ⅱ）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这户居民中，今年1月份用电费用不超过元的占，求，的值；（Ⅲ）在满足（Ⅱ）的条件下，若以这户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率，且同组中的数据用该组区间的中点代替，记为该居民用户1月份的用电费用，求的分布列和数学期望.18．（12分）为增强学生的法治观念，营造“学宪法、知宪法、守宪法”的良好校园氛围，某学校开展了“宪法小卫士”活动，并组织全校学生进行法律知识竞赛．现从全校学生中随机抽取50名学生，统计他们的竞赛成绩，已知这50名学生的竞赛成绩均在[50，100]内，并得到如下的频数分布表：分数段[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]人数51515123（1）将竞赛成绩在内定义为“合格”，竞赛成绩在内定义为“不合格”．请将下面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为“法律知识竞赛成绩是否合格”与“是否是高一新生”有关？合格不合格合计高一新生12非高一新生6合计（2）在（1）的前提下，按“竞赛成绩合格与否”进行分层抽样，从这50名学生中抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生，求这2名学生竞赛成绩都合格的概率．参考公式及数据：，其中．19．（12分）如图，在四棱锥中，，，，底面为正方形，、分别为、的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．20．（12分）设函数.（1）时，求的单调区间；（2）当时，设的最小值为，若恒成立，求实数t的取值范围.21．（12分）已知，点分别为椭圆的左、右顶点，直线交于另一点为等腰直角三角形，且.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于两点，总使得为锐角，求直线斜率的取值范围.22．（10分）设等差数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）求的前项和及使得最小的的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

根据三视图得到几何体为一三棱锥，并以该三棱锥构造长方体，于是得到三棱锥的外接球即为长方体的外接球，进而得到外接球的半径，求得外接球的面积后可求出最小值．【详解】由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体的四个顶点，即为三棱锥，且长方体的长、宽、高分别为，∴此三棱锥的外接球即为长方体的外接球，且球半径为，∴三棱锥外接球表面积为，∴当且仅当，时，三棱锥外接球的表面积取得最小值为．故选B．【点睛】（1）解决关于外接球的问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径，同时要作一圆面起衬托作用．（2）长方体的外接球的直径即为长方体的体对角线，对于一些比较特殊的三棱锥，在研究其外接球的问题时可考虑通过构造长方体，通过长方体的外球球来研究三棱锥的外接球的问题．2、A【解析】

由函数，求得，进而求得的值，得到答案.【详解】由题意函数，则，所以，故选A.【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中根据分段函数的解析式，代入求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3、A【解析】

画出函数的图像，函数对称轴方程为，由图可得与关于对称，即得解.【详解】函数的图像如图，对称轴方程为，，又，由图可得与关于对称，故选：A【点睛】本题考查了正弦型函数的对称性，考查了学生综合分析，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.4、D【解析】

利用直线与圆相交求出实数的取值范围，然后利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由于直线与圆相交，则，解得.因此，所求概率为.故选：D.【点睛】本题考查几何概型概率的计算，同时也考查了利用直线与圆相交求参数，考查计算能力，属于基础题.5、A【解析】项，由得到，则，故项正确；项，当时，该不等式不成立，故项错误；项，当，时，，即不等式不成立，故项错误；项，当，时，，即不等式不成立，故项错误．综上所述，故选．6、A【解析】

设所求切线的方程为，联立，消去得出关于的方程，可得出，求出的值，进而求得切点的坐标，利用定积分求出阴影部分区域的面积，然后利用几何概型概率公式可求得所求事件的概率.【详解】设所求切线的方程为，则，联立，消去得①，由，解得，方程①为，解得，则点，所以，阴影部分区域的面积为，矩形的面积为，因此，所求概率为.故选：A.【点睛】本题考查定积分的计算以及几何概型，同时也涉及了二次函数的切线方程的求解，考查计算能力，属于中等题.7、D【解析】

先用复数的除法运算将复数化简，然后用模长公式求模长.【详解】解：z＝＝＝＝﹣﹣,则|z|＝＝＝＝.故选：D.【点睛】本题考查复数的基本概念和基本运算,属于基础题.8、B【解析】

由函数的奇偶性可得，【详解】∵其中为奇函数，也为奇函数∴也为奇函数∴故选：B【点睛】函数奇偶性的运用即得结果，小记，定义域关于原点对称时有：①奇函数±奇函数=奇函数；②奇函数×奇函数=偶函数；③奇函数÷奇函数=偶函数；④偶函数±偶函数=偶函数；⑤偶函数×偶函数=偶函数；⑥奇函数×偶函数=奇函数；⑦奇函数÷偶函数=奇函数9、A【解析】

联立直线方程与椭圆方程，解得和的坐标，然后利用向量垂直的坐标表示可得，由离心率定义可得结果.【详解】由，得，所以，.由题意知，所以，.因为,所以,所以.所以，所以，故选：A.【点睛】本题考查了直线与椭圆的交点，考查了向量垂直的坐标表示，考查了椭圆的离心率公式，属于基础题.10、A【解析】

根据题意，由圆的切线求得双曲线的渐近线的方程，再分焦点在x、y轴上两种情况讨论，进而求得双曲线的离心率．【详解】设双曲线C的渐近线方程为y=kx，是圆的切线得：，得双曲线的一条渐近线的方程为∴焦点在x、y轴上两种情况讨论：

①当焦点在x轴上时有：②当焦点在y轴上时有：∴求得双曲线的离心率2或．

故选：A．【点睛】本小题主要考查直线与圆的位置关系、双曲线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．解题的关键是：由圆的切线求得直线的方程，再由双曲线中渐近线的方程的关系建立等式，从而解出双曲线的离心率的值．此题易忽视两解得出错误答案．11、D【解析】

先求出集合N的补集，再求出集合M与的交集，即为所求阴影部分表示的集合.【详解】由，，可得或，又所以.故选：D.【点睛】本题考查了韦恩图表示集合，集合的交集和补集的运算，属于基础题.12、C【解析】

利用图表中的数据进行分析即可求解.【详解】对于A选项：2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，故A正确；对于B选项：与去年同期相比，2017年第一季度5省的GDP均有不同的增长，所以其总量也实现了增长，故B正确；对于C选项：2017年第一季度GDP总量由高到低排位分别是：江苏、山东、浙江、河南、辽宁，2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，均居同一位的省有2个，故C错误；对于D选项：去年同期河南省的GDP总量，故D正确.故选：C.【点睛】本题考查了图表分析，学生的分析能力，推理能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

求出所有可能，找出符合可能的情况，代入概率计算公式．【详解】解：甲、乙、丙、丁4名大学生参加两个企业的实习，每个企业两人，共有种，甲乙在同一个公司有两种可能，故概率为，故答案为．【点睛】本题考查古典概型及其概率计算公式，属于基础题14、【解析】

根据题意，设，则，所以，解得，所以，从而有.15、【解析】

由偶函数的性质直接求解即可【详解】.故答案为【点睛】本题考查函数的奇偶性，对数函数的运算，考查运算求解能力16、1【解析】

先将前两项利用基本不等式去掉，，再处理只含的算式即可．【详解】解：，因为，所以，所以，当且仅当，，时等号成立，故答案为：1．【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，但是由于有3个变量，导致该题不易找到思路，属于中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2），；（3）见解析.【解析】试题分析:（1）根据题意分段表示出函数解析式;（2）将代入（1）中函数解析式可得，即，根据频率分布直方图可分别得到关于的方程,即可得;（3）取每段中点值作为代表的用电量,分别算出对应的费用值,对应得出每组电费的概率,即可得到的概率分布列,然后求出的期望.试题解析:（1）当时，；当当时，；当当时，，所以与之间的函数解析式为.（2）由（1）可知，当时，，则，结合频率分布直方图可知，∴，（3）由题意可知可取50，150，250，350，450，550，当时，，∴，当时，，∴，当时，，∴，当时，，∴，当时，，∴，当时，，∴，故的概率分布列为25751402203104100.10.20.30.20.150.05所以随机变量的数学期望18、（1）见解析；（2）【解析】

（1）补充完整的列联表如下：合格不合格合计高一新生121426非高一新生18624合计302050则的观测值，所以有的把握认为“法律知识竞赛成绩是否合格”与“是否是高一新生”有关．（2）抽取的5名学生中竞赛成绩合格的有名学生，记为，竞赛成绩不合格的有名学生，记为，从这5名学生中随机抽取2名学生的基本事件有：，共10种，这2名学生竞赛成绩都合格的基本事件有：，共3种，所以这2名学生竞赛成绩都合格的概率为．19、（1）见解析；（2）.【解析】

（1）利用中位线的性质得出，然后利用线面平行的判定定理可证明出平面；（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1）因为、分别为、的中点，所以．又因为平面，平面，所以平面；（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，则，，，，，，，．设平面的法向量为，则，即，令，则，，所以．设直线与平面所成角为，所以．因此，直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法计算直线与平面所成的角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20、（1）的增区间为，减区间为；（2）.【解析】

（1）求出函数的导数，由于参数的范围对导数的符号有影响，对参数分类，再研究函数的单调区间；（2）由（1）的结论，求出的表达式，由于恒成立，故求出的最大值，即得实数的取值范围的左端点．【详解】解：（1）解：，当时，，解得的增区间为，解得的减区间为.（2）解：若，由得，由得，所以函数的减区间为，增区间为；，因为，所以，，令，则恒