广东省河源市龙川县隆师中学2025届高三最后一模数学试题含解析

广东省河源市龙川县隆师中学2025届高三最后一模数学试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数的部分图象如图所示，则的单调递增区间为（）A． B．C． D．2．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式）.A．2寸 B．3寸 C．4寸 D．5寸3．已知，，，若，则（）A． B． C． D．4．用数学归纳法证明1+2+3+⋯+n2=n4A．k2+1C．k2+15．函数的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于两点，且在轴上，则下列说法中正确的是A．函数的最小正周期是B．函数的图象关于点成中心对称C．函数在单调递增D．函数的图象向右平移后关于原点成中心对称6．执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A． B． C． D．7．（）A． B． C．1 D．8．如图，这是某校高三年级甲、乙两班在上学期的5次数学测试的班级平均分的茎叶图，则下列说法不正确的是（）A．甲班的数学成绩平均分的平均水平高于乙班B．甲班的数学成绩的平均分比乙班稳定C．甲班的数学成绩平均分的中位数高于乙班D．甲、乙两班这5次数学测试的总平均分是1039．设集合，集合，则=（）A． B． C． D．R10．在的展开式中，含的项的系数是（）A．74 B．121 C． D．11．函数的对称轴不可能为（）A． B． C． D．12．在三棱锥中，，，P在底面ABC内的射影D位于直线AC上，且，.设三棱锥的每个顶点都在球Q的球面上，则球Q的半径为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知数列满足，，若，则数列的前n项和______．14．在中，角，，所对的边分别边，且，设角的角平分线交于点，则的值最小时，___.15．已知命题：，，那么是__________.16．若展开式中的常数项为240，则实数的值为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在，角、、所对的边分别为、、，已知.（1）求的值；（2）若，边上的中线，求的面积.18．（12分）某商场为改进服务质量，在进场购物的顾客中随机抽取了人进行问卷调查．调查后，就顾客“购物体验”的满意度统计如下：满意不满意男女是否有的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关？若在购物体验满意的问卷顾客中按照性别分层抽取了人发放价值元的购物券．若在获得了元购物券的人中随机抽取人赠其纪念品，求获得纪念品的人中仅有人是女顾客的概率．附表及公式：．19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为；直线l的参数方程为（t为参数）.直线l与曲线C分别交于M，N两点.（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若点P的极坐标为，，求的值.20．（12分）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围.21．（12分）已知在平面直角坐标系中，椭圆的焦点为为椭圆上任意一点，且.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线交椭圆于两点，且满足（分别为直线的斜率），求的面积为时直线的方程.22．（10分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，为棱的中点，为棱上任意一点，且不与点、点重合．．（1）求证：平面平面；（2）是否存在点使得平面与平面所成的角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

由图象可以求出周期，得到，根据图象过点可求，根据正弦型函数的性质求出单调增区间即可.【详解】由图象知，所以，，又图象过点，所以，故可取，所以令，解得所以函数的单调递增区间为故选：．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，利用“五点法”求函数解析式，属于中档题.2、B【解析】试题分析：根据题意可得平地降雨量，故选B.考点：1.实际应用问题；2.圆台的体积.3、B【解析】

由平行求出参数，再由数量积的坐标运算计算．【详解】由，得，则，，，所以．故选：B．【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，考查数量积的坐标运算，掌握向量数量积的坐标运算是解题关键．4、C【解析】

首先分析题目求用数学归纳法证明1+1+3+…+n1=n4【详解】当n=k时，等式左端=1+1+…+k1，当n=k+1时，等式左端=1+1+…+k1+k1+1+k1+1+…+（k+1）1，增加了项（k1+1）+（k1+1）+（k1+3）+…+（k+1）1．故选：C．【点睛】本题主要考查数学归纳法，属于中档题./5、B【解析】

根据函数的图象，求得函数，再根据正弦型函数的性质，即可求解，得到答案．【详解】根据给定函数的图象，可得点的横坐标为，所以，解得，所以的最小正周期，不妨令，，由周期，所以，又，所以，所以，令，解得，当时，，即函数的一个对称中心为，即函数的图象关于点成中心对称．故选B．【点睛】本题主要考查了由三角函数的图象求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质，其中解答中根据函数的图象求得三角函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能力，属于基础题．6、B【解析】

列出每一次循环，直到计数变量满足退出循环.【详解】第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：，退出循环，输出的为.故选：B.【点睛】本题考查由程序框图求输出的结果，要注意在哪一步退出循环，是一道容易题.7、A【解析】

利用复数的乘方和除法法则将复数化为一般形式，结合复数的模长公式可求得结果.【详解】，，因此，.故选：A.【点睛】本题考查复数模长的计算，同时也考查了复数的乘方和除法法则的应用，考查计算能力，属于基础题.8、D【解析】

计算两班的平均值，中位数，方差得到正确，两班人数不知道，所以两班的总平均分无法计算，错误，得到答案.【详解】由题意可得甲班的平均分是104，中位数是103，方差是26.4；乙班的平均分是102，中位数是101，方差是37.6，则A，B，C正确.因为甲、乙两班的人数不知道，所以两班的总平均分无法计算，故D错误.故选：.【点睛】本题考查了茎叶图，平均值，中位数，方差，意在考查学生的计算能力和应用能力.9、D【解析】试题分析：由题，，，选D考点：集合的运算10、D【解析】

根据，利用通项公式得到含的项为：，进而得到其系数，【详解】因为在，所以含的项为：，所以含的项的系数是的系数是，，故选：D【点睛】本题主要考查二项展开式及通项公式和项的系数，还考查了运算求解的能力，属于基础题，11、D【解析】

由条件利用余弦函数的图象的对称性，得出结论．【详解】对于函数，令，解得，当时，函数的对称轴为，，.故选：D.【点睛】本题主要考查余弦函数的图象的对称性，属于基础题．12、A【解析】

设的中点为O先求出外接圆的半径，设，利用平面ABC，得，在及中利用勾股定理构造方程求得球的半径即可【详解】设的中点为O,因为，所以外接圆的圆心M在BO上.设此圆的半径为r.因为，所以，解得.因为，所以.设，易知平面ABC，则.因为，所以，即，解得.所以球Q的半径.故选：A【点睛】本题考查球的组合体，考查空间想象能力，考查计算求解能力，是中档题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

,求得的通项，进而求得,得通项公式，利用等比数列求和即可.【详解】由题为等差数列，∴,∴,∴,∴,故答案为【点睛】本题考查求等差数列数列通项，等比数列求和，熟记等差等比性质，熟练运算是关键，是基础题.14、【解析】

根据题意，利用余弦定理和基本不等式得出，再利用正弦定理，即可得出.【详解】因为，则，由余弦定理得：，当且仅当时取等号，又因为，，所以.故答案为：.【点睛】本题考查余弦定理和正弦定理的应用，以及基本不等式求最值，考查计算能力.15、真命题【解析】

由幂函数的单调性进行判断即可.【详解】已知命题：，，因为在上单调递增，则，所以是真命题，故答案为：真命题【点睛】本题主要考查了判断全称命题的真假，属于基础题.16、－3【解析】

依题意可得二项式展开式的常数项为即可得到方程，解得即可；【详解】解：∵二项式的展开式中的常数项为，∴解得.故答案为：【点睛】本题考查二项式展开式中常数项的计算，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)答案不唯一，见解析【解析】

（1）由题意根据和差角的三角函数公式可得，再根据同角三角函数基本关系可得的值；（2）在中，由余弦定理可得，解方程分别由三角形面积公式可得答案．【详解】解：（1）在中，因为，又已知，所以，因为，所以，于是.所以.（2）在中，由余弦定理得，得解得或，当时，的面积，当时，的面积.【点睛】本题考查正余弦定理理解三角形，涉及三角形的面积公式和分类讨论思想，属于中档题．18、有的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关；.【解析】

由题得，根据数据判断出顾客购物体验的满意度与性别有关；获得了元购物券的人中男顾客有人，记为，；女顾客有人，记为，，，．从中随机抽取人，所有基本事件有个，其中仅有1人是女顾客的基本事件有个，进而求出获得纪念品的人中仅有人是女顾客的概率.【详解】解析：由题得所以，有的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关．获得了元购物券的人中男顾客有人，记为，；女顾客有人，记为，，，．从中随机抽取人，所有基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，共个．其中仅有1人是女顾客的基本事件有：，，，，，，，，共个．所以获得纪念品的人中仅有人是女顾客的概率．【点睛】本小题主要考查统计案例、卡方分布、概率等基本知识，考查概率统计基本思想以及抽象概括等能力和应用意识，属于中档题．19、（1），；（2）2.【解析】

（1）由得，求出曲线的直角坐标方程.由直线的参数方程消去参数，即求直线的普通方程；（2）将直线的参数方程化为标准式（为参数），代入曲线的直角坐标方程，韦达定理得，点在直线上，则，即可求出的值.【详解】（1）由可得，即，即，曲线的直角坐标方程为，由直线的参数方程（t为参数），消去得，即直线的普通方程为.（Ⅱ）点的直角坐标为，则点在直线上.将直线的参数方程化为标准式（为参数），代入曲线的直角坐标方程，整理得，直线与曲线交于两点，，即.设点所对应的参数分别为，由韦达定理可得，.点在直线上，，.【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化及应用，属于中档题.20、（1）；（2）.【解析】

（1）将函数的解析式表示为分段函数，然后分、、三段求解不等式，综合可得出不等式的解集；（2）求出函数的最大值，由题意得出，解此不等式即可得出实数的取值范围.【详解】.（1）当时，由，解得，此时；当时，由，解得，此时；当时，由，解得，此时.综上所述，不等式的解集；（2）当时，函数单调递增，则；当时，函数单调递减，则，即；当时，函数单调递减，则.综上所述，函数的最大值为，由题知，，解得.因此，实数的取值范围是.【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解，同时也考查了绝对值不等式中的参数问题，考查分类讨论思想的应用，考查运算求解能力，属于中等题.21、（1）（2）或【解析】

（1）根据椭圆定义求得，得椭圆方程；（2）设，由得，应用韦达定理得，代入已知条件可得，再由椭圆中弦长公式求得弦长，原点到直线的距离，得三角形面积，从而可求得，得直线方程．【详解】解：（1）据题意设椭圆的方程为则椭圆的标准方程为.（2）据得设，则又原点到直线的距离解得或所求直线的方程为或【点睛】本题考查求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交问题．解题时采取设而不求思想，即设交点坐标为，直线方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理得，把这个结论代入题中条件求得参数，用它求弦长等等，从而解决问题．22、（1）证明见解析（2）存在，为中点【解析】

（1）证明面，即证明平面平面；（2）以为坐标原点，为轴正方向，为轴