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文档简介
2025届山西省长治二中等五校高考数学考前最后一卷预测卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.将函数f(x)=sin3x-cos3x+1的图象向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,给出下列关于g(x)的结论:①它的图象关于直线x=对称;②它的最小正周期为;③它的图象关于点(,1)对称;④它在[]上单调递增.其中所有正确结论的编号是()A.①② B.②③ C.①②④ D.②③④2.用电脑每次可以从区间内自动生成一个实数,且每次生成每个实数都是等可能性的.若用该电脑连续生成3个实数,则这3个实数都小于的概率为()A. B. C. D.3.已知函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象,则的最小值为()A. B. C. D.4.设是定义在实数集上的函数,满足条件是偶函数,且当时,,则,,的大小关系是()A. B. C. D.5.已知实数满足则的最大值为()A.2 B. C.1 D.06.已知是边长为1的等边三角形,点,分别是边,的中点,连接并延长到点,使得,则的值为()A. B. C. D.7.把函数图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,再将图象向右平移个单位,那么所得图象的一个对称中心为()A. B. C. D.8.已知函数,,若对任意,总存在,使得成立,则实数的取值范围为()A. B.C. D.9.在中,已知,,,为线段上的一点,且,则的最小值为()A. B. C. D.10.已知随机变量满足,,.若,则()A., B.,C., D.,11.斜率为1的直线l与椭圆相交于A、B两点,则的最大值为A.2 B. C. D.12.已知函数,的图象与直线的两个相邻交点的距离等于,则的一条对称轴是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若双曲线C:(,)的顶点到渐近线的距离为,则的最小值________.14.已知,复数且(为虚数单位),则__________,_________.15.已知实数满足,则的最小值是______________.16.函数的最大值与最小正周期相同,则在上的单调递增区间为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数.(1)解不等式;(2)记函数的最小值为,正实数、满足,求证:.18.(12分)已知函数.(Ⅰ)若,求曲线在处的切线方程;(Ⅱ)当时,要使恒成立,求实数的取值范围.19.(12分)为了检测某种零件的一条生产线的生产过程,从生产线上随机抽取一批零件,根据其尺寸的数据得到如图所示的频率分布直方图,若尺寸落在区间之外,则认为该零件属“不合格”的零件,其中,s分别为样本平均数和样本标准差,计算可得(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).(1)求样本平均数的大小;(2)若一个零件的尺寸是100cm,试判断该零件是否属于“不合格”的零件.20.(12分)已知直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程;(2)设点,直线与曲线交于两点,求的值.21.(12分)如图,在斜三棱柱中,侧面与侧面都是菱形,,.(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)若,求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.22.(10分)在直角坐标系中,已知圆,以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线平分圆M的周长.(1)求圆M的半径和圆M的极坐标方程;(2)过原点作两条互相垂直的直线,其中与圆M交于O,A两点,与圆M交于O,B两点,求面积的最大值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】
根据函数图象的平移变换公式求出函数的解析式,再利用正弦函数的对称性、单调区间等相关性质求解即可.【详解】因为f(x)=sin3x-cos3x+1=2sin(3x-)+1,由图象的平移变换公式知,函数g(x)=2sin[3(x+)-]+1=2sin(3x+)+1,其最小正周期为,故②正确;令3x+=kπ+,得x=+(k∈Z),所以x=不是对称轴,故①错误;令3x+=kπ,得x=-(k∈Z),取k=2,得x=,故函数g(x)的图象关于点(,1)对称,故③正确;令2kπ-≤3x+≤2kπ+,k∈Z,得-≤x≤+,取k=2,得≤x≤,取k=3,得≤x≤,故④错误;故选:B【点睛】本题考查图象的平移变换和正弦函数的对称性、单调性和最小正周期等性质;考查运算求解能力和整体代换思想;熟练掌握正弦函数的对称性、单调性和最小正周期等相关性质是求解本题的关键;属于中档题、常考题型2、C【解析】
由几何概型的概率计算,知每次生成一个实数小于1的概率为,结合独立事件发生的概率计算即可.【详解】∵每次生成一个实数小于1的概率为.∴这3个实数都小于1的概率为.故选:C.【点睛】本题考查独立事件同时发生的概率,考查学生基本的计算能力,是一道容易题.3、A【解析】
首先求得平移后的函数,再根据求的最小值.【详解】根据题意,的图象向左平移个单位后,所得图象对应的函数,所以,所以.又,所以的最小值为.故选:A【点睛】本题考查三角函数的图象变换,诱导公式,意在考查平移变换,属于基础题型.4、C【解析】∵y=f(x+1)是偶函数,∴f(-x+1)=f(x+1),即函数f(x)关于x=1对称.
∵当x≥1时,为减函数,∵f(log32)=f(2-log32)=f()且==log34,log34<<3,∴b>a>c,
故选C5、B【解析】
作出可行域,平移目标直线即可求解.【详解】解:作出可行域:由得,由图形知,经过点时,其截距最大,此时最大得,当时,故选:B【点睛】考查线性规划,是基础题.6、D【解析】
设,,作为一个基底,表示向量,,,然后再用数量积公式求解.【详解】设,,所以,,,所以.故选:D【点睛】本题主要考查平面向量的基本运算,还考查了运算求解的能力,属于基础题.7、D【解析】
试题分析:把函数图象上各点的横坐标伸长为原来的倍(纵坐标不变),可得的图象;再将图象向右平移个单位,可得的图象,那么所得图象的一个对称中心为,故选D.考点:三角函数的图象与性质.8、C【解析】
将函数解析式化简,并求得,根据当时可得的值域;由函数在上单调递减可得的值域,结合存在性成立问题满足的集合关系,即可求得的取值范围.【详解】依题意,则,当时,,故函数在上单调递增,当时,;而函数在上单调递减,故,则只需,故,解得,故实数的取值范围为.故选:C.【点睛】本题考查了导数在判断函数单调性中的应用,恒成立与存在性成立问题的综合应用,属于中档题.9、A【解析】
在中,设,,,结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求,可得,再由已知条件求得,,,考虑建立以所在的直线为轴,以所在的直线为轴建立直角坐标系,根据已知条件结合向量的坐标运算求得,然后利用基本不等式可求得的最小值.【详解】在中,设,,,,即,即,,,,,,,,即,又,,,则,所以,,解得,.以所在的直线为轴,以所在的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系,则、、,为线段上的一点,则存在实数使得,,设,,则,,,,,消去得,,所以,,当且仅当时,等号成立,因此,的最小值为.故选:A.【点睛】本题是一道构思非常巧妙的试题,综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题,解题的关键是理解是一个单位向量,从而可用、表示,建立、与参数的关系,解决本题的第二个关键点在于由,发现为定值,从而考虑利用基本不等式求解最小值,考查计算能力,属于难题.10、B【解析】
根据二项分布的性质可得:,再根据和二次函数的性质求解.【详解】因为随机变量满足,,.所以服从二项分布,由二项分布的性质可得:,因为,所以,由二次函数的性质可得:,在上单调递减,所以.故选:B【点睛】本题主要考查二项分布的性质及二次函数的性质的应用,还考查了理解辨析的能力,属于中档题.11、C【解析】
设出直线的方程,代入椭圆方程中消去y,根据判别式大于0求得t的范围,进而利用弦长公式求得|AB|的表达式,利用t的范围求得|AB|的最大值.【详解】解:设直线l的方程为y=x+t,代入y2=1,消去y得x2+2tx+t2﹣1=0,由题意得△=(2t)2﹣1(t2﹣1)>0,即t2<1.弦长|AB|=4.故选:C.【点睛】本题主要考查了椭圆的应用,直线与椭圆的关系.常需要把直线与椭圆方程联立,利用韦达定理,判别式找到解决问题的突破口.12、D【解析】
由题,得,由的图象与直线的两个相邻交点的距离等于,可得最小正周期,从而求得,得到函数的解析式,又因为当时,,由此即可得到本题答案.【详解】由题,得,因为的图象与直线的两个相邻交点的距离等于,所以函数的最小正周期,则,所以,当时,,所以是函数的一条对称轴,故选:D【点睛】本题主要考查利用和差公式恒等变形,以及考查三角函数的周期性和对称性.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
根据双曲线的方程求出其中一条渐近线,顶点,再利用点到直线的距离公式可得,由,利用基本不等式即可求解.【详解】由双曲线C:(,,可得一条渐近线,一个顶点,所以,解得,则,当且仅当时,取等号,所以的最小值为.故答案为:【点睛】本题考查了双曲线的几何性质、点到直线的距离公式、基本不等式求最值,注意验证等号成立的条件,属于基础题.14、【解析】∵复数且∴∴∴∴,故答案为,15、【解析】
先画出不等式组对应的可行域,再利用数形结合分析解答得解.【详解】画出不等式组表示的可行域如图阴影区域所示.由题得y=-3x+z,它表示斜率为-3,纵截距为z的直线系,平移直线,易知当直线经过点时,直线的纵截距最小,目标函数取得最小值,且.故答案为:-8【点睛】本题主要考查线性规划问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析能力.16、【解析】
利用三角函数的辅助角公式进行化简,求出函数的解析式,结合三角函数的单调性进行求解即可.【详解】∵,则函数的最大值为2,周期,的最大值与最小正周期相同,,得,则,当时,,则当时,得,即函数在,上的单调递增区间为,故答案为:.【点睛】本题考查三角函数的性质、单调区间,利用辅助角公式求出函数的解析式是解决本题的关键,同时要注意单调区间为定义域的一个子区间.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)见解析.【解析】
(1)分、、三种情况解不等式,综合可得出原不等式的的解集;(2)利用绝对值三角不等式可求得函数的最小值为,进而可得出,再将代数式与相乘,利用基本不等式求得的最小值,进而可证得结论成立.【详解】(1)当时,由,得,即,解得,此时;当时,由,得,即,解得,此时;当时,由,得,即,解得,此时.综上所述,不等式的解集为;(2),当且仅当时取等号,所以,.所以,当且仅当,即,时等号成立,所以.所以,即.【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解,同时也考查了利用基本不等式证明不等式成立,涉及绝对值三角不等式的应用,考查运算求解能力,属于中等题.18、(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)求函数的导函数,即可求得切线的斜率,则切线方程得解;(Ⅱ)构造函数,对参数分类讨论,求得函数的单调性,以及最值,即可容易求得参数范围.【详解】(Ⅰ)当时,,则.所以.又,故所求切线方程为,即.(Ⅱ)依题意,得,即恒成立.令,则.①当时,因为,不合题意.②当时,令,得,,显然.令,得或;令,得.所以函数的单调递增区间是,,单调递减区间是.当时,,,所以,只需,所以,所以实数的取值范围为.【点睛】本题考查利用导数的几何意义求切线方程,以及利用导数研究恒成立问题,属综合中档题.19、(1)66.5(2)属于【解析】
(1)利用频率分布直方图的平均数公式求解;(2)求出,即可判断得解.【详解】(1)(2)所以该零件属于“不合格”的零件【点睛】本题主要考查频率分布图中平均数的计算和应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20、(1);(2)【解析】
(1)直接利用转换关系的应用,把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.(2)利用(1)的结论,进一步利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果.【详解】解:(1)直线的参数方程为(为参数),转换为直角坐标方程为.曲线的极坐标方程为.转换为,转换为直角坐标方程为.(2)直线的参数方程为(为参数),转换为标准式为(为参数),代入圆的直角坐标方程整理得,所以,..【点睛】本题属于基础本题考查的知识要点:主要考查极坐标,参数方程与普通方程互化,及求三角形面积.需要熟记极坐标系与参数方程的公式,及与解析几何相关的直线与曲线位置关系的一些解题思路.21、(Ⅰ)见解析;(Ⅱ).【解析】试题分析:(1)取中点,连,,由等边三角形三边合一可知,,即证.(2)以,,为正方向建立空间直角坐标系,由向量法可求得平面与平面所成的锐二面角的余弦值.试题解析:(Ⅰ)证明:连,,则和皆为正三角形.取中点,连,,则,,则
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