高考数学真题专题解析-二项式定理与随机变量的分布(新高考卷)

高考数学最新真题专题解析—二项式定理与随机变量的分布（新高考卷）【母题来源】2022年新高考I卷【母题题文】(1−yx)(x+y)8的展开式中x2【解析】【分析】本题考查二项展开式的特定项与特定项的系数，属于基础题．【解答】解：因为(x+y)8展开式的通项Tr+1令r=5，则x3y5的系数为C85=56；令r=6，则x2所以x2y6的系数为−56+28=−28【母题来源】2022年新高考II卷【母题题文】随机变量X服从正态分布N(2,σ2)，若P(2<x≤2.5)=0.36【答案】0.14【解析】【分析】本题考查了正态分布的意义，正态曲线的对称性及其应用．【解答】解：由题意可知，P(X>2)=0.5，故P(X>2.5)=P(X>2)−P(2<X⩽2.5)=0.14．【命题意图】考察二项式定理及其应用，考察基本计算能力和逻辑推导能力。考察正太分布，考察正态分布特征。【命题方向】1.二项展开基本定理，还会涉及到三项展开。考察特定项，特定项的系数，二项式系数，同时会涉及到赋值法的应用。多为小题。2.考察正太分布，二项分布，超几何分布等常见的分布。【得分要点】一、二项式定理(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(r,n)an－rbr＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数Ceq\o\al(r,n)(r＝0，1，2，…，n)叫做第r＋1项的二项式系数．式中的Ceq\o\al(r,n)an－rbr叫做二项式展开式的第r＋1项(通项)，用Tr＋1表示，即展开式的第r＋1项；Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)an－rbr．二、常见随机变量的分布列(1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，则其分布列为X01P1－pp其中p＝P(X＝1)称为成功概率．（2）超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(k,M)Ceq\o\al(n－k,N－M),Ceq\o\al(n,N))，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列为超几何分布列.X01…mPeq\f(Ceq\o\al(0,M)Ceq\o\al(n－0,N－M),Ceq\o\al(n,N))eq\f(Ceq\o\al(1,M)Ceq\o\al(n－1,N－M),Ceq\o\al(n,N))…eq\f(Ceq\o\al(m,M)Ceq\o\al(n－m,N－M),Ceq\o\al(n,N))（3）二项分布如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)Pkqn－k，其中k＝0，1，2，3，…，n，q＝1－P.于是得到随机变量X的概率分布如下：X01…k…nPCeq\o\al(0,n)P0qnCeq\o\al(1,n)P1qn－1…Ceq\o\al(k,n)Pkqn－k…Ceq\o\al(n,n)Pnq0由于Ceq\o\al(k,n)Pkqn－k恰好是二项展开式(P＋q)n＝Ceq\o\al(0,n)P0qn＋Ceq\o\al(1,n)P1qn－1＋…＋Ceq\o\al(k,n)Pkqn－k＋…＋Ceq\o\al(n,n)Pnq0中的第k＋1项(k＝0，1，2，…，n)中的值，故称随机变量X为二项分布，记作X～B(n，P)．三．离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)均值：称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)D(X)＝eq\o(∑,\s\up12(n),\s\do4(i＝1))(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根eq\r(D(X))为随机变量X的标准差．2．二项分布的均值、方差若X～B(n，p)，则EX＝np，DX＝np(1－p)．3．两点分布的均值、方差若X服从两点分布，则EX＝p(p为成功概率)，DX＝p(1－p)．4．离散型随机变量均值与方差的性质E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．经典真题汇总及解析1．（2021·湖北·高三开学考试）已知随机变量，且，，则____.（用表示）【答案】2m-1【分析】利用正态分布的性质可得正确的结果.【详解】因为，故，则，故.故答案为：.2．（2020·海南·三亚市第二中学高三阶段练习）某超市经营的某种包装优质东北大米的质量（单位：）服从正态分布，任意选取一袋这种大米，质量在的概率为__________．（附：若，则，，）【答案】0.8185【详解】因为，所以.所以.故答案为.3．（2022·辽宁大连·一模）已知随机变量，且，则的最小值为______．【答案】4【分析】由正态曲线的对称性得出，再由基本不等式得出最小值.【详解】由随机变量，则正态分布的曲线的对称轴为，又因为，所以，所以当时，有，当且仅当，即时等号成立，故最小值为4．故答案为：4．（2022·江苏·扬中市第二高级中学模拟预测）在展开式中，第项二项式系数依次成等差数列，且展开式中有常数项，则该常数项是第________项．【答案】【分析】根据等差数列的知识求得，结合二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】由于第项二项式系数依次成等差数列，所以，.展开式的通项公式为，令，整理得，由于，所以，即常数项是第项.故答案为：5．（2021·广东·珠海市第二中学高三阶段练习）若，则_______．【答案】【分析】利用赋值法化简求解和，进一步求出答案.【详解】令，则①令，则②，①+②得∴令，则∴.故答案为：.6．（2022·湖南·长郡中学一模）已知，则__________．【答案】0【分析】利用赋值法可得答案.【详解】根据题意，今，得，令，得，因此，故答案为：0.7．（2022·湖北·襄阳五中二模）已知函数在x=0处的切线与直线平行，则二项式展开式中含项的系数为_________．【答案】36【分析】根据导数的几何意义可得，展开式的通项为：，根据分析计算项的系数．【详解】由函数的解析式，得，则．由题意，得，则二项式展开式的通项为：所以含项的系数为故答案为：36．8．（2022·重庆八中模拟预测）为了监控某种食品的生产包装过程，检验员每天从生产线上随机抽取包食品，并测量其质量（单位：g）.根据长期的生产经验，这条生产线正常状态下每包食品质量服从正态分布.假设生产状态正常，记表示每天抽取的k包食品中其质量在之外的包数，若的数学期望，则k的最小值为________.附：若随机变量X服从正态分布，则.【答案】19【分析】根据正态分布的性质求出在之外的概率，从而得到，根据二项分布的期望公式得到不等式，解得即可；【详解】解：依题意，所以在之外的概率，则，则，因为，所以，解得，因为，所以的最小值为；故答案为：199．（2021·河北·武安市第一中学高三阶段练习）随机变量的可能值，且，则D的最大值为___________.【答案】1【分析】由题意得到，利用概率范围求得p的范围，再利用期望和方差的公式求解.【详解】因为随机变量的可能值有1，2，3，且，所以，由，得所以.，，当时，的最大值为故答案为：110．（2022·山东师范大学附中模拟预测）已知随机变量，且，则的最小值为________.【答案】【分析】先由正态分布对称性求出，进而利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.【详解】由正态分布的对称性可知：，解得：，因为，所以，由基本不等式得：，当且仅当，即时等号成立，所以不等式得最小值为故答案为：11．（2022·河北保定·二模）若展开式中各项的系数之和为96，则展开式中的系数为___________.【答案】25【分析】由题意可得，从而可求出，则展开式中的系数等于展开式中一次项系数的2倍加上的3次项系数【详解】由题意可知，得，则，展开式的通项公式为，所以展开式中的系数为.故答案为：2512．（2022·山东济宁·二模）从甲､乙､丙3名同学中选出2人担任正､副班长两个职位，共有n种方法，则的展开式中的常数项为___________.（用数字作答）【答案】【分析】先由题意求出，然后求出二项式展开式的通项公式，令的次数为零，求出的值，从而可求出展开式中的常数项【详解】因为从甲､乙､丙3名同学中选出2人担任正､副班长两个职位，共有n种方法，所以，所以二项式展开式的通项公式为，令，得，所以二项式展开式的常数项为，故答案为：13．（2022·福建·厦门一中模拟预测）已知为常数）的展开式中各项系数之和为1，则展开式中的系数为___．【答案】【分析】令得各项系数和，求得参数，然后由二项展开式通项公式结合多项式乘法法则求得含的项，从而得其系数．【详解】令，则展开式的各项系数和为，解得，所以的展开式的通项公式为，令，则，令，解得，所以展开式中含的项为，所以的系数