北师大版八年级下册数学各单元培优测试卷及答案

北师大版八年级下册数学各单元培优测试卷及答案【大容量+】

单元测试（一）

一、选择题

1.如图，在^ABC中/ACB=90°,CD是AB边上的高线，图中与NA互余的角有【]

A.0个B.1个

C.2个D.3个

2.如图，在AABC中，NC=90。，点E是AC上的点，且N1=/2,DE垂直平分AB,垂

直是D,如果EC=3cm,则AE等于【]

A.3cmB.4cm

C.6cmD.9cm

3.如图：^ABC中,zC=90°,AC=BC,AD平分/CAB交BC于D,DE±AB于E,且

AB=6cm,贝gDEB的周长是［c

A.6cmB.4cm

EB

C.10cmD.以上都不对

4.已知：如图，在RfABC中,zACB=90°/zA<zB,CM是斜边AB

上的中线，将5CM沿直线CM折叠，点A落在点Ai处，CAi与AB

交于点N,且AN=AC,贝!UA的度数是【】

A.30°B.36°

C.50°D.60°

5.如图，在SBC中，zC=60°,/B=50°,D是BC上一点，DE±AB于点E,DF±AC

于点F,则/EDF的度数为【

A.90°B.100°

C.110°D.120°

6.如图，一副分别含有30。和45。角的两个直角三角板，拼成如下图

形，其中/C=90。，/B=45°,NE=30。，贝J/BFD的度数是［

A.15°B.25°

B

C.30°D.10°

7.如图，将三角形AABC究着点C顺时针旋转35°z得到^ABC,AB交AC于点D,若

NA'DC=90°,则NA的度数是［

A.35°B.65°C.55°D.25°

8.在直角^ABC中，zC=30°,斜边AC的长为5cm,则AB的长为

A.4cmB.3cmC.2.5cmD.2cm

9.如果直角三角形中30。角所对的直角边是1cm,那么另一条直角边长是【

A.1cmB.2cmC.7&mD.3cm

10.（1分）（20XX春•九龙坡区校级期中）等腰三角形一腰上的高等于这腰的一半，则

这个等腰三角形的顶角等于【

A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°

11.如图，BE、CF分别是SBC的高，M为BC的中点，EF=5,BC=8,则△EFM的周长

是【】

A.21B.18C.13D.15

12.如图，AABC中，AD为aABC的角平分线，BE为^ABC的高,zC=70°,zABC=48°

那么N3是［

A.59°B.60°C.56°D.22°

13在RfABC中，zC=90°,AB=2,则AB2+BC2+CA2的值为[]

A.2B.4C.8D.16

14.如图，在三角形纸片ABC中，AC=6,zA=30°,zC=90°,将/A沿DE折叠，使点

A与点B重合,则折痕DE的长为【

A.1B.V2C.V3D.2

15.如图，在RfABC中，CD是斜边AB上的中线，则图中与CD相等的线段有【

A.AD与BDB.BD与BCC.AD与BCD.AD、BD与BC

16.如图,AABC中，AB=AC=10,BC=8,AD平分/BAC交BC于点D,点E为AC的

中点，连接DE,则MZDE的周长为【

A.20B.12C.14D.13

17.如图，在RfABC中，zC=90°,AB=5cm,D为AB的中点，贝I」CD等于【】

A.2cmB.2.5cmC.3crnD.4cm

二、填空题

18.如图MABC中，/C=90°,/ABC=60。，BD平分/ABC,若AD=6，贝!JCD=

19.如图,△ABC中，zC=90°,AC-BC=2V2,^ABC的面积为7,贝I」AB=

20.如图，在AABC中,zC=90°,zABC=60°,BD平分/ABC,若AD=6，则AC=

21.如图：MBC中，/ACB=90°,CD是高，NA=30。，BD=3cm，则AD=cm.

BDA

22.如图，-ABC是等腰直角三角形，AB=BC,已知点A的坐标为（・2,0）,点B

的坐标为（。，1），则点C的坐标为

23.如图,在^ABC中，NC=90°,NB=30°,AD平分/CAB，交BC于点D,若CD=1

则BD=

24.已知等腰MBC中ADJ.BC于点D且AD=EBC则SBC底角的度数为.

25.若直角三角形两直角边的比为3:4,斜边长为20,则此直角三角形的面积

为.

三、解答题

26.如图,在&ABC中，NB=2/C,且ADJLBC于D,求证:CD=AB+BD

BD

27.如图,已知在^ABC中,/ACB=90。，CD为高，且CD,CE三等分/ACB

(1)求NB的度数;

1

(2)求证：CE是AB边上的中线，且CE=？AB,

28.如图，ADllBC,BD平分/ABC,zA=120°/zC=60°,AB=CD=4cm,求:

(1)AD的长;

(2)四边形ABCD的周长.

29.已知锐角^ABC中，CD,BE分别是AB,AC边上的高，M是线段BC的中点连

接DM,EM.

(1)若DE=3,BC=8,求3ME的周长;

(2)若NA=60°,求证：zDME=60";

(3)若BC2=2DE2,求NA的度数.

答案与解析

1.如图，一副分别含有30。和45。角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中4=90°

ZB=45°,ZE=3O°,则NBFD的度数是［

A.15°B.25°C.30°D.10°

【考点】：三角形的外角性质.

【专题】选择题

【分析】先由三角形外角的性质求出NBDF的度数，根据三角形内角和定理即可得出

结论.

【解答】解：'.Rt^CDE中,zC=90°zzE=30°

.•.zBDF=zC+zE=90o+30°=120°

・"BDF中,zB=45°,zBDF=120°

/.zBFD=180o-450-120o=15°.

故选A.

【点评】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个

内角的和是解答此题的关键.

2.如图，将三角形SBC绕着点C顺时针旋转35°,得到SBC,AB交AC于点D,若

NA，DC=90。，则NA的度数是［]

A.35°B.65°C.55°D.25°

【考点】：旋转的性质.

【专题】选择题

【分析】根据旋转的性质，可得知/ACA'=35°,从而求得NA，的度数，又因为/A的对

应角是NA，，则NA度数可求.

【解答】解：「△ABC绕着点C时针旋转35。，得到SBC

/.zACA=35°,zA'DC=90°

/.zA=55°

••NA的对应角是NA',即NA二NA'

AZA=55°.

故选C.

【点评】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质，图形的旋转是图形上的每一点在

平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动.其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转

前后图形的大小和形状没有改变.解题的关键是正确确定对应角.

3.如图：^ABC中，zC=90°,AC=BC,AD平分/CAB交BC于D,DE±AB于E,且

c

/\D

AB=6cm,则ADEB的周长是【1AEB

A.6cmB.4cmC.lOcniD.1U_L都不对

【考点】：角平分线的性质；kW:等腰直角三角形.

【专题】选择题

【分析】由NC=90。，根据垂直定义得到DC与AC垂直，又AD平分NCAB交BC于

D,DE_LAB，利用角平分线定理得到DC二DE,再利用HL证明三角形ACD与三角形AED

全等，根据全等三角形的对应边相等可得AC=AE,又AC=BC,可得BC=AE,然后由三

角形BED的三边之和表示出三角形的周长，将其中的DE换为DC,由CD+DB=BC进行

变形，再将BC换为AE,由AE+EB=AB,可得出三角形BDE的周长等于AB的长，由AB

的长可得出周长.

【解答】解：,•・NC=90°,•・.DC_LAC

又AD平分/CAB交BC于D,DE±AB

「.CD二ED

在Rt^ACD和RbAED中

；DC=DE

,AD=AD

」.RfACD尔fAED(HL)

..AC=AE,又AC=BC

/.AC=AE=BC,又AB=6cm

「.△DEB的周长=DB+BE+ED=DB+CD+BE=BC+BE=AE+EB=AB=6cm.

故选A.

【点评】此题考查了角平分线定理，垂直的定义，直角三角形证明全等的方法HL利

用了转化及等量代换的思想，熟练掌握角平分线定理是解本题的关键.

4.已知：如图,在RfABC中，zACB=90°,zA<zB,CM是斜边AB上的中线，将也

ACM沿直线CM折叠，点A落在点Ai处，CAi与AB交于点N,且AN=AC,则NA的

A.30°B.36°C.50°D.60°

【考点】：翻折变换（折叠问题）.

【专题】选择题

【分析】首先证明NACN=/ANC=2NACM,然后证明NA=/ACM即可解决问题.

【解答】解：由题意知：

zACM=zNCM;

又「AN=AC

.-.zACN=zANC=2zACM;

•.CM是直角SBC的斜边AB上的中线

“M=AM

/.zA=zACM;

由三角形的内角和定理知：

zA+2zA+2zA=180°

/.zA=36°

故选：B.

A

R

【点评】该命题考查了翻折变换及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质找

出图形中隐含的等量关系；灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答.

5.如图，在MBC中zzC=60°,zB=50°,DBBC上一点，DE±AB于点E,DF±AC

于点F,则NEDF的度数为【]

A.90°B.100°C.110°D.120°

【考点】：直角三角形的性质.

【专题】选择题

【分析】由三角形内角和定理求得/A二70。；由垂直的定义得至IJ/AED=/AFD=90°;

然后根据四边形内角和是360度进行求解.

【解答】解：如图，•・在&ABC中,zC=60°,zB=50°

/.zA=70°.

vDE±AB于点E,DF±AC于点F

/.zAED=zAFD=90°

..zEDF=3600-zA-zAED-zAFD=110".

故选：C.

【点评】本题考查了直角三角形的性质.注意利用隐含在题中的已知条件：三角形内

角和是180。、四边形的内角和是360°.

6.如图，在SBC中/ACB=90。，CD是AB边上的高线，图中与NA互余的角有【】

人.0个8.1个C.2个D.3个

【考点】：直角三角形的性质.

【专题】选择题

【分析】由"直角三角形的两锐角互余〃，结合题目条件，找出与/A互余的角.

【解答】解：-.zACB=90o,CD是AB边上的高线

/.zA+zB=90°,NA+NACD=90°

.•与NA互余的角有2个

故选c.

【点评】此题考查了直角三角形的性质,直角三角形的两锐角互余.

7.如图，在aABC中,«=90°,点E是AC上的点，且,DE垂直平分AB,垂直

是D,如果EC=3cm，贝UAE等于［］月上------n~~小③

A.3cmB.4cmC.6cmD.9cm

【考点】：含30度角的直角三角形；KG:线段垂直平分线的性质.

【专题】选择题

【分析】求出AE二BE,推出NA=/1=N2=30°,求出DE=CE=3cm,根据含30度角

的直角三角形性质求出即可.

【解答】解：:DE垂直平分AB

.-.AE=BE

/.z2=zA

/zl=z2

..zA=zl=z2

•/zC=90°

/.zA=zl=z2=30°

/zl=z2,ED±AB,zC=90°,

/.CE=DE=3cm,

在RfADE中，/ADE=90。，zA=30°,

.*.AE=2DE=6cm,

故选C.

【点评】本题考查了垂直平分线性质，角平分线性质,等腰三角形性质，含30度角

的直角三角形性质的应用,关键是求出NA=30。和得出DE的长.

8.在直角SBC中,4=30。，斜边AC的长为5cm,则AB的长为【】

A.4cmB.3cmC.2.5cmD.2cm

【考点】：含30度角的直角三角形.

【专题】选择题

1_

【分析】由题意可得，/B是直角,AB=?AC,直接代入即可求得AB的长.

【解答】解：,「△ABC为直角三角形，zC=30°,

/.AB=^AC=2.5,

故选C.

【点评】此题考查的是直角三角形的性质,30。的直角边所对的直角边等于斜边的一半.

9.如果直角三角形中30。角所对的直角边是1cm,那么另一条直角边长是【】

A.lcmB.2cmC.V^cmD.3cm

【考点】：含30度角的直角三角形.

【专题】选择题

【分析】根据勾股定理和直角三角形中30。角所对的直角边是斜边的一半求另一条直

角边长.

【解答】解：•.直角三角形中30。角所对的直角边是1cm,

・••该直角三角形的斜边是2cm,

・•.另一条直角边长是：庐逢庆;

故选c.

【点评】本题考查了含30度角的直角三角形.在直角三角形中,30。角所对的直角边

是斜边的一半.

10.等腰三角形一腰上的高等于这腰的一半，则这个等腰三角形的顶角等于【】

A.30°B.60°C.30°或150°D.60。或120°

【考点】KO:含30度角的直角三角形；KH:等腰三角形的性质.

【专题】选择题

【分析】分为两种情况：①高BD在^ABC内时，根据含30度角的直角三角形性质求

出即可；②高CD在SBC外时，求出/DAC,根据平角的定义求出/BAC即可.

【解答】解：①如图,

1_

..BD是SBC的高，AB=AC,BD=2AB,

/.zA=30°,

②如图,

1

.「CD是^ABC边BA上的高，DC=?AC,

/.zDAC=30°,

/.zBAC=180°-30°=150°,

综上所述，这个等腰三角形的顶角等于30。或150。.

故选：C.

【点评】本题考查了等腰三角形性质和含30度角的直角三角形性质的应用，主要考

查学生能否求出符合条件的所有情况，注意：一定要分类讨论.

11.如图，BE、CF分别是SBC的高，M为BC的中点，EF=5,BC=8,贝gEFM的周长

A.21B.18C.13D.15

【考点】：直角三角形斜边上的中线.

【专题】选择题

【分析】根据"BE、CF分别是3BC的高,M为BC的中点"得到FM=EM二，BC,

所以△EFM的周长便不难求出.

【解答】解：-.BE,CF分别是SBC的高，M为BC的中点,

••在RfBCE中zEM=^BC=4,

1

在RfBCF中，FM=7BC=4,

「.△EFM的周长=EM+FM+EF=4+4+5=13,

故选C.

【点评】本题利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

12.如图,AABC中,AD为AABC的角平分线,BE为SBC的高，zC=70°,zABC=48°,

那么N3是【】K

A.59°B.60°C.56°D.22°

R

【考点】：三角形内角和定理.

【专题】选择题

【分析】根据高线的定义可得NAEC=90°,然后根据NC=70。，/ABC=48°求出/CAB

再根据角平分线的定义求出N1,然后利用三角形的内角和等于180。列式计算即可得解.

【解答】解:「BE为MBC的高，

/.zAEB=90°

vzC=70°,zABC=48°,

/.zCAB=62°,

•*AF是角平分线，

/.zl=?zCAB=31°,

在MEF中,zEFA=180°-31°-90°=59°.

/.z3=zEFA=59°,

故选：A.

【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，高线的定义，熟记概念

与定理并准确识图是解题的关键.

13.在Rt^ABC中,zC=90°,AB=2,贝UAB2+BC2+CA2的值为[]

A.2B.4C.8D.16

【考点】：勾股定理.

【专题】选择题

【分析】由三角形ABC为直角三角形，利用勾股定理得到斜边的平方等于两直角边的

平方和，根据斜边AB的长，可得出两直角边的平方和，然后将所求式子的后两项结合，

将各自的值代入即可求出值.

【解答】解：:△ABC为直角三角形，AB为斜边，

/.CA2+BC2=AB2,

又.AB=2,

/.CA2+BC2=AB2=4,

贝!]AB2+BC2+CA2=AB2+(BC2+CA2)=4+4=8,

故选C.

【点评】此题考查了勾股定理的知识，是一道基本题型，解题关键是熟练掌握勾股定

理，难度一般.

14.如图,在三角形纸片ABC中,AC=6,zA=30°,zC=90°,将NA沿DE折叠，使点

A与点B重合，贝I」折痕DE的长为【】

A.1B.V2C.V3D.2|\/

【考点】：翻折变换（折叠问题），勾股定理，解直角三角形.

【专题】选择题

【分析】利用翻折变换及勾股定理的性质.

【解答】解：."二30。，zC=90°

/.zCBD=60°.

•.将NA沿DE折叠，使点A与点B重合

/.zA=zDBE=zEBC=30°.

/zEBC=zDBE,zBCE=zBDE=90°,BE=BE,

/.△BCE^^BDE.

.*.CE=DE.

*/AC=6,zA=30°,

..BC=ACxidn300=2V3.

•/zCBE=30°.

/.CE=2.即DE=2,

故选D.

【点评】考查了学生运用翻折变换及勾股定理等来综合解直角三角形的能力.

15.如图，在RfABC中，CD是斜边AB上的中线，则图中与CD相等的线段有【】

B

CA

A.AD与BDB.BD与BCC.AD与BCD.AD、BD与BC

【考点】：直角三角形斜边上的中线.

【专题】选择题

【分析】由"直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半〃，得CD二9AB,又因为点

D是AB的中点，故得与CD相等的线段.

1

【解答】解：/CD=2AB，点D是AB的中点，

工

.*.AD=BD=2AB,

/.CD=AD=BD,

故选A.

【点评】本题利用了直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

16.如图，^ABC中，AB=AC=10,BC=8,AD平分/BAC交BC

于点D,点E为AC的中点，连接DE,则4DE的周长为【】

A.20B.12C.14D.13

【考点】：直角三角形斜边上的中线；KH:等腰三角形的性质.

【专题】选择题

【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得ADXBC,CD=BD,再根据直角三角形

斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=CE二彳AC,然后根据三角形的周长公式歹I」式计算即

可得解.

【解答】解：-/AB=AC,AD平分/BAC,BC=8,

1

/.AD±BCzCD=BD=?BC=4,

,•点E为AC的中点，

1

/.DE=CE=lAC=5,

.•.△CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14,

故选：C.

【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三

线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键.

17.如图，在RfABC中，/C=90°,AB=5cm,D为AB的中点，贝UCD等于[]

A.2cmB.2.5cmC.3cmD.4cm

【考点】：直角三角形斜边上的中线.

【专题】选择题

【分析】本题涉及的知识点是"直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半〃，所以有

CD=2AB,故可直接求得结果.

【解答】解：■.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

1_

「•CD=2AB=2.5cm.

故选B.

【点评】此题主要是考查了直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的

一半.

18.如图-ABC中，/C=90。，/ABC=60。，BD平分NABC,若AD=6，贝！JCD=,

【考点】KO:含30度角的直角三角形.

【专题】填空题

【分析】由于/C=90。，NABC=60。，可以得到/A=30。，又由BD平分/ABC,可以

推出/CBD二NABD=NA=30°,」.BD=AD=6,再由30°角所对的直角边等于斜边的一半即

可求出结果.

【解答】解：,NABC=60°,

/.zA=30°,

・「BD平分/ABC,

..zCBD=zABD=zA=30°,

/.BD=AD=6,

「.CD=2BD=6x2=3.

A

故答案为：3.\

【点评】本题利用了直角三角形的性质和角的平分线的性质求解.'------\

19.如图，^ABC中，zC=90°,AC-BC=2V2,SBC的面积为7,则AB=

【考点】KQ:勾股定理.

【专题】填空题

【分析】先根据AC-BC=2后得出(AC-BC)2=8,再根据SBC的面积等于7得出

AC-BC的值，进而可得出结论.

【解答】解：•「AC・BC=2加，

.•.(AC・BC)2二8①

•&ABC=5AC・BC=7,

.•.AC・BC=14②,

把②代入①得，

AC2+BC2=36,

,-.AB=V36=6.

故答案为：6.

【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平

方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键.

20.如图，在&ABC中,/C=90°/ABC=60°,BD平分/ABC,若AD=6，则AC=.

【考点】KO:含30度角的直角三角形.

【专题】填空题

【分析】根据三角形内角和定理和角平分线定义求出NA=/ABD=NCBD=30。，求出

AD=BD=6,CD=^BD=3,即可求出答案.

【角罕答】解：•.在^ABC中，zC=90°,zABC=60°,BD平分/ABC,

1

zA=90°-60°=30°,zCBD=zABD=IzABC=30°,

/.zA=zABD,

.-.AD=BD=,

\AD=6,

.*.BD=6,

1

」.CD=2BD=3,

.".AC=6+3=9,

故答案为：9.

【点评】本题考直了三角形内角和定理,含30度角的直角三角形的性质,等腰三角

形的判定的应用，解此题的关键是求出AD=BD和CD=yBD,题目比较好，难度适中.

21.如图：“BC中，/ACB=90°,CD是高，/A二30°,BD=3cm，则AD=cm.

BDA

【考点】KO:含30度角的直角三角形.

【专题】填空题

【分析】根据同角的余角相等求出/BCD=/A=30。，再根据30。角所对的直角边等于

斜边的一半求出BC、AB的长，然后根据AD=AB-BD计算即可得解.

【解答】解：*.zACB=90°,CD±AB,

/.zBCD+zACD=90°,NA+NACD=90°,

/.zBCD=zA=30°,

,.BD=3cm,

/.BC=2BD=6cm,AB=2BC=12cm,

「•AD=AB-BD=9cm.

故答案是：9.

【点评】本题主要考直了直角三角形30。角所对的直角边等于斜边的一半的性质,同

角的余角相等的性质，熟记性质是解题的关键.

22.如图,MBC是等腰直角三角形，AB=BC,已知点A的坐标为（・2,0）,点B

的坐标为（0,1），则点C的坐标为—.

【考点】kW:等腰直角三角形；D5:坐标与图形性质；KD:全等三角形的判定与性

质.

【专题】填空题

【分析】先根据AAS判定△ACD2BAO，得出CD=AO,AD=BO,再根据点A的坐

标为（・2,0），点B的坐标为（0,1），求得CD和OD的长，得出点C的坐标.

【解答】解：过C作CD±x轴于D,贝!UCDA二/AOB=90°,

•「△ABC是等腰直角三角形，

/.zCAB=90°,

又.•NAOB=90°,

..zCAD+zBAO=90°rzABO+zBAO=90",

/.zCAD=zABO,

在MCD和^BAO中，

'ZCDA=ZA0B

<ZCAD=ZAB0

AC=BA,

.-.AACD^^BAO（AAS）,

「•CD=AO,AD=BO,

又••点A的坐标为（-2,0），点B的坐标为（0,1）,

/.CD=AO=2,AD=BO=1,

/.DO=3,

又••・点C在第三象限，

.,点C的坐标为（-3,2）.

故答案为：（・3,2）

【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解决问

题的关键是根据全等三角形的性质，求得点C到坐标轴的距离.

23.如图，在"XBC中/C=90。，/B=30。，AD平分/CAB，交BC于点D,若CD=1,

则BD=

【考点】K0:含30度角的直角三角形；KF:角平分线的性质.

【专题】填空题

【分析】根据角平分线性质求出/BAD的度数，根据含30度角的直角三角形性质求

出AD即可得BD.

【解答】解：•••/（：=90°,/B=30°,

/.zCAB=60°,

AD平分/CAB,

..zBAD=30",

/.BD=AD=2CD=2,

故答案为2.

【点评】本题考查了对含30度角的直角三角形的性质和角平分线性质的应用，求出

AD的长是解此题的关键.

24.已知等腰MBC中AD_LBC于点D且AD"BC,则"ABC底角的度数为.

【考点】K。：含30度角的直角三角形；KH:等腰三角形的性质.

【专题】填空题

【分析】分四种情况：①当AB=AC时，根据AD=2BC,可得出底角为45度；②当

AB=BC时,根据AD=2BC,可得出底角为15度.③当AC=BC时，底角等于75④点A

是底角顶点，且AD在^ABC外部时.

【解答】解：分四种情况进行讨论：

①当AB=AC时,•.ADJLBC,「.BD=CD,

•/AD=^BC,

..AD=BD=CD,

・,底角为45度；

②当AB二BC时，

•/AD=2BC,

」.AD=2AB,

/.zABD=30°,

/.zBAC=zBCA=75°r

・・底角为75度.

③当AC二BC时，

2

•/AD=^BC,AC=BCZ

/.AD=^AC,

/.zC=30°,

1_

.-.zBAC=zABC=I(180°-30°)=75°;

④点A是底角顶点,且AD在^ABC外部时,

1

•.AD=2BC,AC=BC,

1

二•AD二2AC,

/.zACD=30°,

1

.*.zBAC=zABC=Ix30°=15°z

故答案为15。或45。或75。.

【点评】本题考查了含30度角的直角三角形以及等腰三角形的性质，注意分类讨论

思想的运用.

25.若直角三角形两直角边的比为3:4,斜边长为20,则此直角三角形的面积

为.

【考点】KQ:勾股定理.

【专题】填空题

【分析】先根据比值设出直角三角形的两直角边，用勾股定理求出未知数x,即两条

直角边,用面积公式计算即可.

【解答】解：设直角三角形的两直角边分别为3x,4x(x>0),

根据勾股定理得，(3x)2+(4x)2=202,

.・.x=4或x=・4(舍)，

.*.3x=12,4x=16

.••直角三角形的两直隹边分别为12,16,

.•.直角三角形的面积为5x12x16:96,

故答案为96.

【点评】此题是勾股定理的应用，主要考查了勾股定理，三角形的面积计算方法，解

本题的关键是用勾股定理求出直角边.

26.如图，在^ABC中，zB=2zCz且AD_LBC于D,求证:CD=AB+BD,

BD

【考点】KJ:等腰三角形的判定与性质.

【专题】解答题

【分析】在DC上取DE=BD，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相

等的性质可得AB二AE,根据等边对等角的性质可得/B=/AEB,然后根据三角形的一个外

角等于与它不相邻的两个为角的和列式求出NC=NCAE,再根据等角对等边的性质求出

AE=CE,然后即可得证.

【解答】证明：如图，在DC上取DE=BD,

\AD±BC,

二•AB=AE,

/.zB=zAEB,

在MCE中，zAEB=zC+zCAE,

又•.NB=2NC,

/.2zC=zC+zCAE,

.•・NC=/CAE,

/.AE=CEf

..CD=CE+DE=AB+BD,

【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出等腰三角

形是解题的关键.

27.如图,已知在&ABC中，/ACB=90。，CD为高，且CD,CE三等分/ACB,

(1)求/B的度数；

(2)求证：CE是AB边上的中线，且CE=？AB,

c

【考点】KP:直角三角形斜边上的中线；KJ:等腰三角形的判定与性质.

【专题】解答题

【分析】Q)利用直角'BCD的两个锐角互余的性质进行解答；

⑵利用已知条件和（1）中的结论可以得到AACE是等边三角形和△BCE为等腰三角

形，利用等腰三角形的性质证得结论.

【解答】Q)解：•.在SBC中,zACB=90°zCD,CE三等分NACB,

/.zACD=zDCE=zBCE=30°z则/BCD=60°,

又「CD为高，

/.zB=90°-60°=30°

30°;

1

(2)证明:由⑴知，zB=zBCE=30°,则CE=BE,AC=lAB,

\zACB=90o,zB=30°,

/.zA=60°,

又•.由⑴知,zACD=zDCE=30°,

/.zACE=zA=60°,

."ACE是等边三角形,

2

.1.AC=AE=EC=^AB,

・•.AE=BE,即点E是AB的中点.

・•.CE是AB边上的中线,且CE=2AB,

【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线.本题解题

过程中利用了"等角对等边"以及等边三角形的判定与性质证得(2)的结论的.

28.如图,ADllBC,BD平分/ABC,zA=120°rzC=60°,AB=CD二4cm,求:

(1)AD的长；

(2)四边形ABCD的周长.

【考点】JA:平行线的性质.

【专题】解答题

【分析】Q)根据ADIIBC,可得/ADB=NCBD;根据BD平分/ABC,可得NABD二

zDBC,于是得至!UABD=NADB,所以可证AB=AD;

(2)证出ABCD是直角三角形，利用30c的角所对的直角边是斜边的一半，即可求出

BC的长.

【解答】Q)解：••.ADIIBC,

/.zADB=zDBC,

•/BD平分/ABC

/.zABD=zDBC,

/.zABD=zADB,

.-.AD=AB=4cm;

(2)解:vADllBC,zA=120°,zC=60°,

/.zADC=120°,zABC=60°fzADB=zDBC;

•.BD平分/ABC,「./ABD二/ADB=30。，zBDC=90°;

「.AB=AD,BC=2CD;又AB=CD=4cm,

/.AD=4,BC=8,

.-.AB+BC+CD+AD=4+8+4+4=20(cm),

.・四边形ABCD的周长为20crn.

【点评】本题考查了等腰梯形的性质的运用，角平分线的性质的运用，等腰三角形的

性质的运用，勾股定理的运用及等腰梯形的周长.在解答中掌握等腰梯形的周长的算法是

关键.

29.已知说角AABC中，CD,BE分别是AB,AC边上的高，M是线段BC的中点，

连接DM,EM.

(1)若DE=3,BC=8,求&DME的周长;

(2)若NA=60°,求证:zDME=60°;

(3)若BC2=2DE2,求NA的度数.

【考点】KP:直角三角形斜边上的中线；KJ:等腰三角形的判定与性质.

【专题】解答题

【分析】Q)根据直角三角形斜边上中线性质求出DM=^BC=4,EM=TBC=4,即可

求出答案；

(2)根据三角形内角和定理求出NABC+/ACB=120°,根据直角三角形斜边上中线性

质求出DM=BM,EM=CM,推出/ABC=NBDM,zACB=zCEM，根据三角形内角和定

理求出即可；

(3)求出EM=V2EN,解直角三角形求出NEMD度数，根据三角形的内角和定理求出

即可.

【解答】解：(1)「CD,BE分别是AB,AC边上的高，

/.zBDC=zBEC=90°,

..M是舜殳BC的中点，BC=8,

.*.DM=^BC=4,EM=lBC=4,

.•.△DME的周长是DE+EM+DM=3+4+4=ll;

(2)证明:/zA=60o,

/.zABC+zACB=120°,

vzBDC=zBEC=90°.M是线段BC的中点，

「•DM=BM,EM=CM,

..zABC=zBDM,zACB=zCEM,

/.zEMC+zDMB=zABC+zACB=120°,

/.zDME=180°-120°=60°;

(3)解：过M作MNJLDE于N,

•.DM=EM,

.-.EN=DN=^DEZZENM=90°,

1_1

•.EM=DM=^BC,DN=EN=lDE,BC2=2DE2,

/.(2EM)2=2(2EN)2,

.-.EM=V2EN,

EN返

/.sinzEMN=EM=2,

••.NEMN=45°,

同理/DMN=45。，

/.zDME=90°.

..zDMB+zEMC=180°-90°=90°z

•/zABC=zBDM,zACB=zCEM,

j.

.*.zABC+zACB=2(180°-zDMB+1800-zEMC)=135°,

/.zBAC=180°-(zABC+zACB)=45°.

【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，解直角三角形

的性质，直角三角形斜边上中线性质的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，

本题综合性比较强，有一定的难度，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

单元测试（二）

一、选择题

1.不等式-2x<4的解集是［】A.x>2B.x<2C.x<-2D.x>-2

2.下列不等式一定成立的是【】A.5a>4aB.x+2<x+3C.-a>-2a

D.aa

3.不等式-3x+6>0白勺正整数解有［】庆.1个8.2个C.3个D.无数

多个

4.在数轴上表示不等式x>-2的解集，正确的是［】A.方上方F

B.'o1”

C.-2%-1~~0^D.-4->-1~~0>

5.如图，当y<0时，自变量x的范围是

A.x<-2B.x>-2C.x<2D.x>2

6.要使代数式G有意义，则x的取值范围是【】A.XN2B.x>-2C.x

<-2D.x<2

\-l>2

7.不等式组k<4的解集是［】A.x<3B.3<x<4C.x<4D.无解

11

8.若a>b>0,则下歹I」结论正确的是［】A.-a>-bB.a>7C.a3<0

D.a2>b2

\<-2

9.下列图形中，能表示不等式组ix<i解集的是【】A.

〃//I」「

-2-10123

B.

〃〃1/〃〃「

-2-10123

『口」〃W・

10.观察函数yi和y2的图像，当x=l,两个函数值的大小为【】

A.yi>y2B.yi<y2c.yi=y2D.yi>y2

\<5

11.如果不等式组ix>n有解，那么m的取值范围是【】A.m>5B.m>

5C.m<5D.m<8

12.不等式组3x-448的最小整数解为【】A.-1B.OC.1D.4

二、填空题

13.已知三角形的两边为3和4,则第三边a的取值范围是.

\<3

14.不等式组的解集是.

15.不等式组-1<x<4的整数解有一个.

16.若a>c,贝！J当m时，am<cm;当m时，am=cm.

17.小于88的两位正整数，它的个位数字比十位数字大4,这样的两位数有一个.

18.不等式组•1<x-5<11的解集是.

19.若不等式组1x>有解，则a的取值范围是.

20.一次函数y=-3x+12中x时，y<0.

21.不等式x-8>3x-5的最大整数解是—.

22.直线11:y=x+l与直线12:y=mx+n相交于点P(a,2),贝I」关于x的不等式

x+lNmx+n的解集为

y

A

三、解答题

23.解不等式，并把解集在数轴上表示出来:

⑴5x-6&2(x+3);

2x-l5x-l

⑵-~T<0.

24.解不等式组：

f5x-6<2(x+3)

/3+x<2(x-2)+7

(2)(5X-1<3(X+1).

2x-m>n-l

25.已知不等式组ix媪n<4的解集为-l<x<l,5iy(m+n)2的的值等于多少？

2x+y=k

26.是否存在整数k,使方程组ix少1的解中，x大于1,y不大于1,若存在，求出

k的值，若不存在，说明理由.

27.小颖准备用21元钱买笔和笔记本.已知每支笔3元，每个笔记本2.2元，她买

了2个笔记本.请你帮她算一算，她还可能买几支笔？

28.每年3月12日是植树节，某学校植树小组若干人植树，植树若干棵.若每人植

4棵,则余20棵没人植，若每人植8棵,则有一人比其他人植的少(但有树植)，问这个

植树小组有多少人？共有多少棵树？

29.甲、乙原有存款800元和1800元，从本月开始，甲每月存400元，乙每月存

200元.如果设两人存款时间为x月.甲存款额是八元,乙存款额是y2元.

(1)试写出yi与x及y2与x之间的函数关系式；

(2)到第几个月时，甲存款额能超过乙存款额？

30.在东营市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过

市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白

板需要2.5万元.

(1)求每