广东省广州市天河区2025届高三上学期模拟数学试卷

数学本卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1.答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名、班级、座位号和考生号填写在答题卡相应的位置上，再用2B铅笔把考号的对应数字涂黑．2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上．3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4.考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若全集，集合，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据补集的定义可得，再由并集的定义求解即可.【详解】解：因为，，所以，所以.故选：A.2.已知数据，且满足，若去掉，后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，有可能变大的是（）A.平均数 B.中位数 C.极差 D.方差【答案】A【解析】【分析】根据极差，中位数以及方差的定义即可排除BCD，举反例即可求解A.【详解】由于，所以原来的极差为，新数据的极差为，故极差变小，原来和新数据的中位数均为，故中位数不变，去掉，后，数据波动性变小，故方差变小，因此可能变大的是平均数，比如，原数据的平均数为6.6，去掉1和12后，新数据的平均数为，但，故A正确.故选：A3.若，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由指数函数，对数函数的单调性分别求解不等式，再由充分条件以及必要条件的定义，即可判断.【详解】因为在上单调递增，由可得，即，所以，但无法保证，故不一定成立，充分性不满足；由可得，所以一定成立，故必要性满足；所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B4.已知为第一象限角，为第四象限角，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据正切的差角公式可得，即可结合角的范围，根据同角关系求解.【详解】因为，，所以，故，又是第一象限角，为第四象限角，故，因此，因此，由于，则，故.故选：C.5.大西洋鲑鱼每年都要逆游而上游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数.若一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数为，游速为时耗氧量的单位数为，则（）A.3 B.6 C.9 D.12【答案】C【解析】【分析】利用对数的运算法则计算即可.【详解】根据题意可得，，两式相减得，所以，所以，所以.故选：C.6.数列中，，，若是数列的前项积，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得，然后求得的表达式，再根据二次函数的性质求得正确答案.【详解】依题意，，，所以，所以，所以，函数的开口向下，对称轴为，所以当或时，取得最大值为.故选：D7.在平面直角坐标系中，以轴非负半轴为始边作角和角，，它们的终边分别与单位圆交于点，，设线段的中点的纵坐标为，若，则角的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，由点的坐标可得，结合恒等变换公式化简，然后求解三角函数不等式，即可得到结果.【详解】由题意可得，，则，由可得，即，解得，即，又，则时，.故选：B8.已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（）A.(1,+∞) B. C. D.【答案】C【解析】【分析】通过对进行分类讨论，利用导数来判断函数的单调性，再利用函数零点的存在性定理，判断出函数在定义域上的零点，进而得出结果．【详解】因为，所以当时，由，解得或，且有，，当，f'x>0，在区间上单调递增；当，f'x<0，在区间上单调递减；当x∈0,+∞，f'x又因为，，,所以，存在一个负数零点，所以符合题意；当时，令，解得或，且有，当，f'x<0，在区间上单调递减；当，f'x>0，在区间上单调递增；当，f'x<0，在区间上单调递减；又因为，,所以存在一个负数零点，要使存在唯一的零点，则满足，解得，又因为，所以，综上，的取值范围是或．故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的部分分，有选错的得0分.9.以下说法正确的是（）A.两个变量的样本相关系数越大，它们的线性相关程度越强B.残差点分布在以横轴为对称轴的水平带状区域内，该区域越窄，拟合效果越好C.根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，则依据的独立性检验，可以认为“与没有关联”D.若随机变量，，则【答案】BD【解析】【分析】根据题意，结合相关系数的概念，以及独立性检验的概念和正态分布的概率公式，逐项判断即可求解.【详解】对于A，根据相关系数的定义，当时，表明两个变量正相关；当时，表明两个变量负相关，其中，且当越接近1时，相关程度越大；当越接近0时，相关程度越小，故A错误.对于B，残差点分布越窄，说明大部分预测值与实际值的偏离越小，拟合效果较好，故B正确.对于C，独立性检验的判断标准是，若计算得出的值大于临界值，则拒绝独立性假设，说明变量与存在关联。因此，，意味着拒绝“与没有关联”的零假设，故C错误.对于D，对于，则，所以，对于，则，所以，又，所以，故D正确故选：BD.10.设函数，已知在区间有且仅有个对称中心，则（）A.在区间有且仅有2个极大值点 B.在区间有且仅有3个极小值点C.在区间单调递减 D.的取值范围是【答案】AC【解析】【分析】根据在区间上对称中心的个数求得的取值范围，根据极大值、极小值、单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】由，得，由于在区间有且仅有5个对称中心，所以，解得，所以D选项错误.由上述分析可知，所以对于A选项，由或，即或时，取得极大值，所以A选项正确.对于B选项，当时，，由或，即或时，取得极小值，即只有个极小值，所以B选项错误.对于D选项，由上述分析可知，所以当时，，所以在区间单调递减，C选项正确.故选：AC11.已知函数定义域为，集合，在使得的所有中，下列成立的是（）A.存在，当时有 B.存在是增函数C.存在是奇函数 D.存在，使恒大于0【答案】ACD【解析】【分析】构造函数可判断AD；根据增函数定义即集合的含义可判断B；构造函数可判断C.【详解】对A，构造函数，图象如图所示：此时，显然存在时，，A正确；对D，由A中函数可知，存在，使恒大于0，D正确；对B，若是增函数，则对任意，都有时，则，所以B错误；对C，构造函数，图象如下图：易知，是奇函数，且，故C正确.故选：ACD【点睛】关键点睛：本题关键在于理解集合的含义，根据选项构造相应函数.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，若曲线y=f(x)在x=1处的切线的斜率为，则实数【答案】【解析】【分析】求导，即可根据切线斜率求解.【详解】由可得，由于曲线y=f(x)故，解得，故答案为：13.若的展开式中，项的系数为-8，则的最大值为____.【答案】##0.125【解析】【分析】根据二项式展开式的特征，可得项的系数为为，即可根据求解.【详解】,又，故，可由分别提供得到，或者提供得到，或者提供得到，故项的系数为为，故，即，要使最大，则需为正数，因此，故，当且仅当时取等号，故答案为：14.袋子里有四张卡片，分别标有数字1，2，3，4，从袋子中有放回地依次随机抽取四张卡片并记下卡片上数字，则有两张卡片数字之和为5概率是______.【答案】【解析】【分析】根据分类加法计数原理，将两张卡片数字之和不为5的分为5种情况有：即可根据组合数求解,结合对立事件的概率公式即可求解.【详解】根据题意可知：有放回地依次随机抽取四张卡片可得所有情况有种，任意两张卡片数字之和不为5的情况有：①1111，2222，3333，4444，都各有1种，②1112，1122，1222，有种，③1113，1133，1333，有种，④2224，2244，2444有种，⑤3334，3344，3444有种，故总的情况有，故有两张卡片数字之和为5的概率是，故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列的前项和公式为，数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的通项公式.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据的关系即可求解，（2）根据，利用累加法，结合错位相减即可化简求解.小问1详解】由可得时，，故，当时，也符合要求，故，【小问2详解】由可得，故时，，则，相减可得，故，化简可得，故，当时，也符合要求，故16.三角形中，内角，，对应边分别为，，，面积.（1）求的大小；（2）如图，若为外一点，在四边形中，边长，，，求CD的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据面积公式以及余弦定理可得，即可求解，（2）根据正弦定理可得，即可根据二倍角公式化简得，利用余弦函数的性质即可求解.【小问1详解】因为，即，所以，所以，因为，所以．【小问2详解】在和中，由正弦定理可得，设，，则，故两式相除可得，即,因此，故当时，即时，此时取最大值1，故取最小值.17.已知函数.（1）若，求证：当x>0时，；（2）若x=0是的极大值点，求的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）令，再求导可得，即可得到在上恒成立，即可证明；（2）分类讨论可得单调性，分、、、四种情况讨论，判断的单调性，即可确定极值点，从而得解；【小问1详解】若，则，令，则，当时，，即在上恒成立，所以在上单调递增，即在上单调递增，所以，即在上单调递增，所以.【小问2详解】由题知，令，则，当时，在区间单调递增，当时，令，解得，当时，，当时，，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，则当时，，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增；所以是函数的极小值点，不符合题意；当时，，且，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增；所以是函数的极小值点，不符合题意；当时，，则当时，在上单调递增，所以无极值点，不合题意；当时，，且；当时，在上单调递增；当时，在上单调递减；所以是函数的极大值点，符合题意；综上所述，的取值范围是.18.小张参加某项专业能力考试.该考试有，，三类问题，考生可以自行决定三类问题的答题次序，回答问题时按答题次序从某一类问题中随机抽取一个问题回答，若回答正确则考试通过，若回答错误则继续从下一类问题中再随机抽取一个问题回答，依此规则，直到三类问题全部答完，仍没有答对，则考试不通过.已知小张能正确回答，，三类问题的概率分别为，，，且每个问题的回答结果相互独立.（1）若小张按照在先，次之，最后的顺序回答问题，记为小张的累计答题数目，求的分布列；（2）小张考试通过的概率会不会受答题次序的影响，请作出判断并说明理由；（3）设，为使累计答题数目的均值最小，小张应如何安排答题次序？并说明理由.【答案】（1）答案见解析（2）会，理由见解析（3）应按的顺序答题，理由见解析【解析】【分析】（1）根据相互独立事件概率计算公式求得分布列.（2）计算按的顺序、的顺序答题时，累计答题数目的均值，从而作出判断.（3）计算按的顺序、的顺序、的顺序、的顺序答题时，累计答题数目的均值，从而作出判断.【小问1详解】按的顺序答题，的可能取值为，则,，，所以的分布列为：【小问2详解】小张考试通过的概率会受答题次序的影响，理由如下：若按的顺序答题，设为此时小张的累计答题数目，由（1）得.若按的顺序答题，设为此时小张的累计答题数目，则，所以.，由于的值不一定为，所以不一定相等，所以小张考试通过的概率会受答题次序的影响.【小问3详解】应按的顺序答题，理由如下：设，，.根据（2）可知.若按的顺序答题，设为此时小张的累计答题数目，同理可得.若按的顺序答题，设为此时小张的累计答题数目，同理可得.，若按的顺序答题，设为此时小张的累计答题数目，同理可得.若按的顺序答题，设为此时小张的累计答题数目，同理可得..所以累计答题数目的均值最小的，是、、中最小的一个，，，所以，，，所以，所以最小的是，所以应按的顺序答题.【点睛】方法点睛：本题涉及相互独立事件和期望值的计算，考查考生对独立事件概率分布及期望最小化策略的理解与应用．题目包含了分布列的计算、不同答题顺序对结果的影响，以及最优答题顺序的选择，整体具有一定的综合性和策略性．解答过程中使用了差比较法来进行比较，使得结论更具说服力．19.如果函数y=f(x)，满足：对于任意，，均有（为正整数）成立，则称函数y=f(x)在上具有“级（1）判断在区间上是否具有“1级”性质，并说明理由；（2）若在区间上具有“1级”性质，求的取值范围；（3）已知函数在定义域上具有“级”性质，求证：对任意，，当时，都有成立.【答案】（1）具有“1级”性质，利用见解析（2）（3）证