湖北省部分重点高中2024-2025学年高三上学期12月联考试题数学试题含答案

高三数学考试注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：高考全部内容（除解析几何外）．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）．A． B． C． D．2．已知复数，为z的共轭复数，则的虚部为（）．A． B． C． D．3．已知平面向量，，且，则（）．A．5 B． C． D．4．黄州青云塔矗立在黄冈市宝塔公园的钵孟峰上，又名文峰塔，因高入青云而得名．该塔塔身由青灰色石块砌成，共七层，假设该塔底层（第一层）的底面面积为16平方米，且每往上一层，底面面积都减少1平方米，则该塔顶层（第七层）的底面面积为（）．A．8平方米 B．9平方米 C．10平方米 D．11平方米5．已知为锐角，，则（）．A． B． C． D．或6．已知，是函数图象上不同的两点，则（）．A． B．C． D．7．在四棱锥中，底面为正方形，，，，则四棱锥的体积为（）．A． B． C． D．168．已知函数在上只有一个零点，则正实数m的取值范围为（）．A． B．C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．数据，，，，的平均数、中位数都是，则（）．A．数据，，，，与数据，，，的平均数相等B．数据，，，，与数据，，，的方差相等C．数据，，，，与数据，，，的极差相等D．数据，，，，与数据，，，的中位数相等10．已知函数的定义域为R，，且当时，，则（）．A． B．C． D．没有极值11．已知函数，则下列结论正确的是（）．A．是偶函数B．的最小正周期是C．的图象关于直线对称D．若，，，则a的取值范围是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知函数的图象在点处的切线过点，则__________．13．某员工在开办公室里四位数的数字密码门时，发现按键“3”“6”“9”上有清晰的指纹印，若该密码确实由数字“3”“6”“9”组成，则该密码有__________种可能．（用数字作答）14．如图，平行六面体的底面是菱形，，，，若非零向量，满足，，则的最小值为__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，．（1）求A；（2）若的外接圆面积为，角B的平分线交于D，求的面积，及与的面积之比．16．（15分）已知函数．（1）若在上单调递增，求a的取值范围；（2）若恒成立，求a的取值范围．17．（15分）如图，在三棱柱中，，，，．（1）证明：平面平面．（2）求二面角的正弦值．18．（17分）设数列的前n项和为，若，且对任意的，均有（k是常数且）成立，则称为“Ⅱ（k）数列”．（1）设为“Ⅱ（1）数列”．①求的通项公式；②若，数列的前n项和为，证明：．（2）是否存在既是“Ⅱ（k）数列”，又是“Ⅱ数列”？若存在，求出符合条件的的通项公式及对应的k的值；若不存在，请说明理由．19．（17分）甲、乙两人玩一个纸牌游戏，先准备好写有数字1，2，…，N的纸牌各一张，由甲先随机抽取一张纸牌，记纸牌上的数字为a，随后将纸牌放回（后面每次抽牌记录数字后都需将纸牌放回），接下来甲有2种选择：①再抽取一次纸牌，记纸牌上的数字为b，若，则乙贏，游戏结束，否则，甲结束抽牌，换由乙抽牌一次；②直接结束抽牌，记，换由乙抽牌一次．记乙抽到的纸牌上的数字为c，若，则乙赢，否则甲赢．游戏结束．（1）若甲只抽牌1次，求甲赢的概率；（2）若甲抽牌2次，求甲赢的概率；（3）当甲抽取的第一张纸牌上的数字满足什么条件时，甲选择②贏得游戏的概率更大？（结果用含N的式子表示）参考公式：若数列的通项公式为，则的前n项和．

高三数学考试参考答案1．C由，得，即，所以．2．A，．3．B．因为，所以，解得．4．C由题意可得该塔第一层至第七层的底面面积依次成等差数列，且首项为16，公差为，故该塔顶层的底面面积为平方米．5．C，解得．因为为锐角，所以，，．．6．A由题意不妨设，因为是增函数，所以，即．，则，即，A正确，B错误．取，，则，，，C错误．取，，则，，，D错误．7．C过点P作底面，垂足为O，设E，F分别为，的中点，连接，，则点O在上．设，因为，，所以．，，．在中，，所以，解得，所以．故四棱锥的体积为．8．D分别作出函数与函数的大致图象．分两种情形：当时，，如图1，图1 图2当时，与的图象有一个交点，符合题意；当时，，如图2，当时，要使得与的图象只有一个交点，只需，即，解得（舍去）．综上，正实数m的取值范围为．9．AC设数据，，，，的平均数为，则，数据，，，的平均数为，A正确．数据，，，，的方差，数据，，，的方差，所以数据，，，，与数据，，，的方差不一定相等，B错误．数据，，，，与数据，，，的极差相等，C正确．数据，，，，与数据，，，的中位数不一定相等，如数据2，2，5，7，9的平均数、中位数都是5，但数据2，2，7，9的中位数不是5，D错误．10．ABD令，得，A正确．令，得，所以，，据此类推可得，所以，B正确．也满足题意，C错误．令，，，则．当时，．因为当时，，所以，即，，所以是增函数，没有极值，D正确．11．BCD因为，所以是奇函数，A错误．当时，；当时，．又因为，所以的最小正周期是，B正确．，所以的图象关于直线对称，C正确．当时，，，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减．，．结合对称性，得到的部分图象如图所示．当时，．由题意可得，当时，，．，，结合的图象可得，，解得，则a的取值范围是，D正确．12．5，，．的图象在点处的切线方程为．因为该切线过点，所以，解得．13．36．14．设，则．因为，所以在上的投影向量，则投影向量的模长，过点作平面，使得平面（图略），则点N在平面内．设，则等价于，即，则，所以点M在以为直径的球面上．又，，，所以以为直径的球的半径．设的中点为E，则在上的投影向量为，所以球心E到平面的距离．因为，所以平面在球E的外部．的最小值表示球E上的点M到平面内的点N的距离的最小值，显然．15．解：（1）在中，，．因为，，所以，即，．（2分）因为，所以，（3分）即，（5分）所以，．（2）因为的外接圆面积为，所以的外接圆半径为3．（7分）因为，所以，．（9分）．（11分），所以与的面积之比为．（3分）16．解：（1）．（1分）因为在上单调递增，所以当时，．（3分）因为是增函数，所以，解得．故a的取值范围为．（5分）（2），即．（7分）令，．（9分）由，得，由，得，所以在上单调递减，在上单调递增．（11分）．（13分）因为恒成立，所以．故a的取值范围为．（15分）17．（1）证明：取的中点O，连接，，．四边形为平行四边形，又因为，，所以为等边三角形，所以，．（1分）在中，，．因为，所以．（3分）因为，所以平面．（4分）因为平面，所以平面平面．（5分）（2）解：以O为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，，，，．（7分），，．（8分）设平面的法向量为，平面的法向量为．，即，令，得．（10分），即，令，得．（12分），则，（14分）故二面角的正弦值为．（15分）18．（1）①解：因为为“Ⅱ（1）数列”，所以．因为，所以．当时，，得．（1分）当时，，则，即，（3分）经检验，当时，满足，所以对任意的恒成立，是首项为2，公比为的等比数列，所以．（5分）②证明：．，（6分），两式相减得，（7分）所以．（8分）当n为偶数时，．当n为奇数时，．故．（10分）（2）解：假设存在这样的数列，由是“Ⅱ（k）数列”可得．由是“Ⅱ数列”可得，（11分）所以，，即，所以．（13分）由，令，得，令，得．因为，所以，解得，所以为2，，2，，2，，…，的通项公式为．（15分）当n为偶数时，，解得，k为奇数．当n为奇数时，，解得，k为奇数．（16分）综上，存在既是“Ⅱ（k）数列”，又是“Ⅱ数列”，此时的通项公式为，且k为奇数．（17分）19．解：（1）若甲只抽牌1次，甲赢的情况如下．甲抽到的纸牌上的数字为1，乙抽到的纸牌上的数字为N，此时有1种情况；甲抽到的纸牌上的数字为2，乙抽到的纸牌上的数字为N，，此时有2种情况；甲抽到的纸牌上的数字为3，乙抽到的纸牌上的数字为N，，，此时有3种情况；……依次类推，甲赢的情况共有．（3分）故甲赢的概率为．（4分）（2）若甲抽牌2次，甲赢的情况如下．①甲第1次抽到的纸牌上的数字为1．第2次抽到的纸牌上的数字为1，乙抽到的纸牌上的数字为N，，此时有2种情况；第2次抽到的纸牌上的数字为2，乙抽到的纸牌上的数字为N，，，此时有3种情况；……第2次抽到的纸牌上的数字为，乙抽到的纸牌上的数字为N，，…，1，此时有N种情况．以上有种情况．（6分）②甲第1次抽到的纸牌上的数字为2．第2次抽到的纸牌上的数字为1，乙抽到的纸牌上的数字为N，，，此时有3种情况；第2次抽到的纸牌上的数字为2，乙抽到的纸牌上的数字为N，，，，此时有4种情况；……第2次抽到的纸牌上的数字为，乙抽到的纸牌上的数字为N，，…，1，此时有N种情况．以上有种情况．（8分）依次类推，甲第1次抽