河北省石家庄正定中学2024-2025学年高一上学期期中数学试题（解析版）-A4

第页河北正定中学/河北正中实验中学高一上学期期中考试数学（时间：120分钟满分：150分）命题人：王姣姣审题人：时凯静注意事项：1．答题前，务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．答题时使用0.5毫米黑色签字笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4．保持答题卡面清洁，不折叠，不破损．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据集合交集运算即可.【详解】因为集合，，所以.故选：A2.已知命题p：，的否定（）A.， B.，C， D.，【答案】A【解析】【分析】直接利用存在量词命题的否定是全称量词命题，即可求出结果．【详解】命题，，则，．故选：A．3.函数的值域是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分离常数可得函数单调性，进而可得值域.【详解】由已知函数定义域为，且，则，即，故选：C.4.已知幂函数在上单调递增，则实数m的值为（）A.1 B. C.1或 D.0或1【答案】A【解析】【分析】根据幂函数的定义与性质列式求解.【详解】由题意可得：，解得.故选：A.5.若函数的部分图象如图所示，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函数图象求得函数定义域，利用函数值可得出其解析式，代入计算即求得函数值.【详解】根据函数图象可知和不在函数的定义域内，因此和是方程的两根，因此可得，又易知，所以可得；即，所以.故选：D6.若正实数，满足，则的最小值为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】【分析】正实数x，y满足，利用基本不等式的性质可得，设，即可求出的最小值．【详解】∵正实数x，y满足，，∴，当且仅当取等，设，∴，∴，即，，∴，故的最小值为2.故选：A．7.函数的定义域为R，对任意的，有，且函数为偶函数，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由条件有在上单调递减，函数为偶函数，则的图像关于直线对称，由对称性和单调性可得的大小关系.【详解】对任意的，有,即对任意的,设，都有，所以在上单调递减.又函数为偶函数，即.则的图像关于直线对称.所以,则.故选：B.【点睛】本题考查函数单调性的定义及其应用，考查函数的奇偶性和对称性，属于中档题.8.已知函数，若对任意恒成立，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据将问题转化为，根据函数在上单调递减，即可由求解.【详解】当时，，当时，，故，由可得当时，，当时，，因此对任意的都有为奇函数，且当时，单调递减，且，故在上单调递减，故由得，故对任意的成立，故，解得或.故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（）.A.与B.与C.与D.与【答案】BCD【解析】【分析】根据函数的定义域和解析式依次判断每个选项即可.【详解】对选项A：定义域为，的定义域为，不是同一函数；对选项B：定义域为，的定义域为，，是同一函数；对选项C：定义域为，，定义域为，是同一函数；对选项D：，定义域为，，定义域为，是同一函数；故选：BCD.10.已知函数的定义域为，则（）A. B.C.是偶函数 D.是奇函数【答案】ABD【解析】【分析】通过赋值可判断AB，构造函数，通过奇偶性的定义可判断CD.【详解】令，可得，故A项正确；令，可得，令，可得，则，故B项正确；由，可得，令，则，令，可得，令，则，所以是奇函数，即是奇函数，故C项错误，D项正确.故选：ABD11.已知函数，则下列说法不正确的是（）A.B.，，都有成立C.当，时，D.若满足不等式的整数恰好有个，则的值仅有个【答案】BD【解析】【分析】对于A，将代入计算求解即可；对于B，取，，代入计算即可判断；对于C，利用作差法结合判断即可；对于D，作出图象，结合图象求解即可.【详解】由题意可知，对于A，，故正确；对于B，取，，则有，故错误；对于C，因为，，所以，，所以，所以，故正确；对于D，作出函数的图象，如图所示：当时，，等价于，，，因为此时，当时，可得和两个整数解；当时，可得，只有一个整数解；当时，可得，只有一个整数解；当时，可得，只有一个整数解；所以此时只有满足题意；当时，，等价于，，，因为当时，的图象单调递减，且，，，所以当时，满足题意，综上，满足题意的的值有个，故错误.故选：BD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，，化简：______．【答案】【解析】【分析】把根式化成分数指数式，再利用指数式的运算法则进行化简.【详解】因为.故答案为：13.不等式的解集为，则不等式的解集为______．【答案】【解析】【分析】根据的解集求出的关系，再化简不等式，求出它的解集即可．【详解】解：因为的解集为，则，且对应方程的根为-2和4，所以，，且，不等式可化为,则，即，解得或．故答案为．14.定义：若存在常数，使得对定义域内的任意两个不同的实数为，均有成立，则称函数在定义域上满足利普希茨条件．已知函数满足利普希茨条件，则常数的取值范围是_______．【答案】【解析】【分析】根据函数满足利普希茨条件，分离参数，并化简，求得常数的范围．【详解】当时，单调递增，由题意，不妨设，则，由，得，因为，所以，所以，所以，即常数的取值范围是．故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数，集合.（1）求的定义域；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据函数有意义，从而求出其定义域；（2）根据“”是“”的充分不必要条件得出集合与集合间的关系，从而求解.【小问1详解】由题意得解之得：，故集合的定义域为：.故答案为：.【小问2详解】因为“”是“”的充分不必要条件，所以得：集合是集合的真子集，所以得：或，解之得：或，故的取值范围为.故答案为：.16.已知函数是定义在上的奇函数，且．（1）求的解析式；（2）判断的单调性，并利用定义证明你的结论．【答案】（1）（2）在上单调递增，证明见解析【解析】【分析】（1）由，，解方程求出，即可求出的解析式；（2）在上是增函数，由单调性的定义证明即可.【小问1详解】由在上是奇函数，所以，则，则，由，得，所以，经检验，符合题意.【小问2详解】在上单调递增，证明如下：设，且，则，又，所以，因为，，所以，所以，则，故在上单调递增.17.设函数的图象过点.（1）若，，求的最小值；（2）解关于的不等式.【答案】（1）8（2）答案见解析【解析】【分析】（1）利用基本不等式计算即可；（2）含参讨论解不等式即可.小问1详解】由题意可知：，可得，所以，当且仅当时等号成立，因为，，，所以当，时，等号成立，此时取得最小值8；【小问2详解】由上可知，得，即，即.当时，此时不等式为，故解集为；当时，此时，故不等式的解集为；当时，即，此时不等式为，故不等式的解集为；当时，即，故不等式的解集为；当时，即，不等式的解集为.综上所述：当时，解集为；当，解集为；当，解集为；当时解集为；当，解集为.18.已知函数，．（1）若，，求，的最小值；（2）若恒成立，（i）求证：；（ii）若，且恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）（i）证明见解析；（ii）【解析】【分析】（1）根据函数解析式，利用基本不等式求函数最小值；（2）（i）由二次不等式恒成立，利用判别式建立关系，证明；（ii）由恒成立的不等式，分离出常数，利用函数思想求取值范围【小问1详解】若，，则，当且仅当，即时，取等号，所以；【小问2详解】①证明：因为恒成立，即恒成立，所以，即，所以，则，所以；②解：，即恒成立，因为，当时，不等式恒成立，当时，恒成立，令，则，则在上恒成立，又，所以，即实数的取值范围为.19.若函数G在上的最大值记为，最小值记为，且满足则称函数G是在的“美好函数”（1）已知函数；①函数G是在上“美好函数”，求a的值；②当时，函数G是在上的“美好函数”，请直接写出t的值；（2）已知函数若函数G是在（为整数）上的“美好函数”，且存在整数k，使得，求的值.【答案】（1）①或；②0或1.（2）【解析】【分析】（1）①分和两种情况求出二次函数在给定范围上的最值，然后利用列方程可求出的值；②求出二次函数的对称轴，然后分，，和四种情况求函数在给定范围上的最值，然后利用列方程可求出的值；（2）由二次函数的性质可知当时，函数G为增函数，从而可求出，，然后由为整数可求出，再由列方程可求出.【小问1详解】①因二次函数的对称轴为直线，当时，，当时，.（Ⅰ）当时，则当时，函数G为增函数，依题意，由，解得；（Ⅱ）当时，则当时，函数G为减函数，依题意，由，解得.综上，或；②当时，函数的对称轴为直线，当时，，当时，，当时，.(Ⅰ)若，则由，解得（舍去）；（Ⅱ）若，则由，解得或（舍去）；（Ⅲ）若，则由，解得或（舍