专题13 三角形与多边形的有关概念及性质【考点精讲】（解析版）

专题13三角形与多边形的有关概念及性质一、三角形有关概念及性质1．三角形的分类（1）三角形按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形.（2）三角形按边分类：①一般三角形：三边都不等的三角形；②等腰三角形：两边相等的三角形；③等边三角形：三边都相等的三角形2．三角形的边的关系（1）三角形任意两边之和大于第三边.（2）三角形任意两边之差小于第三边3．三角形的角的关系（1）三角形三个内角的和等于180°；特别地，当有一个内角是90°时，其余的两个内角互余.（2）三角形的外角和等于360°.（3）三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，三角形的任意一个外角大于任意一个和它不相邻的内角4．三角形的中线（1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线.（2）一个三角形有三条中线，都在三角形的内部，三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心.（3）三角形的一条中线把原三角形分成面积相等的两部分5．三角形的高（1）从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高.（2）一个三角形有三条高，可能在三角形内部，也可能在三角形上，还可能在三角形的外部6．三角形的角平分线（1）在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.它区别于一个角的平分线在于它是线段，而一个角的平分线是射线.（2）三角形的内心：三角形的三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心.这个点也是这个三角形内切圆的圆心.三角形的内心到三角形三条边的距离相等7．三角形的中位线（1）连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线.（2）一个三角形有3条中位线，都在三角形的内部.（3）三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半二、多边形1．多边形的内角和、外角和n边形的内角和为(n-2)·180°，外角和为360°.2．正多边形：在平面内，各内角都相等，各边也都相等的多边形叫做正多边形.3．多边形的对角线：在多边形中，连接互不相邻的两个顶点的线段.【考点1】三角形的相关概念与计算【例1】（三角形的特性）（2022·湖南永州）下列多边形具有稳定性的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用三角形具有稳定性直接得出答案．【详解】解：三角形具有稳定性，四边形、五边形、六边形都具有不稳定性，故选D．【例2】（三角形三边关系）（2022·四川凉山）下列长度的三条线段能组成三角形的是（

）A．3，4，8 B．5，6，11 C．5，6，10 D．5，5，10【答案】C【分析】根据三角形的三边关系定理（任意两边之和大于第三边）逐项判断即可得．【详解】解：A、，不能组成三角形，此项不符题意；B、，不能组成三角形，此项不符题意；C、，能组成三角形，此项符合题意；D、，不能组成三角形，此项不符题意；故选：C．【例3】（三角形内角和）在△ABC中，如果∠A：∠B：∠C=1：1：2；那么△ABC的形状是（）A.锐角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形【答案】D【分析】由条件可分别设∠A、∠B、∠C的度数分别为x°、x°、2x°，根据三角形内角和定理可求得x，可求得三角形三个内角，可得出答案．【详解】解：∵∠A：∠B：∠C=1：1：2，∴设∠A、∠B、∠C的度数分别为x°、x°、2x°，根据三角形内角和定理可得x+x+2x=180，解得x=45，∴∠A=∠B=45°，∠C=90°，∴△ABC为等腰直角三角形，故选：D．三角形三边关系“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”的应用（1）在实际应用中，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形.（2）在实际应用中，已知两边，则第三边的取值范围为：两边之差<第三边<两边之和.（3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形.1．下列图形具有稳定性的是（）A.梯形 B.长方形 C.直角三角形 D.平行四边形【答案】C【分析】根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行判断即可得答案．【详解】直角三角形具有稳定性，梯形、长方形、平行四边形都不具有稳定性．故选：C2．有下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】C【分析】根据三角形的三边关系进行判断．【详解】A、，不能组成三角形；B、，不能组成三角形；C、，能组成三角形；D、，不能组成三角形；故选C．3．（2021·湖南娄底市）是某三角形三边的长，则等于（）A． B． C．10 D．4【答案】D【分析】先根据三角形三边的关系求出的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论．【详解】解：是三角形的三边，，解得：，，故选：D．4．一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶5，这个三角形一定是()A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形【答案】B【分析】若三角形三个内角的度数之比为2：3：5，利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°，可求出三个内角分别是36°，54°，90°．则这个三角形一定是直角三角形．【详解】设三角分别为2x，3x，5x，

依题意得2x+3x+5x=180°，

解得x=18°．

故三个角分别为：36°，54°，90°．

所以这个三角形一定是直角三角形，

故选B．【考点2】三角形的角平分线，中线，高，内心，外心【例4】（三角形的高）（2022·广西玉林）请你量一量如图中边上的高的长度，下列最接近的是(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】作出三角形的高，然后利用刻度尺量取即可．【详解】解：如图所示，过点A作AO⊥BC，用刻度尺直接量得AO更接近2cm，故选：D．【例5】（中线）如图，已知点是中边上的中线，若的面积是4，则的面积是（）A.4 B.1 C.2 D.不确定【答案】C【分析】三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形．【详解】解：∵点是中边上的中线，∴S△BCD=S△ABD=S△ABC=2，故选C．1．如图，△ABC中，∠1＝∠2，G为AD中点，延长BG交AC于E，F为AB上一点，且CF⊥AD于H，下列判断，其中正确的个数是（）①BG是△ABD中边AD上的中线；②AD既是△ABC中∠BAC的角平分线，也是△ABE中∠BAE的角平分线；③CH既是△ACD中AD边上的高线，也是△ACH中AH边上的高线．A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据三角形的高，中线，角平分线的定义可知．【解析】解：①G为AD中点，所以BG是△ABD边AD上的中线，故正确；②因为∠1＝∠2，所以AD是△ABC中∠BAC的角平分线，AG是△ABE中∠BAE的角平分线，故错误；③因为CF⊥AD于H，所以CH既是△ACD中AD边上的高线，也是△ACH中AH边上的高线，故正确．故选：C．2.下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（）A. B. C.D.【答案】D【详解】三角形的高线的定义可得，D选项中线段BE是△ABC的高．故选：D3．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（）A．BF＝CF B．∠C+∠CAD＝90° C．∠BAF＝∠CAF D．S△ABC＝2S△ABF【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断．【解析】解：∵AF是△ABC的中线，∴BF＝CF，A说法正确，不符合题意；∵AD是高，∴∠ADC＝90°，∴∠C+∠CAD＝90°，B说法正确，不符合题意；∵AE是角平分线，∴∠BAE＝∠CAE，C说法错误，符合题意；∵BF＝CF，∴S△ABC＝2S△ABF，D说法正确，不符合题意；故选：C．4．（2022·河北）如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的（

）A．中线 B．中位线 C．高线 D．角平分线【答案】D【分析】根据折叠的性质可得，作出选择即可．【详解】解：如图，∵由折叠的性质可知，∴AD是的角平分线，故选：D．5．（2022·黑龙江哈尔滨）在中，为边上的高，，，则是___________度．【答案】40或80##80或40【分析】根据题意，由于类型不确定，需分三种情况：高在三角形内部、高在三角形边上和高在三角形外部讨论求解．【详解】解：根据题意，分三种情况讨论：①高在三角形内部，如图所示：在中，为边上的高，，，，；②高在三角形边上，如图所示：可知，，故此种情况不存在，舍弃；③高在三角形外部，如图所示：在中，为边上的高，，，，；综上所述：或，故答案为：或．【考点3】三角形的中位线定理【例6】（中位线）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝18，BC＝14，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，BE，点M在CB的延长线上，连接DM，若∠MDB＝∠A，则四边形DMBE的周长为（）A．16 B．24 C．32 D．40【答案】C【分析】由中点的定义可得AE=CE，AD=BD，根据三角形中位线的性质可得DE//BC，DE=BC，根据平行线的性质可得∠ADE=∠ABC=90°，利用ASA可证明△MBD≌△EDA，可得MD=AE，DE=MB，即可证明四边形DMBE是平行四边形，可得MD=BE，进而可得四边形DMBE的周长为2DE+2MD=BC+AC，即可得答案．【详解】∵D，E分别是AB，AC的中点，∴AE=CE，AD=BD，DE为△ABC的中位线，∴DE//BC，DE=BC，∵∠ABC＝90°，∴∠ADE=∠ABC=90°，在△MBD和△EDA中，，∴△MBD≌△EDA，∴MD=AE，DE=MB，∵DE//MB，∴四边形DMBE是平行四边形，∴MD=BE，∵AC＝18，BC＝14，∴四边形DMBE的周长=2DE+2MD=BC+AC=18+14=32．故选：C．三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半1．（2020•内江）如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC的中点，S四边形BCED＝15，则S△ABC＝（）A．30 B．25 C．22.5 D．20【分析】先根据三角形中位线的性质，证得：DE∥BC，DE=12BC，进而得出△ADE∽△【解析】∵D、E分别是AB、AC边上的中点，∴DE∥BC，DE=12∴△ADE∽△ABC，∴S△ADES△ABC=（DE∴S△ADE：S四边形BCED＝1：3，即S△ADE：15＝1：3，∴S△ADE＝5，∴S△ABC＝5+15＝20．故选：D．2．如图，在中，是上一点，于点，点是的中点，若，则的长为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根据可得△ACD为等腰三角形，再由结合“三线合一”性质可得E为CD的中点，从而得到EF为△CBD的中位线，最终根据中位线定理求解即可．【解析】∵，∴△ACD为等腰三角形，∵，∴E为CD的中点，（三线合一）又∵点是的中点，∴EF为△CBD的中位线，∴，故选：C．3．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在DC的延长线上取一点E，使CE＝CD，连接OE交BC于点F，若BC＝4，则CF＝_____．【答案】1【分析】作OG∥BC交DC于G点，则根据可得G为DC的中点，同理在△OGE中，运用中位线定理可得CF的长度．【解析】如图，作OG∥BC交DC于G点，∵O为BD的中点，∴G为DC的中点，即OG是△BDC的中位线，∴，又∵，∴，即C为EG的中点，∵CF∥OG，∴CF为△OGE的中位线，∴，故答案为：1．4．如图，在中，是边的中线，是的中点，连接并延长交于点．求证：．【答案】见解析【分析】取的中点，连接，则DM是△ABF的中位线，利用中位线定理结合全等三角形的判定即可证得．【解析】证明：取的中点，连接，∵是边的中线，∴是边的中点，∴，．∴，．∵是的中点，∴，在△MDE和△FCE中，∴．∴，∴．【考点4】多边形的内角和与外角和【例7】（求内角和）一个n边形的每个外角都是45°，则这个n边形的内角和是（）A．1080° B．540° C．2700° D．2160°【答案】A【分析】根据多边形外角和及内角和可直接进行求解．【详解】解：由一个n边形的每个外角都是45°，可得：，∴这个多边形的内角和为：，故选A．【例8】（判定多边形的形状）（1）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，则这个多边形是________边形．【答案】七【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线，可组成n-2个三角形，依此可得n的值，再由多边形的内角和为：（n-2）×180°，可求出其内角和．【详解】解：由题意得，n-2=5，解得：n=7，故答案为：七．（2）若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是_____．【答案】9【详解】解：360÷40=9，即这个多边形边数是9．故答案为：9．（1）多边形的内角和：n边形的内角和等于（n-2）·180°;（2）多边形的外角和：360°.1．已知一个边