2023-2024学年北京陈经纶中学初三（上）期中数学试题及答案

试题PAGE1试题2023北京陈经纶中学初三（上）期中数学时间：90分钟满分：100分一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1.函数y=(x+1)2－2的最小值是（）A.1 B.－1 C.2 D.－22.我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成这四个图案中是中心对称图形的是（）A.B.C. D.3.方程的根的情况是（）A.没有实数根 B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根 D.有一个实数根4.将抛物线的图象向下平移3个单位长度，则平移后抛物线的解析式为（）A. B. C. D.5.用配方法解一元二次方程，此方程可化为（）A. B. C. D.6.如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，，将矩形绕点逆时针旋转，则旋转后点的对应点坐标为（）A. B. C. D.7.如图，在Rt中，，，将绕点顺时针旋转角至，使得点恰好落在边上，则等于（

）A. B. C. D.8.某农业基地现有杂交水稻种植面积36公顷，计划两年后将杂交水稻种植面积增加到48公顷，设该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率为x，则可列方程为（）A. B.C. D.9.某超市一种干果现在的售价是每袋30元，每星期可卖出100袋．经市场调研发现，如果在一定范围内调整价格，每涨价1元，每星期就少卖出5袋．已知这种干果的进价为每袋20元，设每袋涨价x（元），每星期的销售量为y（袋），每星期销售这种干果的利润为z（元）．则y与x，z与x满足的函数关系分别是（）A.一次函数关系，一次函数关系 B.一次函数关系，二次函数关系C.二次函数关系，二次函数关系 D.二次函数关系，一次函数关系10.抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示.对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则一定是方程的一个根．其中所有正确结论的序号是（）A.①② B.①③ C.③④ D.①④二、填空题：本大题共8个小题，每小题2分，共16分．11.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为________．12.已知是关于x的一元二次方程的一个根，则b的值是________．13.请写出一个开口向下，顶点在x轴上的二次函数解析式__________________．14.如图，是正方形内的一点，将绕点逆时针方向旋转后与重合，若，则___________．15.如图，直线与抛物线交于A，B两点，其中点，点，不等式的解集为___________．16.已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是______．17.飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是，那么飞机着陆后滑行__________秒才能停下来．18.如图，已知，，，，点D在所在直线上运动，以为边作等边三角形，则__________．在点D运动过程中，的最小值__________．三．解答题：共54分，第19-24题，每题5分，第25-28题，每题6分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．19.解方程：20.如图，在正方形中，点E在边上，将点E绕点D逆时针旋转得到点F，若点F恰好落在边的延长线上，连接．（1）判断的形状，并证明；（2）若，则的面积为___________．21.已知关于x的一元二次方程．（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；（2）若是该方程的根，求代数式的值．22.已知：在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．（1）画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标；（2）画出将绕点按顺时针旋转所得的．23.已知：二次函数中的x和y满足下表：x…012345…y…300m8…（1）m的值为__________；（2）求出这个二次函数的解析式；（3）当时，则y的取值范围为__________．24.如图，有一块长为21m、宽为10m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，且人行通道的宽度不能超过3米．(1)如果两块绿地的面积之和为90m2，求人行通道的宽度；(2)能否改变人行通道的宽度，使得每块绿地的宽与长之比等于3：5，请说明理由．25.下面给出六个函数解析式：，，，，，．小明根据学习二次函数的经验，分析了上面这些函数解析式的特点，研究了它们的图象和性质。下面是小明的分析和研究过程，请补充完整：（1）观察上面这些函数解析式，它们都具有共同的特点，可以表示为形如_______，其中x为自变量；（2）如图，在平面直角坐标系中，画出了函数的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整；（3）对于上面这些函数，下列四个结论：①函数图象关于y轴对称②有些函数既有最大值，同时也有最小值③存在某个函数，当（m为正数）时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小④函数图象与x轴公共点的个数只可能是0个或2个或4个所有正确结论的序号是________；（4）结合函数图象，解决问题：若关于x的方程有一个实数根为3，则该方程其它的实数根为_______．26.在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a上，其中x1＜x2．（1）求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；（2）①当x＝a时，求y的值；②若y1＝y2＝0，求x1的值（用含a的式子表示）．（3）若对于x1+x2＜﹣4，都有y1＜y2，求a的取值范围．27.如图，在中，，将边绕点逆时针旋转得到线段．（1）判断与的数量关系并证明；（2）将边绕点C顺时针旋转得到线段，连接与边交于点M（不与点重合）．①用等式表示线段，之间的数量关系，并证明；②若，，直接写出的长．（用含的式子表示）28.对于某一函数给出如下定义：若存在实数，当其自变量的值为时，其函数值等于，则称为这个函数的不变值．在函数存在不变值时，该函数的最大不变值与最小不变值之差称为这个函数的不变长度．特别地，当函数只有一个不变值时，其不变长度为零．例如，下图中的函数有0，1两个不变值，其不变长度等于1．（1）函数①，②，③中存在不变值的是__________(填序号)；（2）函数．①若其不变长度为0，则的值为__________；②若，求其不变长度的取值范围；（3）记函数的图象为，将沿翻折后得到的函数图象记为．函数的图象由和两部分组成，若其不变长度满足，则的取值范围为__________．

参考答案一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1.【答案】D【分析】抛物线y=(x+1)2－2开口向上，有最小值，顶点坐标为(－1，－2)，顶点的纵坐标－2即为函数的最小值．【详解】解：根据二次函数的性质，当x=－1时，二次函数y=(x+1)2－2的最小值是－2．故选D．【点睛】本题考查了二次函数的最值，关键是把解析式配方成顶点式．2.【答案】B【分析】根据中心对称图形的概念逐一判断即可.【详解】解：A选项：不是中心对称图形，故不符合题意；B选项：是中心对称图形,符合题意；C选项：不是中心对称图形，故不符合题意；D选项：不是中心对称图形，故不符合题意.故选：B．【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念，解题的关键在于熟练掌握中心对称图形的概念．一个图形绕着某固定点旋转180度后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形．3.【答案】C【分析】先计算从而可得答案.【详解】解：，∴∴方程有两个不相等的实数根，故选C【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握“当则方程有两个不相等是实数根”是解本题的关键.4.【答案】A【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律求解即可．【详解】解：将抛物线的图象向下平移3个单位长度，则平移后抛物线的解析式为．故选：A．【点睛】本题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．5.【答案】B【分析】首先把常数项移到右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方配成完全平方公式即可．【详解】解：移项，得：，配方，得：，，故选：B．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法解一元二次方程的步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．6.【答案】A【分析】利用矩形的性质以及旋转变换的性质解决问题即可．【详解】解：如图：，四边形是矩形，点，，，由旋转变换的性质可得：，在第二象限，，故选：A．【点睛】本题考查了矩形的性质、旋转的性质，熟练掌握矩形的性质、旋转的性质，是解题的关键．7.【答案】D【分析】由旋转的性质可得CA=CA'，∠ACA'=α，由等腰三角形的性质可得∠A=∠CA'A=60°，由三角形内角和定理可求α的值.【详解】解：，，，将绕点顺时针旋转角至△，，，，，，故选：D.【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键.8.【答案】C【分析】根据划两年后将杂交水稻种植面积增至48公顷，即可得出关于x的一元二次方程；【详解】依题意，得：．

故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9.【答案】B【分析】根据题意列出y与x，z与x的函数关系式，再根据一次函数、二次函数的定义判断即可．【详解】由题意得，∴y是x的一次函数。，∴z是x的二次函数．故选：B【点睛】本题主要考查了一次函数、二次函数的定义，熟练掌握一次函数和二次函数的定义并且正确的列出函数关系式是解题的关键．10.【答案】B【分析】利由抛物线的开口方向和位置可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（-1，0），代入解析式则可对②进行判断；由抛物线的顶点坐标以及对称轴可对③进行判断；抛物线的对称性得出点的对称点是，则可对④进行判断．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴，故①正确；∵抛物线的顶点为，且经过点，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-1，0），∴，故②错误；∵抛物线的对称轴为直线x=2，∴，即：b=-4a，∵，∴c=b-a=-5a，∵顶点，∴，即：，∴m=-9a，即：，故③正确；∵若此抛物线经过点，抛物线的对称轴为直线x=2，∴此抛物线经过点，∴，∴一定是方程的一个根，故④错误．故选B．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置．二、填空题：本大题共8个小题，每小题2分，共16分．11.【答案】【分析】关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此解答．【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为，故答案为：．【点睛】此题考查关于原点对称的点，解题的关键是记住关于原点对称横纵坐标都互为相反数．12.【答案】【分析】把代入方程中得：，然后进行计算即可解答．【详解】解：把代入方程中得：，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的意义是解题的关键．13.【答案】y=-2（x+1）2．答案不唯一【分析】先设出二次函数解析式方程，，再根据图像开口向下可知a<0，可以得出结论.【详解】设该二次函数的解析式为∵抛物线的开口向下∴a<0又∵在x轴上∴k=0∴y=-2（x+1）2,答案不唯一，满足上述条件即可.【点睛】本题主要考查了二次函数中，当a<0，时开口向下，且顶点在x轴上时要满足的条件，熟练掌握函数性质是本题解题的关键.14.【答案】【分析】由旋转的性质可得：再利用勾股定理可得答案．【详解】解：正方形，旋转角：故答案为：【点睛】本题考查的是正方形的性质，旋转的性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．15.【答案】2<x<5##5>x>2【分析】观察图像，找到抛物线的图像在直线的下方的部分图像，由此可知不等式的解集．【详解】解：如下图所示，当2<x<5时，抛物线的图像在直线的下方，当2<x<5时，，不等式的解集为：2<x<5．故答案为：2<x<5．【点睛】此题考查了二次函数与不等式，根据两个函数图像的上、下位置关系找出不等式的解集是解此题的关键．16.【答案】且【分析】利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可．【详解】解：根据题意得且，解得且，即a的取值范围是为且．故答案为：且．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．17.【答案】20【分析】飞机从滑行到停止的路程就是滑行的最大路程，即求函数取得最大值时的t的值．【详解】解：∵，，∴抛物线开口向下，函数有最大值，∵，当，函数有最大值，即飞机着陆后滑行20秒能停下来．故答案为：20．【点睛】本题考查了二次函数的实际问题，运用二次函数求最值是解决本题的关键．18.【答案】①.4②.【分析】以为边作等边，并作，垂足为点H，连接，由直角三角形可求，，，由“”可证，得，最小即是最小，此时，故的最小值是．【详解】解：以为边作等边，并作，垂足为点H，连接，如图：，，，，∴，∴，，即，∴，，∵都是等边三角形，∴，∴，即，在和中，，∴，∴，∴最小即是最小，∴当时，最小，此时，∴四边形是矩形，∴，∴的最小值是．故答案为：4，．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握等边三角形的性质．三．解答题：共54分，第19-24题，每题5分，第25-28题，每题6分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．19.【答案】【分析】原方程乘以2，后利用配方法整理成为完全平方公式进行计算即可.【详解】解：原方程乘以2，得∴∴∴∴故答案为【点睛】本题考查了解一元二次方程，通过变形方程配方成完全平方公式求解是解答本题的关键.20.【答案】（1）是等腰直角三角形，证明见解析（2）8【分析】（1）证明，进而可得，，根据旋转的性质可得，即可证明是等腰直角三角形；（2）根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求得，进而即可求得的面积．【小问1详解】是等腰直角三角形．证明：在正方形中，，．∵F落在边的延长线上，∴．∵将点E绕点D逆时针旋转得到点F，∴．∴，∴．∵，∴，即．∴是等腰直角三角形．【小问2详解】∵是等腰直角三角形，∴，，，∴，∴的面积为．故答案为：【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形全等的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，证明是解题的关键．21.【答案】（1）详见解析（2）6【分析】（1）先计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义得到结论；（2）先根据一元二次方程根的定义得到，再把展开得到，然后利用整体代入的方法计算．【小问1详解】证明：∵，∴不论m为何值，该方程总有两个实数根；【小问2详解】解：把代入方程得，即，∴．【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程根的定义，熟练掌握一元二次方程根的判别式和整体代入是解题的关键．22.【答案】（1）如图所示，即为所求，见解析，点的坐标为；（2）如图所示，即为所求．见解析.【分析】分别作出三顶点关于原点的对称点，再顺次连接即可得；

分别作出点、绕点按顺时针旋转所得的对应点，再顺次连接即可得．【详解】解：（1）如图所示，即为所求，其中点的坐标为．（2）如图所示，即为所求．【点睛】此题主要考查了图形的旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．23.【答案】（1）23.3（2）（3）【分析】（1）先求得对称轴，然后根据抛物线的对称性即可求得；（2）设抛物线解析式为，利用待定系数法求解即可；（3）利用图表和抛物线的性质即可得出答案．【小问1详解】解：∵抛物线经过点和，∴抛物线的对称轴为直线，∴当和所对应的函数值相等，∴；故答案为：3；【小问2详解】解：∵抛物线经过点和，∴抛物线的对称轴为直线，顶点为，设抛物线解析式为，把代入得，解得，∴抛物线解析式为；【小问3详解】解：当时，，当时，y有最小值，当时，，∴当时，则y的取值范围为．故答案为：．【点睛】此题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，掌握待定系数法求函数解析式的方法与步骤是解决问题的关键．24.【答案】（1）2米；（2）不能改变人行横道的宽度使得每块绿地的宽与长之比等于3：5．【分析】（1）设人行通道的宽度为x米，将两块矩形绿地的长和宽用含有x的式子表示出来，根据“两块矩形绿地的面积共为90平方米”列出关于x的一元二次方程，解之即可；（2）根据每块绿地的宽与长之比等于3：5列出方程求得人行横道的宽度后与3米比较即可得到答案．【详解】（1）设人行通道的宽度为x米，则两块矩形绿地的长为（21﹣3x）（米），宽为（10﹣2x）（米），根据题意得：（21﹣3x）（10﹣2x）＝90，解得：x1＝10（舍去），x2＝2，答：人行通道的宽度为2米；（2）设人行通道的宽为y米时，每块绿地的宽与长之比等于3：5，根据题意得：（10﹣2y）：＝3：5，解得：y＝，∵＞3，∴不能改变人行横道的宽度使得每块绿地的宽与长之比等于3：5．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是能够设出未知数并表示出矩形的长和宽，找出等量关系．25.【答案】（1）（a≠0）；（2）图象见详解；（3）①③；（4）【分析】（1）观察六个二次函数解析式的特点，可知：它们都具有共同的特点：一次项的x含有绝对值，即可；（2）根据求绝对值法则，当x<0时，，再用描点法，画出图象，即可.（3）结合六个二次函数的额图形和性质，逐一判断，即可；（4）先求出k的值，再令，，在同一坐标系中，画出图象，根据两个函数图象的交点坐标，即可得到答案.【详解】（1）观察六个二次函数解析式的特点，可知：它们都具有共同的特点：一次项的x含有绝对值，即：（a≠0），故答案是：（a≠0）；（2）当x<0时，，根据描点法，如图所示：（3）∵，，关于y轴对称，，图象关于y轴对称，，图象关于y轴对称，，图象关于y轴对称，，图象关于y轴对称．∴①正确；∵，有最小值，没有最大值，，有最小值，没有最大值，，有最大值，没有最小值，，有最小值，没有最大值，，有最大值，没有最小值，，有最大值，没有最小值，∴②错误；∵，图象关于y轴对称，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，∴③正确；∵的图象与x轴有1个公共点，的图象与x轴没有公共点，的图象与x轴有1个公共点，的图象与x轴有2个公共点，的图象与x轴有2个公共点，的图象与x轴没有公共点，∴④错误，故答案是：①③；（4）∵关于x的方程有一个实数根为3，∴，解得：k=1，令，，函数图象如图所示：∴关于x的方程的其他两个实数根为：，故答案是：【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，根据题意，画出二次函数图象，是解题的关键.26.【答案】（1）对称轴为直线x＝a﹣1（2）①y=0；②x1＝a﹣2（3）a≥﹣1【分析】（1）根据抛物线的对称轴x＝﹣求解即可；（2）①将x＝a代入y＝﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a求解即可；②若y1＝y2＝0，则﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a＝0，解方程并根据x1＜x2，求出x1的值．（3）由题意得出x1＜﹣2，则只需讨论x1＜a﹣1的情况，分两种情况：①当a≥﹣1时，又有两种情况：x1＜x2＜a﹣1，x1＜a﹣1＜x2，分别结合二次函数的性质及x1+x2＜﹣4计算即可；②当a＜﹣1时，令x1＝a﹣1，x2＝﹣2，此时x1+x2＜﹣4，但y1＞y2，不符合题意．【小问1详解】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝a﹣1；【小问2详解】解：①当x＝a时，y＝﹣a2+（2a﹣2）a﹣a2+2a＝﹣a2+2a2﹣2a﹣a2+2a＝0；②当y1＝y2＝0时，﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a＝0，∴x2﹣（2a﹣2）x+a2﹣2a＝0，∴（x﹣a+2）（x﹣a）＝0，∵x1＜x2，∴x1＝a﹣2；【小问3详解】解：①当a≥﹣1时，∵x1＜x2，x1+x2＜﹣4，∴x1＜﹣2，只需讨论x1＜a﹣1的情况．若x1＜x2＜a﹣1，∵x＜a﹣1时，y随着x的增大而增大，∴y1＜y2，符合题意；若x1＜a﹣1＜x2，∵a﹣1≥﹣2，∴2（a﹣1）≥﹣4，∵x1+x2＜﹣4，∴x1+x2＜2（a﹣1）．∴x1＜2（a﹣1）﹣x2．∵x＝2（a﹣1）﹣x2时，y1＝y2，x＜a