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课时质量评价(三十七)(建议用时:45分钟)A组全考点巩固练1.(多选题)下列说法正确的是()A.三点可以确定一个平面B.一条直线和一个点可以确定一个平面C.两条平行直线可以确定一个平面D.两条相交直线可以确定一个平面CD解析:A错误,不共线的三点可以确定一个平面.B错误,一条直线和直线外一个点可以确定一个平面.CD正确.2.(多选题)下列说法正确的是()A.梯形的四个顶点共面B.三条平行直线共面C.有三个公共点的两个平面重合D.三条直线两两相交,可以确定1个或3个平面AD解析:A显然正确;B错误,三条平行直线可以确定1个或3个平面;若三个点共线,则两个平面相交,故C错误;D显然正确.故选AD.3.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列判断错误的是()A.MN与CC1垂直 B.MN与AC垂直C.MN与BD平行 D.MN与A1B1平行D解析:连接B1C,B1D1(图略),因为点M,N分别是D1C,B1C的中点,所以MN是△B1CD1的中位线,所以MN∥B1D1.因为CC1⊥B1D1,AC⊥B1D1,BD∥B1D1,所以MN⊥CC1,MN⊥AC,MN∥BD.又因为A1B1与B1D1相交,所以MN与A1B1不平行.故选D.4.如图,平面α∩平面β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,C∉l,则平面ABC与平面β的交线是()A.直线AC B.直线ABC.直线CD D.直线BCC解析:由题意知,D∈l,l⊂β,所以D∈β.又因为D∈AB,所以D∈平面ABC,所以点D在平面ABC与平面β的交线上.又因为C∈平面ABC,C∈β,所以点C在平面β与平面ABC的交线上,所以平面ABC∩平面β=CD.5.(多选题)在三棱锥PABC中,PA⊥底面ABC,AB⊥BC,E,F分别为棱PB,PC的中点,过E,F的平面分别与棱AB,AC相交于点D,G,则()A.EF∥DG B.PA∥EDC.ED⊥DG D.AC⊥FGAC解析:对于A,因为E,F分别为棱PB,PC的中点,所以EF∥BC.又EF⊄平面ABC,BC⊂平面ABC,所以EF∥平面ABC.又平面EFGD∩平面ABC=DG,由线面平行的性质定理可知,EF∥DG,故A正确.对于B,当截面EFGD与棱AB的交点D是AB的中点时,PA∥ED,否则PA与ED相交,故B错误.对于C,由PA⊥底面ABC,可得PA⊥DG.由EF∥DG,可得DG∥BC.又AB⊥BC,所以AB⊥DG.又PA∩AB=A,所以DG⊥平面PAB,所以ED⊥DG,故C正确.对于D,只有当截面EFGD与AC的交点G是AC的中点时,PA∥FG,此时可得AC⊥FG,否则AC与FG不垂直,故D错误.故选AC.6.在三棱锥SABC中,G1,G2分别是△SAB和△SAC的重心,则直线G1G2与BC的位置关系是________.平行解析:如图,连接SG1并延长交AB于点M,连接SG2并延长交AC于点N,连接MN,G1G2.由题意知SM为△SAB的中线,且SG1=eq\f(2,3)SM,SN为△SAC的中线,且SG2=eq\f(2,3)SN,所以在△SMN中,eq\f(SG1,SM)=eq\f(SG2,SN),所以G1G2∥MN.易知MN是△ABC的中位线,所以MN∥BC,所以G1G2∥BC.7.下列命题中不正确的是________.(填序号)①没有公共点的两条直线是异面直线;②分别和两条异面直线都相交的两直线异面;③一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条直线不可能平行;④一条直线和两条异面直线都相交,则它们可以确定两个平面.①②解析:命题①错,没有公共点的两条直线平行或异面;命题②错,此时两直线有可能相交;命题③正确,因为若直线a和b异面,c∥a,则c与b不可能平行,用反证法证明如下:若c∥b,又c∥a,则a∥b,这与a,b异面矛盾,故c与b不平行;命题④正确,若c与两异面直线a,b都相交,可知a,c可确定一个平面,b,c也可确定一个平面,这样,a,b,c共确定两个平面.8.在四面体ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点.若BD,AC所成的角为60°,且BD=AC=1,则EF的长为________.eq\f(1,2)或eq\f(\r(3),2)解析:如图,取BC的中点O,连接OE,OF.因为OE∥AC,OF∥BD,所以OE与OF所成的锐角(或其补角)即为AC与BD所成的角,而AC,BD所成角为60°,所以∠EOF=60°或∠EOF=120°.当∠EOF=60°时,EF=OE=OF=eq\f(1,2).当∠EOF=120°时,取EF的中点M,则OM⊥EF,EF=2EM=2×eq\f(\r(3),4)=eq\f(\r(3),2).9.在正方体ABCDA1B1C1D1中,(1)求AC与A1D所成角的大小;(2)若E,F分别为AB,AD的中点,求A1C1与EF所成角的大小.解:(1)如图,连接B1C,AB1,由ABCDA1B1C1D1是正方体,易知A1D∥B1C,AC与A1D所成的角就是∠B1CA或其补角.因为AB1=AC=B1C,所以∠B1CA=60°.即A1D与AC所成的角为60°.(2)连接BD,在正方体ABCDA1B1C1D1中,AC⊥BD,AC∥A1C1.因为E,F分别为AB,AD的中点,所以EF∥BD,所以EF⊥AC.所以EF⊥A1C1.即A1C1与EF所成的角为90°.10.(2019·上海高考改编)如图,在正三棱锥PABC中,PA=PB=PC=2,AB=BC=AC=eq\r(3).(1)若PB的中点为M,BC的中点为N,求AC与MN夹角的余弦值;(2)求三棱锥PABC的体积.解:(1)因为M,N分别为PB,BC的中点,所以MN∥PC,则∠PCA为AC与MN所成角.在△PAC中,由PA=PC=2,AC=eq\r(3),可得cos∠PCA=eq\f(PC2+AC2-PA2,2PC·AC)=eq\f(3,2×2×\r(3))=eq\f(\r(3),4),所以AC与MN夹角的余弦值为eq\f(\r(3),4).(2)过P作底面的垂线,垂足为O,则点O为底面三角形的中心,连接AO并延长,交BC于点N,则AN=eq\f(3,2),AO=eq\f(2,3)AN=1.所以PO=eq\r(22-12)=eq\r(3).所以VPABC=eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\f(3,2)×eq\r(3)=eq\f(3,4).B组新高考培优练11.(多选题)如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=eq\f(1,2),则()A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.三棱锥ABEF的体积为定值D.△AEF的面积与△BEF的面积相等ABC解析:连接AC,BD,则AC⊥平面BB1D1D,BD∥B1D1,所以AC⊥BE,EF∥平面ABCD,从而A,B正确;又△BEF的面积为定值,点A到平面BB1D1D的距离为定值,所以三棱锥ABEF的体积为定值,故C正确;因为点A到B1D1的距离不等于BB1,所以△AEF的面积与△BEF的面积不相等,故D错误.故选ABC.12.(多选题)如图,在矩形ABCD中,AB=2AD,E为边AB的中点,将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE.若M为线段A1C的中点,则在△ADE翻折的过程中,下面四个命题中正确的是()A.|BM|是定值B.点M在某个球面上运动C.存在某个位置,使DE⊥A1CD.存在某个位置,使MB∥平面A1DEABD解析:取DC的中点F,连接MF,BF,MF∥A1D且MF=eq\f(1,2)A1D,FB∥ED且FB=ED,所以∠MFB=∠A1DE.由余弦定理可得MB2=MF2+FB2-2MF·FB·cos∠MFB是定值,所以M是在以B为球心,MB为半径的球上,可得A,B正确.由MF∥A1D与FB∥ED可得平面MBF∥平面A1DE,可得D正确.A1C在平面ABCD中的射影与AC重合,AC与DE不垂直,可得C不正确.13.在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,则在空间中与三条直线A1D1,EF,CD都相交的直线有________条.无数解析:(方法一)在EF上任意取一点M,直线A1D1与M确定一个平面,这个平面与CD有且仅有1个交点N,M取不同的位置就确定不同的平面,从而与CD有不同的交点N,而直线MN与这3条异面直线都有交点.如图所示.(方法二)在A1D1上任取一点P,过点P与直线EF作一个平面α.因为CD与平面α不平行,所以它们相交,设它们交于点Q,连接PQ(图略),则PQ与EF必然相交,即PQ为所求直线.由点P的任意性,知有无数条直线与三条直线A1D1,EF,CD都相交.14.如图,正方形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,将此正方形沿EF折成直二面角后,异面直线AF与BE所成角的余弦值为________.eq\f(1,2)解析:如图,取BC的中点H,连接FH,AH,所以BE∥FH,所以∠AFH即为异面直线AF与BE所成的角.过点A作AG⊥EF于点G,则G为EF的中点.连接HG,HE,则△HGE是直角三角形.设正方形边长为2,则EF=eq\r(2),HE=eq\r(2),EG=eq\f(\r(2),2),AG=eq\f(\r(2),2),所以HG=eq\r(2+\f(1,2))=eq\f(\r(10),2),所以AH=eq\r(\f(5,2)+\f(1,2))=eq\r(3).由余弦定理知cos∠AFH=eq\f(AF2+HF2-AH2,2AF·HF)=eq\f(12+22-3,2×1×2)=eq\f(1,2).15.如图,平面ABEF⊥平面ABCD,四边形ABEF与ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC∥AD,且BC=eq\f(1,2)AD,BE∥AF且BE=eq\f(1,2)AF,G,H分别为FA,FD的中点.(1)证明:四边形BCHG是平行四边形.(2)C,D,E,F四点是否共面?为什么?(3)证明:直线FE,AB,DC相交于一点.(1)证明:因为G,H分别为FA,FD的中点,所以GH∥AD且GH=eq\f(1,2)AD.又BC∥AD且BC=eq\f(1,2)AD,故GH∥BC且GH=BC,所以四边形BCHG是平行四边形.(2)解:C,D,E,F四点共面.理由如下:由BE∥AF且BE=eq\f(1,2)AF,G是FA的中点知,BE∥GF且BE=GF,所以四边形
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