《2 从立体图形到平面图形》（同步训练）初中数学七年级上册-北师大版-2024-2025学年

《2从立体图形到平面图形》同步训练(答案在后面)一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）1、下列哪一个图形不是立体图形？A.长方体B.正方体C.圆D.球体2、将一个立方体沿某一直线切一刀，可能得到的截面形状不包括以下哪种？A.正方形B.长方形C.三角形D.圆3、一个正方体的每个面都是正方形，如果正方体的体积是64立方厘米，那么它的表面积是多少平方厘米？A.64B.96C.128D.2564、一个长方体的长、宽、高分别为3厘米、4厘米和5厘米，那么它的对角线长度是多少厘米？A.5B.7C.9D.115、下列立体图形中，哪一个的平面展开图不可能是矩形？A.正方体B.圆柱C.三棱柱D.圆锥6、如果将一个立方体沿某些边剪开并完全展开，以下哪种形状不会出现？A.由六个正方形组成的一条直线B.由六个正方形组成的T字形C.由六个正方形组成的L字形D.由六个正方形组成的U字形7、一个正方体的每个面都是正方形，如果这个正方体的体积是64立方厘米，那么它的每个面的面积是多少平方厘米？A.8平方厘米B.16平方厘米C.32平方厘米D.64平方厘米8、一个长方体的长、宽、高分别是3厘米、2厘米、1厘米，那么这个长方体的表面积是多少平方厘米？A.22平方厘米B.24平方厘米C.26平方厘米D.28平方厘米9、在观察一个正方体时，如果我们只考虑它的顶点和边，下面哪一个图形不可能是这个正方体的一个投影？A.正方形B.长方形C.六边形D.三角形10、如果一个圆柱体被一个垂直于其底面的平面切割，那么所得到的截面图形是什么？A.圆B.椭圆C.矩形D.正方形二、计算题（本大题有3小题，每小题5分，共15分）第一题：一个正方体的棱长为5cm，请计算：（1）这个正方体的体积；（2）一个对角面的面积；（3）从一个顶点出发，延伸到对面的顶点的对角线长度。第二题：一个长方体的长、宽、高分别为3cm、2cm和4cm。请计算：（1）长方体的表面积；（2）长方体的体积。第三题：已知一个正方体的一个顶点为A，与之相邻的三个顶点分别为B、C、D，若AB=3cm，AC=4cm，AD=5cm，求该正方体的体积。三、解答题（本大题有7小题，第1小题7分，后面每小题8分，共55分）第一题：已知长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是一个正方形，AB=BC=5cm，高AA1=12cm。求：（1）长方体ABCD-A1B1C1D1的体积V；（2）长方体ABCD-A1B1C1D1的表面积S。第二题：已知长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，且AB=6cm，BC=8cm，高AA1=10cm。现从点A出发，沿AA1方向切割长方体，切割面与底面ABCD平行，且切割面与侧棱BB1、CC1、DD1都相交于点E、F、G。（1）求切割面与底面ABCD的交线EF的长度。（2）求切割面与长方体侧面的交线EG的长度。第三题：已知一个正方体的棱长为5cm，求这个正方体的表面积和体积。第四题：已知一个正方体的每个面的边长为a，请计算正方体的体积V以及它的表面积S。第五题：已知一个长方体，长为8cm，宽为6cm，高为5cm。求该长方体的表面积。第六题：已知一个正方体的边长为3cm，现从正方体的一个顶点出发，沿相邻的三条棱分别截取长度为1cm的小正方体。（1）求截去的小正方体的个数；（2）求截去后剩余部分的体积。第七题：已知一个正方体的一个顶点A，其三个相邻顶点分别为B、C、D。如果顶点A到平面BCD的距离为3cm，求正方体的棱长。《2从立体图形到平面图形》同步训练及答案解析一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）1、下列哪一个图形不是立体图形？A.长方体B.正方体C.圆D.球体答案：C解析：在选项中，长方体、正方体和球体都是三维空间中的立体图形，它们有长度、宽度和高度。而圆是二维平面上的图形，它只有长度和宽度（或称为直径和半径），因此不属于立体图形。2、将一个立方体沿某一直线切一刀，可能得到的截面形状不包括以下哪种？A.正方形B.长方形C.三角形D.圆答案：D解析：当我们考虑切割一个立方体时，根据切割的角度和位置不同，可以得到不同的截面形状。如果我们平行于其中一个面切割，可以得到正方形或长方形；如果我们以一定角度斜切，则有可能得到三角形。但是，无论如何切割，由于立方体的所有边都是直线段，所以不可能得到包含曲线的圆形作为截面。因此，正确答案为D.圆。3、一个正方体的每个面都是正方形，如果正方体的体积是64立方厘米，那么它的表面积是多少平方厘米？A.64B.96C.128D.256答案：C解析：正方体的体积公式是V=a3，其中a是正方体的棱长。由题意知，体积V=64正方体的表面积公式是S=6a2，将a4、一个长方体的长、宽、高分别为3厘米、4厘米和5厘米，那么它的对角线长度是多少厘米？A.5B.7C.9D.11答案：D解析：长方体的对角线长度可以通过勾股定理来计算。设长方体的对角线长度为d，那么根据勾股定理有：d2=3因此，d=50。由于50是一个无理数，我们可以用近似值来表示它，即d≈7.075、下列立体图形中，哪一个的平面展开图不可能是矩形？A.正方体B.圆柱C.三棱柱D.圆锥答案：D解析：A选项的正方体可以展开成由六个相同大小的正方形组成的平面图形。B选项的圆柱可以展开成一个矩形（侧面）加上两个圆形底面，但如果我们只考虑侧面，则它确实能形成一个矩形。C选项的三棱柱可以展开成两个三角形和三个矩形，其中这三个矩形可以排列成一个更大的矩形。D选项的圆锥，其侧面展开后会形成一个扇形，而不是矩形。因此，正确答案为D。6、如果将一个立方体沿某些边剪开并完全展开，以下哪种形状不会出现？A.由六个正方形组成的一条直线B.由六个正方形组成的T字形C.由六个正方形组成的L字形D.由六个正方形组成的U字形答案：A解析：立方体的平面展开图，也称为网状图，有多种可能的形式，但所有形式都必须满足一些基本条件：每个正方形至少与另一个正方形共享一条边，并且整个图形不能自我重叠。对于选项：A选项描述的情况实际上是不可能的。因为如果六个正方形排成一条直线，那么它们无法折叠回成立方体。为了形成一个立方体，至少需要有一个正方形与其他四个正方形中的每一个共享一条边，这在一条直线上是不可能实现的。B.C和D选项都是立方体合法的展开方式。例如，T字形、L字形和U字形都可以通过适当的折叠过程变成立方体。因此，正确答案为A。7、一个正方体的每个面都是正方形，如果这个正方体的体积是64立方厘米，那么它的每个面的面积是多少平方厘米？A.8平方厘米B.16平方厘米C.32平方厘米D.64平方厘米答案：B解析：正方体的体积公式是边长的三次方，即V=a3。已知体积V=64立方厘米，所以a3=8、一个长方体的长、宽、高分别是3厘米、2厘米、1厘米，那么这个长方体的表面积是多少平方厘米？A.22平方厘米B.24平方厘米C.26平方厘米D.28平方厘米答案：A解析：长方体的表面积公式是2lw+lh+wh，其中9、在观察一个正方体时，如果我们只考虑它的顶点和边，下面哪一个图形不可能是这个正方体的一个投影？A.正方形B.长方形C.六边形D.三角形答案：D解析：正方体有六个面，每个面都是正方形。当我们考虑正方体的投影时，我们可以得到以下几种可能的形状：如果我们正面或侧面看正方体，我们会看到一个正方形（选项A）。如果我们以一定的角度观看，使得正方体的一对相对的边不平行于视线方向，那么我们可以看到一个长方形（选项B）。如果我们的视线方向与正方体的一个顶点相切，并且穿过三个相邻的面，则可以得到一个六边形的投影（选项C）。然而，无论从哪个角度观察，都不可能只通过正方体的顶点和边形成一个三角形的投影（选项D）。因此，正确答案为D。10、如果一个圆柱体被一个垂直于其底面的平面切割，那么所得到的截面图形是什么？A.圆B.椭圆C.矩形D.正方形答案：A解析：当一个圆柱体被一个垂直于它底面的平面切割时，截面将会是一个圆形，这个圆形与圆柱体的底面是全等的。这是因为切割平面与底面平行，所以它会“复制”出底面的形状（选项A）。其他选项如椭圆（选项B）、矩形（选项C）或正方形（选项D），只有在不同的切割方式下才可能出现，例如倾斜切割可能会产生椭圆，而沿侧边切割可能会产生矩形或正方形，但这些不是本题描述的垂直切割情况下的结果。因此，正确答案为A。二、计算题（本大题有3小题，每小题5分，共15分）第一题：一个正方体的棱长为5cm，请计算：（1）这个正方体的体积；（2）一个对角面的面积；（3）从一个顶点出发，延伸到对面的顶点的对角线长度。答案：（1）正方体的体积V=a³=5cm×5cm×5cm=125cm³（2）正方体一个面的面积A=a²=5cm×5cm=25cm²（3）正方体的对角线长度d=√(a²+a²+a²)=√(5cm²+5cm²+5cm²)=√(3×5cm²)=5√3cm解析：（1）正方体的体积计算公式为棱长的三次方，即V=a³。将棱长5cm代入公式，得到体积为125cm³。（2）正方体的一个面是一个正方形，面积计算公式为边长的平方，即A=a²。将棱长5cm代入公式，得到面积为25cm²。（3）正方体的对角线长度可以通过勾股定理计算，正方体的每个对角面是一个等腰直角三角形，其对角线长度等于棱长的√3倍。因此，对角线长度d=a√3。将棱长5cm代入公式，得到对角线长度为5√3cm。第二题：一个长方体的长、宽、高分别为3cm、2cm和4cm。请计算：（1）长方体的表面积；（2）长方体的体积。答案：（1）长方体的表面积=2×(长×宽+长×高+宽×高)

=2×(3cm×2cm+3cm×4cm+2cm×4cm)

=2×(6cm²+12cm²+8cm²)

=2×26cm²

=52cm²（2）长方体的体积=长×宽×高

=3cm×2cm×4cm

=24cm³解析：（1）长方体的表面积由六个面组成，其中相对的面面积相等。因此，计算表面积时，只需计算三个不同面的面积，然后乘以2即可。在这个例子中，我们计算了长×宽、长×高和宽×高的面积，然后将它们相加并乘以2得到总表面积。（2）长方体的体积是长、宽和高的乘积。在这个题目中，我们直接将三个维度相乘得到体积。第三题：已知一个正方体的一个顶点为A，与之相邻的三个顶点分别为B、C、D，若AB=3cm，AC=4cm，AD=5cm，求该正方体的体积。答案：该正方体的体积为60cm³。解析：首先，根据题意，AB=AC=AD，因此△ABD、△ABC、△ACD都是等腰直角三角形。由于AB=3cm，AC=4cm，AD=5cm，可以判断出AB是直角边，AD是斜边，因此ABCD是一个直角三角形，且∠ABC=∠ACD=90°。由于△ABD、△ABC、△ACD都是等腰直角三角形，可以得出BC=BD=CD。因为ABCD是直角三角形，所以BC=BD=CD=4cm（AC的长度，因为AC是斜边，根据勾股定理，AC²=AB²+BC²，所以BC=√(AC²-AB²)=√(4²-3²)=√(16-9)=√7，但这里BC的长度实际上是AC的长度，即4cm）。因此，正方体的棱长为4cm。正方体的体积V可以通过公式V=a³计算，其中a是棱长。所以，V=4³=64cm³。但是，这里有一个错误，因为正方体的棱长应该是直角三角形ABD的斜边长度，即AD的长度，所以棱长a=5cm。因此，正方体的体积应该是V=5³=125cm³。所以，正确答案是125cm³。三、解答题（本大题有7小题，第1小题7分，后面每小题8分，共55分）第一题：已知长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是一个正方形，AB=BC=5cm，高AA1=12cm。求：（1）长方体ABCD-A1B1C1D1的体积V；（2）长方体ABCD-A1B1C1D1的表面积S。答案：（1）长方体的体积V可以通过底面积乘以高来计算，即V=底面积×高。底面ABCD是正方形，所以底面积为AB×BC=5cm×5cm=25cm²。因此，体积V=25cm²×12cm=300cm³。（2）长方体的表面积S由六个面的面积之和组成。其中，底面和顶面的面积各为25cm²，侧面有四个，每个侧面都是一个矩形，面积分别为AB×AA1和BC×AA1。所以，侧面总面积为2×(AB×AA1+BC×AA1)=2×(5cm×12cm+5cm×12cm)=2×120cm²=240cm²。因此，表面积S=2×底面积+侧面总面积=2×25cm²+240cm²=50cm²+240cm²=290cm²。解析：（1）首先，根据长方体的体积公式V=底面积×高，代入已知的底面积和高计算出体积。（2）其次，根据长方体的表面积公式S=2×底面积+侧面总面积，分别计算底面积和四个侧面的面积，然后将它们相加得到总的表面积。注意，这里要区分底面和侧面，以及侧面的面积计算要考虑长和高的乘积。第二题：已知长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，且AB=6cm，BC=8cm，高AA1=10cm。现从点A出发，沿AA1方向切割长方体，切割面与底面ABCD平行，且切割面与侧棱BB1、CC1、DD1都相交于点E、F、G。（1）求切割面与底面ABCD的交线EF的长度。（2）求切割面与长方体侧面的交线EG的长度。答案：（1）切割面与底面ABCD的交线EF是切割面与底面的平行线段，因此EF的长度等于长方体的高AA1，即EF=10cm。（2）由于切割面与侧棱BB1、CC1、DD1相交于点E、F、G，且切割面与底面ABCD平行，因此EF、FG、GH、HE四条线段分别平行于底面的边AB、BC、CD、DA。由于ABCD是矩形，所以AB平行于CD，BC平行于DA。在直角三角形AEG中，AE是切割面与侧棱BB1的交线，由于切割面与底面平行，所以AE与AA1平行，因此AE=AA1=10cm。同理，AG=AA1=10cm。在直角三角形ABE中，AB=6cm，AE=10cm，根据勾股定理，可以求出BE的长度：BE=√(AB^2-AE^2)=√(6^2-10^2)=√(36-100)=√(-64)（这里出现错误，因为AB^2-AE^2不可能为负数）这里出现了错误，因为在长方体中，AB^2-AE^2不可能为负数，说明题目中的数据可能存在问题或者理解有误。正确的做法是，由于切割面与底面平行，切割面与侧棱的交点到对应底面顶点的距离与底面顶点到侧棱顶点的距离相等，因此BE=AB=6cm。同理，由于切割面与底面平行，FG=BC=8cm。因此，EG=EF+FG=10cm+8cm=18cm。解析：（1）通过分析切割面与底面的平行关系，直接得出EF的长度等于长方体的高AA1。（2）通过分析切割面与侧棱的交点关系，确定AE=AG=AA1，然后利用勾股定理求出BE的长度，最后通过切割面与底面的平行关系得出FG的长度，从而得出EG的长度。第三题：已知一个正方体的棱长为5cm，求这个正方体的表面积和体积。答案：表面积：150cm²体积：125cm³解析：首先，我们知道正方体的表面积公式为：S=6a²，其中a为正方体的棱长。代入题目中给定的棱长a=5cm，我们可以计算出正方体的表面积：S=6×5²=6×25=150cm²接着，正方体的体积公式为：V=a³，同样代入棱长a=5cm，我们可以计算出正方体的体积：V=5³=5×5×5=125cm³因此，这个正方体的表面积为150cm²，体积为125cm³。第四题：已知一个正方体的每个面的边长为a，请计算正方体的体积V以及它的表面积S。答案：V=a³S=6a²解析：首先，正方体的体积V可以通过计算它的一个面的面积a²乘以它的高度（即边长a）得到，因此体积公式为V=a²*a=a³。其次，正方体的表面积S由它的六个面组成，每个面的面积都是a²。由于正方体有六个面，所以总表面积S为6个面的面积之和，即S=6*a²。综上所述，正方体的体积是a的三次方，表面积是a的平方乘以6。第五题：已知一个长方体，长为8cm，宽为6cm，高为5cm。求该长方体的表面积。答案：长方体的表面积计算公式为：表面积=2×(长×宽+长×高+宽×高)。代入已知数据得：表面积=2×(8cm×6cm+8cm×5cm+6cm×5cm)

=2×(48cm²+40cm²+30cm²)

=2×118cm²

=236cm²所以，该长方体的表面积为236cm²。解析：本题考查的是长方体表面积的计算。根据长方体表面积的公式，我们需要分别计算长方体的三个不同面的面积，然后将这三个面积相加，并乘以2，得到长方体的总表面积。在本题中，长方体的三个不同面的面积分别为长×宽、长×高和宽×高，分别代入公式进行计算即可得到最终答案。注意，计算过程中单位要保持一致，本题中单位为平方厘米。第六题：已知一个正方体的边长为3cm，现从正方体的一个顶点出发，沿相邻的三条棱分别截取长度为1cm的小正方体。（1）求截去的小正方体的个数；（2）求截去后剩余部分的体积。答案：（1）截去的小正方体的个数是3个。解析：从正方体的一个顶点出发，沿相邻的三条棱分别截取长度为1cm的小正方体，每