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文档简介

四川省德阳市重点中学2025届高三第二次诊断性检测数学试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设某大学的女生体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71,则下列结论中不正确的是A.y与x具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心(,)C.若该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增加0.85kgD.若该大学某女生身高为170cm,则可断定其体重比为58.79kg2.已知函数()的部分图象如图所示.则()A. B.C. D.3.如图所示是某年第一季度五省GDP情况图,则下列说法中不正确的是()A.该年第一季度GDP增速由高到低排位第3的是山东省B.与去年同期相比,该年第一季度的GDP总量实现了增长C.该年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2个D.去年同期浙江省的GDP总量超过了4500亿元4.已知,则的值等于()A. B. C. D.5.已知函数,则方程的实数根的个数是()A. B. C. D.6.定义在上的偶函数,对,,且,有成立,已知,,,则,,的大小关系为()A. B. C. D.7.已知正方体的体积为,点,分别在棱,上,满足最小,则四面体的体积为A. B. C. D.8.执行如图所示的程序框图,则输出的的值为()A. B.C. D.9.关于圆周率π,数学发展史上出现过许多很有创意的求法,如著名的浦丰实验和查理斯实验.受其启发,我们也可以通过设计下面的实验来估计的值:先请全校名同学每人随机写下一个都小于的正实数对;再统计两数能与构成钝角三角形三边的数对的个数;最后再根据统计数估计的值,那么可以估计的值约为()A. B. C. D.10.秦九韶是我国南宁时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入、的值分别为、,则输出的值为()A. B. C. D.11.已知双曲线的左,右焦点分别为,O为坐标原点,P为双曲线在第一象限上的点,直线PO,分别交双曲线C的左,右支于另一点,且,则双曲线的离心率为()A. B.3 C.2 D.12.若的展开式中的系数为-45,则实数的值为()A. B.2 C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.如图,某地一天从时的温度变化曲线近似满足函数,则这段曲线的函数解析式为______________.14.数列的前项和为,则数列的前项和_____.15.已知实数,满足约束条件,则的最小值为______.16.已知圆柱的上、下底面的中心分别为,,过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的参数方程为(为参数),直线经过点且倾斜角为.(1)求曲线的极坐标方程和直线的参数方程;(2)已知直线与曲线交于,满足为的中点,求.18.(12分)随着现代社会的发展,我国对于环境保护越来越重视,企业的环保意识也越来越强.现某大型企业为此建立了5套环境监测系统,并制定如下方案:每年企业的环境监测费用预算定为1200万元,日常全天候开启3套环境监测系统,若至少有2套系统监测出排放超标,则立即检查污染源处理系统;若有且只有1套系统监测出排放超标,则立即同时启动另外2套系统进行1小时的监测,且后启动的这2套监测系统中只要有1套系统监测出排放超标,也立即检查污染源处理系统.设每个时间段(以1小时为计量单位)被每套系统监测出排放超标的概率均为,且各个时间段每套系统监测出排放超标情况相互独立.(1)当时,求某个时间段需要检查污染源处理系统的概率;(2)若每套环境监测系统运行成本为300元/小时(不启动则不产生运行费用),除运行费用外,所有的环境监测系统每年的维修和保养费用需要100万元.现以此方案实施,问该企业的环境监测费用是否会超过预算(全年按9000小时计算)?并说明理由.19.(12分)已知,函数.(Ⅰ)若在区间上单调递增,求的值;(Ⅱ)若恒成立,求的最大值.(参考数据:)20.(12分)已知中,内角所对边分别是其中.(1)若角为锐角,且,求的值;(2)设,求的取值范围.21.(12分)已知数列满足,,数列满足.(Ⅰ)求证数列是等比数列;(Ⅱ)求数列的前项和.22.(10分)己知,,.(1)求证:;(2)若,求证:.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据y与x的线性回归方程为y=0.85x﹣85.71,则=0.85>0,y与x具有正的线性相关关系,A正确;回归直线过样本点的中心(),B正确;该大学某女生身高增加1cm,预测其体重约增加0.85kg,C正确;该大学某女生身高为170cm,预测其体重约为0.85×170﹣85.71=58.79kg,D错误.故选D.2、C【解析】

由图象可知,可解得,利用三角恒等变换化简解析式可得,令,即可求得.【详解】依题意,,即,解得;因为所以,当时,.故选:C.【点睛】本题主要考查了由三角函数的图象求解析式和已知函数值求自变量,考查三角恒等变换在三角函数化简中的应用,难度一般.3、D【解析】

根据折线图、柱形图的性质,对选项逐一判断即可.【详解】由折线图可知A、B项均正确,该年第一季度总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有江苏均第一.河南均第四.共2个.故C项正确;.故D项不正确.故选:D.【点睛】本题考查折线图、柱形图的识别,考查学生的阅读能力、数据处理能力,属于中档题.4、A【解析】

由余弦公式的二倍角可得,,再由诱导公式有,所以【详解】∵∴由余弦公式的二倍角展开式有又∵∴故选:A【点睛】本题考查了学生对二倍角公式的应用,要求学生熟练掌握三角函数中的诱导公式,属于简单题5、D【解析】

画出函数,将方程看作交点个数,运用图象判断根的个数.【详解】画出函数令有两解,则分别有3个,2个解,故方程的实数根的个数是3+2=5个故选:D【点睛】本题综合考查了函数的图象的运用,分类思想的运用,数学结合的思想判断方程的根,难度较大,属于中档题.6、A【解析】

根据偶函数的性质和单调性即可判断.【详解】解:对,,且,有在上递增因为定义在上的偶函数所以在上递减又因为,,所以故选:A【点睛】考查偶函数的性质以及单调性的应用,基础题.7、D【解析】

由题意画出图形,将所在的面延它们的交线展开到与所在的面共面,可得当时最小,设正方体的棱长为,得,进一步求出四面体的体积即可.【详解】解:如图,

∵点M,N分别在棱上,要最小,将所在的面延它们的交线展开到与所在的面共面,三线共线时,最小,

设正方体的棱长为,则,∴.

取,连接,则共面,在中,设到的距离为,

设到平面的距离为,

.

故选D.【点睛】本题考查多面体体积的求法,考查了多面体表面上的最短距离问题,考查计算能力,是中档题.8、B【解析】

列出循环的每一步,进而可求得输出的值.【详解】根据程序框图,执行循环前:,,,执行第一次循环时:,,所以:不成立.继续进行循环,…,当,时,成立,,由于不成立,执行下一次循环,,,成立,,成立,输出的的值为.故选:B.【点睛】本题考查的知识要点:程序框图的循环结构和条件结构的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力,属于基础题型.9、D【解析】

由试验结果知对0~1之间的均匀随机数,满足,面积为1,再计算构成钝角三角形三边的数对,满足条件的面积,由几何概型概率计算公式,得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积,即可估计的值.【详解】解:根据题意知,名同学取对都小于的正实数对,即,对应区域为边长为的正方形,其面积为,若两个正实数能与构成钝角三角形三边,则有,其面积;则有,解得故选:.【点睛】本题考查线性规划可行域问题及随机模拟法求圆周率的几何概型应用问题.线性规划可行域是一个封闭的图形,可以直接解出可行域的面积;求解与面积有关的几何概型时,关键是弄清某事件对应的面积,必要时可根据题意构造两个变量,把变量看成点的坐标,找到试验全部结果构成的平面图形,以便求解.10、B【解析】

列出循环的每一步,由此可得出输出的值.【详解】由题意可得:输入,,,;第一次循环,,,,继续循环;第二次循环,,,,继续循环;第三次循环,,,,跳出循环;输出.故选:B.【点睛】本题考查根据算法框图计算输出值,一般要列举出算法的每一步,考查计算能力,属于基础题.11、D【解析】

本道题结合双曲线的性质以及余弦定理,建立关于a与c的等式,计算离心率,即可.【详解】结合题意,绘图,结合双曲线性质可以得到PO=MO,而,结合四边形对角线平分,可得四边形为平行四边形,结合,故对三角形运用余弦定理,得到,而结合,可得,,代入上式子中,得到,结合离心率满足,即可得出,故选D.【点睛】本道题考查了余弦定理以及双曲线的性质,难度偏难.12、D【解析】

将多项式的乘法式展开,结合二项式定理展开式通项,即可求得的值.【详解】∵所以展开式中的系数为,∴解得.故选:D.【点睛】本题考查了二项式定理展开式通项的简单应用,指定项系数的求法,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、,【解析】

根据图象得出该函数的最大值和最小值,可得,,结合图象求得该函数的最小正周期,可得出,再将点代入函数解析式,求出的值,即可求得该函数的解析式.【详解】由图象可知,,,,,从题图中可以看出,从时是函数的半个周期,则,.又,,得,取,所以,.故答案为:,.【点睛】本题考查由图象求函数解析式,考查计算能力,属于中等题.14、【解析】

解:两式作差,得,经过检验得出数列的通项公式,进而求得的通项公式,裂项相消求和即可.【详解】解:两式作差,得化简得,检验:当n=1时,,所以数列是以2为首项,2为公比的等比数列;,,令故填:.【点睛】本题考查求数列的通项公式,裂项相消求数列的前n项和,解题过程中需要注意n的范围以及对特殊项的讨论,侧重考查运算能力.15、【解析】

作出满足约束条件的可行域,将目标函数视为可行解与点的斜率,观察图形斜率最小在点B处,联立,解得点B坐标,即可求得答案.【详解】作出满足约束条件的可行域,该目标函数视为可行解与点的斜率,故由题可知,联立得,联立得所以,故所以的最小值为故答案为:【点睛】本题考查分式型目标函数的线性规划问题,属于简单题.16、【解析】

设圆柱的轴截面的边长为x,可求得,代入圆柱的表面积公式,即得解【详解】设圆柱的轴截面的边长为x,则由,得,∴.故答案为:【点睛】本题考查了圆柱的轴截面和表面积,考查了学生空间想象,转化划归,数学运算的能力,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1),;(2).【解析】

(1)由曲线的参数方程消去参数可得曲线的普通方程,由此可求曲线的极坐标方程;直接利用直线的倾斜角以及经过的点求出直线的参数方程即可;(2)将直线的参数方程,代入曲线的普通方程,整理得,利用韦达定理,根据为的中点,解出即可.【详解】(1)由(为参数)消去参数,可得,即,已知曲线的普通方程为,,,,即,曲线的极坐标方程为,直线经过点,且倾斜角为,直线的参数方程:(为参数,).(2)设对应的参数分别为,.将直线的参数方程代入并整理,得,,.又为的中点,,,,,即,,,,即,.【点睛】本题考查了圆的参数方程与极坐标方程之间的互化以及直线参数方程的应用,考查了计算能力,属于中档题.18、(1);(2)不会超过预算,理由见解析【解析】

(1)求出某个时间段在开启3套系统就被确定需要检查污染源处理系统的概率为,某个时间段在需要开启另外2套系统才能确定需要检查污染源处理系统的概率为,可得某个时间段需要检查污染源处理系统的概率;(2)设某个时间段环境监测系统的运行费用为元,则的可能取值为900,1500.求得,,求得其分布列和期望,对其求导,研究函数的单调性,可得期望的最大值,从而得出结论.【详解】(1)某个时间段在开启3套系统就被确定需要检查污染源处理系统的概率为,某个时间段在需要开启另外2套系统才能确定需要检查污染源处理系统的概率为某个时间段需要检查污染源处理系统的概率为.(2)设某个时间段环境监测系统的运行费用为元,则的可能取值为900,1500.,令,则当时,,在上单调递增;当时,,在上单调递减,的最大值为,实施此方案,最高费用为(万元),,故不会超过预算.【点睛】本题考查独立重复事件发生的概率、期望,及运用求导函数研究期望的最值,由根据期望值确定方案,此类题目解决的关键在于将生活中的量转化为数学中和量,属于中档题.19、(Ⅰ);(Ⅱ)3.【解析】

(Ⅰ)先求导,得,已知导函数单调递增,又在区间上单调递增,故,令,求得,讨论得,而,故,进而得解;(Ⅱ)可通过必要性探路,当时,由知,又由于,则,当,,结合零点存在定理可判断必存在使得,得,,化简得,再由二次函数性质即可求证;【详解】(Ⅰ)的定义域为.易知单调递增,由题意有.令,则.令得.所以当时,单调递增;当时,单调递减.所以,而又有,因此,所以.(Ⅱ)由知,又由于,则.下面证明符合条

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