数学知识导航常见函数的导数

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1.2导数的运算1.2。1常见函数的导数知识梳理（1)C′=_____________（C为常数)；（2）（xn）′=_____________；(3)（sinx）′=_____________;（4)(cosx)′=_____________；（5）(ex）′=_____________；(6）(ax）′=_____________；（7)（lnx）′=_____________;(8）（logax）=_____________;（9）(xα）′=_____________.知识导学由导数定义给出了求导数的最基本方法，因为导数是由极限来定义的,所以求导数总是归结到求极限运算。这显然比较麻烦，甚至困难,但是找到一些常用函数的导数将使求导工作大大简便,因此要熟记常见函数的导数.疑难突破通过几个实例归纳出y=xn的导数的形式；熟记基本初等函数的求导公式.剖析：通过对函数y=kx+b，y=x2,y=x3,y=及y=几种函数导数的推导过程,总结出y=xn的导数的形式，这是培养学生善于思考及善于归纳的好习惯。正确记忆基本初等函数的求导公式是本节课的重点和难点，只有熟练记忆才能用起来方便.常用函数的导数公式是求导的基础,高考中经常涉及，但单独考查利用导数公式求导数的题目并不多,常与其他知识联系起来考查。典题精讲【例1】（1）求曲线y=sinx在点P（)处切线的斜率k;(2)物体运动方程为s=,求当t=5时瞬时物体运动的速度v.思路分析:本题是一道导数应用题,必须从导数的公式入手.解：（1)(sinx)′=cosx,当x=时,k=.（2)s′=()′=t3，当t=5时，v=125.变式训练：已知点P（—1，1)，点Q（2,4）是曲线y=x2上的两点,求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程。思路分析:本题是已知斜率求点的坐标的问题.可先设出点的坐标，再代入方程求得切线方程.解：y′=（x2）′=2x,设切点坐标为M（x0，y0),则当x=x0时,切线斜率k=2x0,因为PQ的斜率为=1。又切线平行于直线PQ,所以k=2x0=1，即x0=。所以切点M().所求切线方程为，即4x-4y-1=0。【例2】求曲线y=2x2—1的斜率为4的切线方程。思路分析：导数反映了函数在某一点处的变化率，它的几何意义就是相应曲线在该点处的切线的斜率。由于切线的斜率已知，只要确定切点的坐标,先利用导数求出切点的横坐标,再根据切点在曲线上确定切点的纵坐标，从而可求出切线方程.解：设切点为P（x0，y0），则y′=(2x2—1）′=4x。当x=x0时,4=4x0,∴x0=1;当x0=1时，y0=1,∴切点P的坐标为(1，1）。故所求切线方程为y—1=4（x—1),即4x—y—3=0.绿色通道：联系实际,深刻理解导数的意义,在不同的区域代表的具体意义不一样,但本质上都是指事物在某过程中的变化率的极值。变式训练：求过曲线y=cosx上点P(）,且与过这点的切线垂直的直线方程。思路分析:首先要求切线的斜率。解：因为y=cosx,所以y′=（cosx)′=-sinx。曲线在点P()处的切线斜率是，所以过点P且与切线垂直的直线的斜率为。所以所求直线方程为,即=0。【例3】已知直线x+2y—4=0与抛物线y2=4x相交于A、B两点.O是坐标原点,试在抛物线的上求一点P,使△ABP面积最大。思路分析：依题意｜AB|为定值，只要P点到AB的距离最大,S△ABP就最大,问题转化为在抛物线的上求一点P到直线AB的距离最大。由导数的几何意义，知P为抛物线上与AB平行的切线的切点，求出P点坐标即可,也可用解析几何知识求解。解法一：如图1—2—1所示,|AB｜是定值，△PAB的面积最大.只需P到AB的距离最大,即只需点P是抛物线上平行于AB的切线的切点.设P（x,y)，由图知点P在x轴下方的图象上，所以.所以y′=。图1-2—1因为kAB=，所以,x=4.又y2=4x（y＜0)时，y=-4，所以P(4，—4）.解法二:设P()。因为｜AB｜为定值,要使△PAB的面积最大，只需P到直线AB:x+2y—4=0的距离最大。设距离为d，则d=,y0∈(）。当y0=-4时，d最大.此时△PAB的面积最大,所以P(4,—4）.绿色通道：解法一是利用导数的几何意义解题,注意数形结合思想的运用;解法二是用函数的方法求P点的坐标，注意配方法的运用。变式训练：已知抛物线c1：y=x2+2x和c2:y=-x2+a。如果直线l同时是c1和c2的切线，称l是c1和c2的公切线.公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段.（1）a取什么值时,c1和c2有且仅有一条公切线?写出此公切线方程。(2)若c1和c2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分.(1）解:函数y=x2+2x的导数y′=2x+2,曲线c1在点P(x1，x12+2x1)的切线方程是y—（x12+2x1）=（2x1+2)(x—x1），即y=（2x1+2）x—x12。①函数y=—x2+a的导数为y′=-2x，曲线c2在点Q（x2,-x22+a）处的切线方程是y—(—x22+a)=-2x2（x-x2)，即y=-2x2x+x22+a.②如果直线l是过P和Q的公切线，则①式和②式都是l的方程，所以消去x2得方程2x12+2x1+1+a=0.若判别式Δ=4—4×2(1+a）=0,即a=,解得x1=。此时点P与Q重合，即当a=时，c1和c2有且仅有一条公切线，由①得公切线方程为.(2）证明:由(1）知，当a＜时，c1和c2有两条公切线.设一条公切线上的切点为P(x1,y1）,Q(x2，y2）,其中P在c1上，Q在c2上，则有x1+x2=-1，y1+y2=x12+2x1+(—x22+a)=x12+2x1—(x1+1)2+a=-1+a，线段PQ的中点坐标为（)。同理，另一条公切线段P′Q′的中点坐标也是（）,所以公切线段PQ和P′Q′互相平分。问题探究问题:函数y=f（x）在x0处的导数是如何定义的?若x0∈(a，b)，y=f（x)在x0处可导，则y=f（x)在（a，b）内处处可导吗?导思：函数y=f(x）在x0处可导即当x0∈(a,b）时，y=f(x)在x0处可导.与y=f(x)在（a，b)内处处可导是两码事.函数y=f(x)在(a，b）内处处可导，必须满足对任意的x0∈(a,b)时,y=f(x