数学知识导航：向量的分解与向量的坐标运算

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2。2向量的分解与向量的坐标运算知识梳理1。平面向量基本定理如果e1和e2是平面内的两个不共线的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2,使a=a1e1+a2e2。我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为｛e1,e2｝，a1e1+a2e2叫做向量a关于基底{e1，e2｝的分解式。2。直线的向量参数方程式已知A、B是直线l上任意两点，O是l外一点，则对于直线l上任一点P，存在实数t,使OP=(1-t)+t,这个等式又称为直线l的向量参数方程式。3.向量的坐标（1)如果两个向量的基线互相垂直，则称这两个向量互相垂直.即向量垂直就是它们所在的直线互相垂直.（2）如果平面向量基底互相垂直，则称这个基底为正交基底.在正交基底下分解向量，叫做正交分解。(3)在直角坐标系内，分别取与x轴和y轴方向相同的向量e1、e2,对任一向量a,存在唯一的有序实数对(a1,a2)，使得a=a1e1+a2e2，(a1，a2)就是向量a在基底｛e1，e2｝下的坐标，即a=（a1,a2），其中a1叫做向量a在x轴上的坐标分量，a2叫做向量a在y轴上的坐标分量.(4)向量的坐标：设点A（x,y），则=（x,y）.符号(x，y)在直角坐标系中有双重意义,它既可以表示一个点，又可以表示一个向量。因此要加以区分，在叙述中，就要指明点（x，y)或向量（x，y)。4。向量的坐标运算(1)a=（x1,y1)，b=(x2，y2），则a±b=(x1±x2，y1±y2),即两个向量的和（差)的坐标，等于这两个向量的相应坐标的和(差);若λ∈R，则λa=（λx1，λy1），即向量数乘的坐标等于这个实数与向量的相应坐标的积。（2）若A(x1,y1)，B(x2，y2）,则=（x2，y2）-(x1，y1）=(x2-x1，y2—y1)，即向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标.5。两向量平行的坐标表示设a=(a1,a2）,b=（b1，b2)，则a∥ba1b2—a2b1=0；如果b不平行于坐标轴，即b1≠0且b2≠0,则a∥b=，即这两个向量平行的条件是相应坐标成比例.知识导学1。学习本节要复习向量加法的运算法则和平行向量基本定理；2。灵活、适当地选择一组平面向量基底是解决向量问题的关键;3。在解决问题时，养成自觉画草图,结合图形来寻找解题思路，要重视数形结合思想的运用.疑难突破1。如何正确认识平面向量基本定理？剖析:疑点是平面向量基本定理是关于哪一方面的定理，有什么作用，突破口是从定理的条件和结论来分析。平面向量基本定理实质上就是向量线性运算知识的推广和延伸，即平面内任一向量a都可分解成两个不共线向量e1，e2（基底）的唯一线性组合形式λ1e1+λ2e2。因此平面向量基本定理也是向量正交分解的依据，是向量坐标运算的基础,理解该定理能很好地掌握平面向量的各种知识，帮助我们解决向量问题。2。如何看待平面向量的几何运算和坐标运算这两种运算形式？剖析:很多同学对这两种运算形式产生了疑问。其突破方法是分析平面向量的表示方法.总起来看向量有两种表示方法：一种是用有向线段来表示，称为几何法；另一种是用数字(坐标）表示，称为代数法.那么相应地向量的运算也就分为图形上的几何运算(基向量法）和坐标下的代数运算（坐标法）。这两种运算恰好体现了向量是数形结合的载体。因此平面向量的解决思路有两种：基向量法和坐标法。例如：已知两个非零向量e1和e2不共线，且ke1+e2和e1+ke2共线，求实数k的值.解：思路1：（基向量法）∵ke1+e2和e1+ke2共线，∴存在实数λ，使得ke1+e2=λ（e1+ke2).∴(k-λ)e1=（λk—1）e2。∵e1和e2不共线,∴∴k=±1。思路2：设向量e1=(x1,y1），e2=（x2，y2），∴ke1+e2=（kx1+x2，ky1+y2）,e1+ke2=(x1+kx2，y1+ky2）。∵ke1+e2和e1+ke2共线，∴(kx1+x