数学知识导航：排列与组合

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1。2排列与组合知识梳理1.排列及排列数公式（1）一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素，___________,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.（2)两个排列相同，当且仅当两个排列的元素___________，且元素的___________也相同.（3）从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的___________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号___________表示.(4）排列数公式=___________=___________；特别地=___________=___________（m、n∈N*且m≤n）,0!=____________.2.组合及组合数公式(1)一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素，____________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。（2）如果两个组合中的元素____________，那么不管元素的顺序如何，都是相同组合,只有当两个组合中的元素____________时，才是不同的组合.（3）从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的____________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号____________表示.（4）组合数公式=____________=____________.3。排列与组合的联系与区别（1）排列和组合都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，但排列与元素的顺序____________，而组合与元素的顺序____________；（2）排列数与组合数的关系：____________。知识导学要学好排列与组合这一节内容,除了要学好分类加法计数原理与分步乘法计数原理，更重要的是区分排列和组合，切实掌握排列和组合的概念，运用乘法计数原理理解排列数与组合数的关系，并能从实际问题出发，掌握排列数和组合数的相应性质。对于排列与组合的区分，关键是判断事件有无“顺序性”，这可以用“交换法”来检验任取完成事件的一个方案，交换其中的两个元素，若交换后的方案与交换前的方案是不同的方案,则事件具有顺序性从而是排列,否则就是组合。疑难突破1。理解排列的定义需要注意的问题（1）元素：是指被取的对象;（2）一定取出m个不同的元素（m≤n);(3)定义包含两个基本内容;一是“取出元素",一是“按照一定顺序排成一列”.这里“一定的顺序”是指每次取出的元素与它所排的“位置"有关，所以,取出的元素与“顺序”有无关系就成为我们判断问题是否为排列问题的标准。在具体问题中，究竟何时有关,何时无关,由问题的性质和条件来决定。(4）全排列：把n个不同的元素全部取出来进行排列，即n=m时.（5）排列的方法一般可采用树图法或框图法.（6)排列数与一个排列是两个不同的概念:根据定义，一个排列是具体的一件事，它不是一个数;而排列数是所有排列的个数，它是一个数.解题时应分清求排列还是排列数。（7）公式右边乘积的特点是：第一个因数最大,它是A的下标n，后面每个因数比前面少1；共有m个因数；最后一个因数是下标n减去上标m再加上1，即n—m+1.（8)全排列表示为=n！=n·（n—1)·…·2·1；这是自然数n的阶乘;要掌握好两相邻整数的阶乘间的关系.（9）组合与元素的顺序无关，仅与所取元素的不同有关；（10）组合数与一个组合是两个不同的概念:根据定义,一个组合是具体的一件事，它不是一个数;而组合数是所有组合的个数，它是一个数.解题时应分清求组合还是组合数。（11）组合数与排列数的公式的差别在于,这正体现排列与组合差别所在：所取出的m个元素有无顺序问题。2.如何解决有条件限制的排列问题？剖析:首先读懂题意,理清题目所要求一件事的完成程序；然后在此基础上进行分步，若不能“统一分步",则需先分类再分步：(1）限制条件只有一个，则先排受限制的位置或元素，再排其他任意元素.(2）若限制条件有两个，要进一步分析两个限制条件间的关系：设甲位置上可排元素的集合为A，乙位置上可排元素的集合为B。①A∩B=（相离):可