数学章末测试：第二章推理与证明A

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第二章测评A(基础过关卷)（时间：90分钟满分：100分)一、选择题（本大题共10小题，每小题5分,共50分）1．下面说法正确的有（）①演绎推理是由一般到特殊的推理;②演绎推理得到的结论一定是正确的；③演绎推理的一般模式是“三段论"形式;④演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关．A．1个B．2个C．3个D．4个2．观察图形的规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为（）A．■B．△C．□D．○3．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60°”时，应假设（)A．三角形的三个内角都不大于60°B．三角形的三个内角都大于60°C．三角形的三个内角至多有一个大于60°D．三角形的三个内角至少有两个大于60°4．由“正三角形的内切圆切于三边的中点"，可类比猜想出正四面体的内切球切于四个侧面(）A．各正三角形内任一点B．各正三角形的某高线上的点C．各正三角形的中心D．各正三角形外的某点5．有一段演绎推理是这样的:“若直线平行于平面,则该直线平行于平面内的所有直线；已知直线b平面α，a平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”，这个结论显然是错误的，这是因为()A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误6．设f0(x)＝sinx，f1（x）＝f′0(x）,f2（x)＝f′1(x),…,fn＋1(x）＝f′n(x），n∈N＊,则f2015（x)等于()A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosx7．按照如图所示的三种化合物的结构式及分子式的规律，写出后一种化合物的分子式是(）CH4C2H6C3H8A．C4H9B．C4H10C．C4H11D．C6H128．设a，b为两条不同的直线，α,β为两个不同的平面，则下列四个命题中正确的是（)A．若a,b与α所成的角相等，则a∥bB．若a∥α,b∥β，α∥β，则a∥bC．若aα，bβ，a∥b，则α∥βD．若a⊥α,b⊥β，α⊥β,则a⊥b9．若函数f(x)＝x2－2x＋m（x∈R)有两个零点,并且不等式f（1－x)≥－1恒成立，则实数m的取值范围为()A．(0，1)B．[0，1)C．（0，1］D．[0，1]10．已知x＞0，不等式x＋eq\f（1，x)≥2，x＋eq\f(4，x2)≥3,x＋eq\f(27,x3)≥4,…，可推广为x＋eq\f（a,xn)≥n＋1，则a的值为（)A．n2B．nnC．2nD．22n－2二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．观察数列eq\r(3）,3，eq\r(15)，eq\r(21)，3eq\r（3），…，写出该数列的一个通项公式为__________．12．如图所示，4个小动物换座位，开始时鼠、猴、兔、猫分别坐1，2，3，4号座位，如果第1次前后排动物互换座位，第2次左右列动物互换座位，第3次前后排动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2014次互换座位后，小兔坐在________号座位上．13．已知函数f(x)＝x3＋x，a,b，c∈R，且a＋b＞0，b＋c＞0,c＋a＞0，则f(a)＋f（b）＋f(c)的值一定比零__________(填“大”或“小”）．14．观察：eq\r(7）＋eq\r(15）＜2eq\r(11);eq\r（5.5）＋eq\r（16。5）＜2eq\r（11);eq\r（3－\r（3))＋eq\r（19＋\r（3))＜2eq\r（11）；….对于任意正实数a，b,试写出使eq\r(a)＋eq\r（b）≤2eq\r(11）成立的一个条件可以是________．15．观察下图：eq\a\vs4\al（1,234,34567,45678910,…)则第__________行的各数之和等于20152。三、解答题(本大题共4小题，共25分)16．（6分)已知数列｛an}的通项公式an＝eq\f（1,n＋12)(n∈N*），f（n）＝(1－a1）(1－a2）…（1－an)，试通过计算f（1)，f（2)，f(3）的值,推测出f(n)的值．17．(6分)已知实数x，且有a＝x2＋eq\f(1,2），b＝2－x，c＝x2－x＋1，求证a，b，c中至少有一个不小于1。18．(6分)通过计算可得下列等式：22－12＝2×1＋1；32－22＝2×2＋1;42－32＝2×3＋1；…（n＋1）2－n2＝2n＋1。将以上各式两边分别相加，得（n＋1)2－1＝2×(1＋2＋3＋…＋n）＋n，即1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2）.类比上述方法,请你求出12＋22＋32＋…＋n2的值．19．（7分)求证：eq\r（1·2）＋eq\r(2·3)＋…＋eq\r(n·n＋1)＜eq\f（n＋12,2).

参考答案一、1．解析：演绎推理只有大前提、小前提和推理形式都正确才能保证结论正确,故②错误，其他说法都正确．故选C.答案：C2．A3．解析：“至少有一个不大于"的否定为“都大于”．答案：B4．解析：正三角形的边对应正四面体的面,即正三角形所在的正四面体的侧面,所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心．答案：C5．解析：“若直线平行于平面，则该直线平行于平面内的所有直线”是错误的，即大前提是错误的．故选A。答案：A6．解析：由题意可知，函数fn(x)的表达式呈周期性变化,周期为4，而2015＝4×503＋3，则f2015(x）＝f3(x）＝－cosx，故选D.答案：D7．解析：由规律不难看出每增加1个C原子,相应地增加2个H原子，因此后一种化合物的分子式为C4H10.答案：B8．解析：对于选项A,直线a，b有可能相交；对于选项B,直线a，b有可能相交或异面;对于选项C,平面α，β有可能相交；对于选项D，若a⊥α，b⊥β，当aβ时，有b⊥a,当aβ时，∵α⊥β,∴a∥β，∴b⊥a,故选D。答案：D9．解析：∵f（x)＝x2－2x＋m有两个零点，∴4－4m＞0，∴m＜1。由f(1－x）≥－1得（1－x)2－2(1－x)＋m≥－1，即x2＋m≥0，∴m≥－x2。∵－x2的最大值为0，∴0≤m＜1。答案：B10．解析：由x＋eq\f（1,x)≥2，x＋eq\f(4，x2）＝x＋eq\f(22,x2)≥3,x＋eq\f（27,x3)＝x＋eq\f(33，x3)≥4,…，可推广为x＋eq\f(nn，xn）≥n＋1，故a＝nn。答案：B二、11．解析:将各项统一写成根式形式为eq\r（3），eq\r（9）,eq\r（15）,eq\r（21）,eq\r(27)，…，即eq\r（3×1），eq\r(3×3），eq\r(3×5），eq\r(3×7)，eq\r（3×9)，…,被开方数是正奇数的3倍，故an＝eq\r(32n－1），n∈N＊。答案：an＝eq\r(32n－1),n∈N＊12．解析：由题意得第4次互换座位后,4个小动物又回到了原座位,即每经过4次互换座位后，小动物回到原座位，而2014＝4×503＋2，所以第2014次互换座位后的结果与第2次互换座位后的结果相同，故小兔坐在2号座位上．答案：213．解析：f(x）是R上的奇函数，且是增函数，由a＋b＞0，得a＞－b，∴f(a）＞f(－b）＝－f(b)．∴f(a)＋f(b）＞0，同理，得f（b）＋f(c)＞0，f（c）＋f（a)＞0.三式相加,整理得f(a)＋f（b)＋f（c）＞0.答案：大14．解析：通过观察可看出题干中每个不等式左边根号内的数的和均为22，故可猜想出a＋b＝22.答案:a＋b＝2215．解析：经观察知，图中的第n行的各数构成一个首项为n，公差为1，共（2n－1）项的等差数列，其各项和为Sn＝（2n－1)n＋eq\f(2n－12n－2,2）＝（2n－1）n＋(2n－1）(n－1）＝（2n－1）2。令(2n－1）2＝20152,得2n－1＝2015，故n＝1008。答案:1008三、16．解：因为an＝eq\f(1,n＋12），f(n）＝(1－a1)(1－a2)…（1－an)，所以f（1）＝1－a1＝1－eq\f（1，4）＝eq\f（3,4)，f（2）＝(1－a1)（1－a2)＝f(1)·eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(1－\f(1,9)））＝eq\f(3，4)×eq\f（8，9)＝eq\f(2,3）＝eq\f(4，6)，f(3）＝(1－a1)（1－a2）（1－a3)＝f(2)·eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1，16））)＝eq\f(2，3）×eq\f(15，16）＝eq\f（5,8），由此猜想：f(n）＝eq\f（n＋2，2n＋1)。17．证明：假设a，b，c都小于1，即a＜1，b＜1，c＜1，则a＋b＋c＜3.∵a＋b＋c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,2)))＋(2－x)＋（x2－x＋1）＝2x2－2x＋eq\f（7，2)＝2eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（x－\f(1,2）))2＋3,且x为实数，∴2eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2）））2＋3≥3，即a＋b＋c≥3，这与a＋b＋c＜3矛盾．∴假设不成立，原命题成立．∴a，b,c中至少有一个不小于1。18．解：23－13＝3×12＋3×1＋1，33－23＝3×22＋3×2＋1，43－33＝3×32＋3×3＋1,…，(n＋1）3－n3＝3n2＋3n＋1.将以上各式两边分别相加，得（n＋1)3－13＝3（12＋22＋32＋…＋n2)＋3（1＋2＋3＋…＋n）＋n，所以12＋22＋32＋…＋n2＝eq\f（1,3)eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1（n＋13－1－n－3×\f（nn＋1,2）））＝eq\f(nn＋12n＋1，6）。19．证法一：构造f（x)＝（1＋2＋…＋n）x2＋2［eq\r（1·2)＋eq\r(2·3）＋…＋eq\r（nn＋1）］x＋(2＋…＋n＋1）＝（x＋eq\r（2））2＋(eq\r(2)x＋eq\r(3)）2＋…＋(eq\r(n)x＋eq\r(n＋1))2＞0，∵1＋2＋…＋n＞0，∴Δ＝4［eq\r(1·2）＋eq\r