浙江省强基联盟2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题 含解析

浙江强基联盟2024年11月高二联考数学试题浙江强基联盟研究院命制考生注意：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据交集的概念可直接得到结果.【详解】因.故选：D2.如果椭圆的方程是，那么它的焦点坐标是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据椭圆的标准方程确定焦点坐标.【详解】因为椭圆的标准方程为：，所以椭圆的焦点在轴上，且，，所以.所以椭圆的焦点为：.故选：C3.已知点，，若，则（）A.1 B.-5 C.1或-5 D.-1或5【答案】C【解析】【分析】应用距离公式即可求解.【详解】解：因为点，，所以，所以，则.故选：C.4.已知圆和圆，则与的位置关系是（）A.外切 B.内切 C.相交 D.外离【答案】A【解析】【分析】由圆方程可确定两圆的圆心和半径，由两圆圆心距与两圆半径的关系可判断出位置关系.【详解】由圆方程知：圆心，半径；由，得，所以圆心，半径；圆心距，所以圆与圆外切.故选：A5.在正方体中，以下说法正确的是（）A.若E为的中点，则平面B.若E为的中点，则平面C.若E为的中点，则D.若E为的中点，则【答案】A【解析】【分析】A.利用线面平行的判定定理判断；B.根据平面，平面与平面平面不平行判断；C.利用余弦定理判断；D.取CD的中点F，由，判断.【详解】A.如图所示：连接AC，BD交于点O，则O为BD的中点，所以，又平面，平面，所以平面，故正确；B.易知平面，平面与平面平面不平行，所以与平面不垂直，故错误；C.如图所示：在矩形中，，设正方体的棱长为1，在中，，则，所以，则不垂直，故错误；D.如图所示：取CD的中点F，易知，又，所以不平行，故错误；故选：A6.已知，则函数的最小值是（）A. B. C.3 D.2【答案】B【解析】【分析】分析函数在上的单调性，根据函数的单调性分析函数的最小值.【详解】设，则.因为，所以，.所以即.所以函数在上单调递增.所以.故选：B7.在平行六面体中，若直线与的交点为．设，，，则下列向量中与共线的向量是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】把表示出来，根据向量的数乘运算判断向量的平行.【详解】如图：因为.所以与平行.故选：D8.如果函数那么（）A.2020 B.2021 C.2023 D.2025【答案】B【解析】【分析】记，，根据的定义可求的周期，根据周期性求解即可.【详解】记，，根据可得，，而，，，，，，所以的周期为5，取值分别为2023，2024，2020，2021，2022，.故选：B二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数，以下说法正确的是（）A.z的实部是3 B.C. D.在复平面内对应的点在第一象限【答案】ABC【解析】【分析】根据复数实部的概念判断A的真假；计算复数的模判断B的真假；根据共轭复数的概念判断C的真假；根据复数的几何意义判断D的真假.【详解】对A：复数的实部为3，故A正确；对B：因，故B正确；对C：根据共轭复数的概念，，故C正确；对D：因为在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，故D错误.故选：ABC10.抛掷一颗质地均匀的骰子，记随机事件“点数为i”，其中，则以下说法正确的是（）A.若随机事件“点数不大于3”，则与互斥B.若随机事件“点数为偶数”，则C.若随机事件“点数不大于2”，则与对立D.若随机事件“点数为奇数”，则与相互独立【答案】BD【解析】【分析】对于选项中的事件，分别写出对应的基本事件构成的集合，根据互斥事件、对立事件、独立事件的定义依次分析，即可【详解】，故，所以与不互斥，故A错；，故B对；但，所以与不对立，故C错；，故D对；故选：BD11.棱长为1的正四面体ABCD的内切球球心为O，点P是该内切球球面上的动点，则以下说法正确的是（）A.记直线AO与直线AB的夹角是α，则B.记直线AO与平面ABC的夹角是β，则C.记的最小值为n，则D.记在上的投影向量为，则【答案】ACD【解析】【分析】根据正四面体内切球的性质结合正四面体结构特征求解判断A、C；根据点到平面的距离求解判断C；根据投影定义求解判断D；【详解】如图，设内切球的半径为r，球O与平面BCD的切点为H，则，根据等体积法可得，正四面体ABCD的体积，所以，可知，故A对；由直线AO与平面ABC的夹角是β，设球O与平面ABC的切点为G，连接OG，所以平面ABC，所以，，所以在直角中，，故B错；令，则Q是平面BCD内一动点，，即球面上的点到平面BCD上点之间的距离，最小值n表示球面上的点到平面BCD的距离，所以，即，故C对；点A在线段BC上的投影为线段BC的中点E，点P在线段BC上的投影点位于点的左侧和右侧，且的最大值为，则，故选：ACD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.点A（2，1）到直线l：的距离是________．【答案】【解析】【分析】利用点到直线的距离公式即可求得答案．【详解】点A（2，1）到直线l：的距离为，故答案为：13.已知圆锥的侧面展开图是圆心角为2π3，弧长为2π【答案】【解析】【分析】先根据条件确定圆锥的底面半径和高，根据锥体的体积公式求圆锥的体积.【详解】设圆锥的底面半径为，高为，母线长为.则由题意：，所以.所以圆锥的体积为：.故答案为：.14.设O是坐标原点，是椭圆的左焦点，椭圆上的点P关于O的对称点是Q，若，，则该椭圆的离心率是______．【答案】##0.5【解析】【分析】利用对角线相互平分判断四边形为平行四边形，利用，中的余弦定理，面积公式列方程，得关于，，的方程，构造出离心率，求解即可.【详解】由题意，点P关于O的对称点是Q，所以点是线段的中点，根据椭圆的对称性知，点是线段（为椭圆的右焦点）的中点，则四边形为平行四边形；由，得，则，在平行四边形中，由，得，所以，在中，由余弦定理得，所以，由题意，，又，所以，则，即，得，所以离心率.故答案为：.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.已知圆C：，点P（1，4），且直线l经过点P．（1）若l与C相切，求l的方程；（2）若l的倾斜角为，求l被圆C截得的弦长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）对直线l的斜率不存在和存在两种情况进行讨论，根据点到直线的距离等于半径即可求解.；（2）根据点到直线的距离公式及垂径定理即可求解.【小问1详解】由知，圆C的圆心坐标为，半径为5.当直线l的斜率不存在时，即直线的方程为：，圆心C到直线l的距离为，故与圆C不相切，不满足题意；当直线l的斜率存在时，设直线为：，即，则圆C的圆心到直线l的距离，解得，故直线l的方程为，综上：直线l的方程为【小问2详解】由l的倾斜角为，所以直线l的方程为，圆C的圆心到直线l的距离为，由垂径定理得，l被圆C截得的弦长为，16.在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，记的面积为S，已知．（1）若，求外接圆的半径；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据三角形内角和求出，再根据正弦定理求半径；（2）根据面积公式和余弦定理求解即可【小问1详解】由，得，由，可得，所以外接圆的半径为【小问2详解】，17.如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD是正三角形，四边形ABCD为等腰梯形，且有，E，F分别是AD，BC的中点，动点Q在PF上．（1）证明：平面平面；（2）当时，求平面QAB与平面QCD所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据题意，由线面垂直的判定定理可证平面，即可证明平面平面；（2）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算以及二面角的夹角公式代入计算，即可得到结果.小问1详解】因为四边形为等腰梯形，E，F分别是AD，BC的中点，所以，又因为，所以，又因为，平面，所以平面，而平面，所以平面平面.【小问2详解】假设，所以，得到，所以，如图建立空间直角坐标系，得，，则，设，则，所以，由可得，解得，所以，设平面的一个法向量，，则，取得，设平面的一个法向量，，则，取得，设平面QAB与平面QCD所成角为，则，所以平面QAB与平面QCD所成角的余弦值为.18.在平面直角坐标系中，已知O是坐标原点，点，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是．记点的轨迹是曲线，点是曲线上的一点．（1）求曲线的方程；（2）若，直线l过点与曲线的另一个交点为，求面积的最大值；（3）过点作直线交曲线于，两点，且，证明：为定值．【答案】（1）（）（2）.（3）证明见解析【解析】【分析】（1）设Mx,y，根据直线，的斜率之积是，可求的轨迹方程.（2）设直线的点斜式，用斜率表示出的面积，结合基本（均值）不等式求最大值.（3）设直线方程为，根据弦长公式表示出OP，根据直线垂直得到直线的方程，再根据在椭圆上，表示出，然后代入化简即可.【小问1详解】设Mx,y，因为，所以.整理得：（）.所以曲线的方程为：（）【小问2详解】当时，可得.当直线斜率不存在时，可得，此时.当直线斜率存在时，设直线：，代入椭圆的方程：，得：，整理得：.因为时该方程的一个解，所以.所以，所以.又点到直线的距离为：.所以.设，则（因为时，，此时直线经过点，则共线）.那么，所以所以当时，；当时，（当且仅当即时取“”）综上可知：面积的最大值为：【小问3详解】如图：因为曲线的方程为：（）所以过的直线可写为：，代入中，可得，整理得：.设Px1,则，，所以.所以.此时，直线的方程为：，由且点纵坐标大于0，可得：，所以.所以.为定值.【点睛】方法点睛：解析几何中，遇到求最值的问题，通常有以下思路：（1）转化成二次函数值域问题求解.（2）通过换元，可以转化成基本（均值）不等式求最值的问题解决.（3）通过换元，转化成三角函数的值域问题求解.（4）通过分析函数的单调性，求最值.19.在平面直角坐标系中，我们可以采用公式（其中为常数），将点Px,y变换成点，我们称该变换为线性变换，上式为坐标变换公式．常见的线性变换有平移变换和旋转变换．（1）将点Px,y向左平移个单位，再向上平移个单位，得到点，求该变换的坐标变换公式，并求将椭圆向左平移个单位，再向上平移个单位后，所得新椭圆的方程；（2）将点Px,y绕原点逆时针旋转后，得到点，求上述变换的坐标变换公式，并求将椭圆绕原点逆时针旋转后，所得新椭圆的方程；（3）若点Px,y满足，证明：点Px,y【答案】（1）；.（2）；.（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据坐标的平移可得坐标的变换公式，利用公式可得椭圆平移后的新方程.（2）借助复数三角形式运算的几何意义，求坐标变换公式，利用公式可得椭圆平移后的新方程.（3）利用（2）的结论，先把点Px,y的轨迹逆时针旋转，再配