2024-2025学年高一【数学(人教A版)】同角三角函数的基本关系应用-教学设计

课程基本信息课例编号学科数学年级高一学期第一学期课题同角三角函数的基本关系应用教科书教学人员姓名单位授课教师指导教师教学目标教学目标：1.进一步理解同角三角函数的基本关系，会运用同角三角函数的基本关系解决求值、证明问题．2.在同角三角函数的基本关系的运用过程中，进一步体会方程思想，等价转化思想，体会知识间内在联系．3.通过同角三角函数的基本关系的应用，发展数学运算和逻辑推理的素养．教学重点：运用同角三角函数的基本关系解决求值、证明问题．教学难点：对公式变形的认识与使用．教学过程时间教学环节主要师生活动4分钟（一）回顾旧知问题：在高中阶段，前面我们依次学习了幂函数、指数函数、对数函数，本章学习的三角函数有：正弦函数、余弦函数、正切函数，这三个函数之间既有区别又有联系，它们之间具体关系是什么？上一节课我们学习了同角三角函数的基本关系，请同学们回忆：同角三角函数的基本关系的内容是什么？；当时，．追问：“同角”如何理解？“同角”有两层含义：一是角相同，二是对任意一个角（在使得函数有意义的前提下）关系式都成立．而角的形式可以任意，如：；．师生活动：回顾旧知，为本节课做准备．师：探究出同角三角函数的基本关系后，我们利用它解决了一些基本的求值问题，下面通过一道课前练习回顾一下主要的解题步骤以及涉及到的思想方法．练习：已知，求，的值．生：独立完成，回顾方法，体会方程思想．师：PPT展示解题过程，引导学生总结解题步骤，关注解题过程中的易错点．师生总结：注意：（1）解决这类求值题目应先根据条件判断角的终边所在的象限，确定各三角函数值的符号，再利用基本关系求解．（2）书写时，以此题为例，，的结果都要用分情况叙述的形式表达出来，不能写成：只能写成：或用前面的书写方式会有四种搭配情况，事实上只有两种情况．设计意图：引导学生回顾同角三角函数的基本关系的内容，加深对“同角”的理解，通过练习帮助学生理清解题思路和步骤，体会方程思想，关注解题中的易错点．16分钟（二）学以致用引导语：这节课我们进一步应用同角三角函数基本关系解决一些问题．例1：已知，求的值．师：此题同样可以通过，求出的值代入原式解决问题．在求的值的过程中，涉及到对角所在象限的讨论，那么有没有更简单的方法？生：可以利用平方关系的等价变形：，将所求向已知条件转化．解：，因为，所以原式．总结：在同角三角函数的基本关系的应用中，要熟练掌握公式及公式变形，根据题意，灵活运用．设计意图：在同角三角函数的基本关系的应用过程中，体会等价转化思想，发展数学运算素养．例2：已知，求的值．生：审题、思考、求解、交流．师：给出解法1的思路：利用同角三角函数的基本关系，建立方程，从而解决问题．到分类讨论时，提示学生针对分类讨论，能否通过其他方法解决？进而引发学生思考，用不同方法解决问题．解法1：因为，所以是第一或第三象限角．由得，．分类讨论．师：解法1的方法简单，但计算量较大，在求解过程中还需分类讨论．思考：能否通过其他方法解决呢？生：再次审题，思考其他解决方案．师：引导学生再次审题，分析题目特点：已知角的正切值，求有关角的正弦与余弦值的运算．并提出问题：以往的解题经验，我们通常把条件向结论靠拢，同学们思考一下，该如何做呢？分析：已知角的正切值，就是已知角的正弦值与余弦值的关系，用这个思路来解决这道题目就迎刃而解了．解法2：由，得，代入原式，得．思考：解法2的思路是把条件向结论转化，还有其他解决方法吗？生：思考、交流．师：可以从所求结论向已知条件不断变形、简化，寻找与已知条件的联系，这是分析法的思路．所求的分式分子是角的正弦与余弦值的和，分母是它们的差，如何将所求转化为角正切值的运算？分析：可以利用同角三角函数的基本关系以及分式的运算性质，分式的分子、分母同时除以．解法3：，因为，所以原式．设计意图：通过解决求值问题，进一步体会方程思想；通过综合法、分析法的思路分析，进一步理解同角三角函数的基本关系，体会知识间的内在联系，发展数学运算素养．我们将所求问题变一变，又该如何解决呢？变式训练1：已知，求的值．思考：能不能像上题中分子、分母同时除以？为什么？生：尝试、思考，发现同除后，没有完全转化到已知条件．分析：所求式子的分子、分母同时除以，不能把所求式完全转化为只含有角的正切的表达式，显然不能达到目的．再观察所求式子的结构，分子、分母都是二次式，所以考虑分子、分母同时除以．解：，因为，所以原式．总结：要注意观察式子的结构特点，灵活运用公式进行变形．变式训练2：已知，求的值．分析：这道题目也可以用，得到角的正弦与余弦的关系，从而将所求转化成只含有角的正弦或余弦的表达式，再利用平方关系将或求解出来．思考：有没有不借助角的正弦值或余弦值的方法来解决这个问题呢？分析：所求分式中，分母是二次式，而分子是“1”，为了将所求向已知条件转化，这时可以考虑用平方关系替代“1”，我们一起看一下．解：，因为，所以原式．总结：当式子中出现“1”或者其它常数时，根据需要，可以考虑用平方关系：替代，从而解决问题．设计意图：强化分子、分母同时除以的可行性，加强对公式变形的认识与使用，引导学生对式子中的“1”作适当的变形，灵活运用同角三角函数的基本关系．例3：求证：．师：先向学生说明：除特殊注明外，我们假定三角恒等式是在使两边都有意义的情况下的恒等式（以此题为例，引导学生理解“都有意义”的含义）．再引导学生思考如何证明，在学生困难之处给予点拨．生：观察、思考、交流．师：明确方法：证明恒等式可以从一边开始（一般从式子结构复杂的一边开始），证明它等于另一边．思考：请同学们观察式子结构，若从左边式子开始，如何向右边式子转化？需要做怎样的运算？生：观察思考，发现可以利用分式的运算性质进行转化，再利用同角三角函数的基本关系解决问题．分析：右边式子中的分子含有，可以利用分式的运算性质：左边式子的分子、分母分别乘以尝试证明（也可以选择其他的方式进行转化）．规范展示：证法1：由得，所以，左边右边．所以，原式成立．师：完成证法1后，提出思考：还有其他证法吗？课上不展示，鼓励学生课下用多种方法尝试证明．生：思考，讨论交流．分析：也可以从右边式子开始，证明它等于左边式子．我们观察到左边式子的分子中有，所以可以将右边式子的分子、分母同时乘以，向左边式子进行转化．证法2（课上不展示）：右边左边．师：在给出证法3之前，明确证法：证明恒等式，还可以选取与原式等价的式子，通过等价转化推出原式成立.提出思考：与原式等价的式子有哪些？生：总结与原式等价的式子有：、等，体会等价转化思想在证明中的运用．规范展示：证法3：因为，且，，所以．师生总结：1．证明恒等式的方法有：（1）从恒等式的一边开始，证明它等于另一边．一般由繁到简，通过恒等变形得到另一个式子，从而推出原式成立．（2）证明左右两边都等于同一个式子．（后面遇到时再具体分析）（3）选取与原式等价的式子，通过等价转化推出原式成立．2．公式，的应用极为重要且广泛，熟练掌握公式及公式的等价形式对今后的学习是非常重要的．拓广探索：（教材习题5.2第17题）从例3可以看出，就是的一个变形．你能利用同角三角函数的基本关系推导出更多的关系式吗？请同学们课后探索尝试．练习：习题5.2第14（1）题．设计意图：通过证明三角恒等式让学生进一步理解同角三角函数的基本关系，提升对等价转化思想的认识，发展数学运算和逻辑推理的学科素养．2分钟（三）归纳总结布置作业教师引导学生回顾本节知识，并回答以下问题：这节课我们应用同角三角函数的基本关系解决了一些问题，在解决问题的过程中，有哪些值得总结的思想方法或经验？师生活动：提出问题后，先让学生思考并作适