试卷解析：广东省广州市铁X中学、广州外X语学校、广X附中2023-2024学年高二上学期期末三校联考数学试题（解析版）

2023-2024学年上学期期末三校联考高二数学命题学校：广州XXX学校命题人：XXX审题人：XXX本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先求出集合，再由交集的定义求解即可.【详解】由可得：，所以，由可得：，所以，故，所以.故选：A.2.若复数为方程(，)的一个根，则该方程的另一个复数根是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据实系数方程的虚根成共轭复数求解即可.【详解】因为两根互为共轭复数，所以另一根为.故选：A.3.设是等比数列，且，，则（）A.12B.24C.30D.32【答案】D【解析】【分析】根据已知条件求得的值，再由可求得结果.【详解】设等比数列的公比为，则，，因此，.故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．4.已知直线和圆，则“”是“直线与圆相切”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的判断方法，结合直线与圆的位置关系即可求解.【详解】圆的方程可化为，其圆心坐标为，半径为，当时，直线，圆心到直线的距离，此时直线与圆相切，故充分性成立；当直线与圆相切时，圆心到直线的距离，所以，故必要性成立，所以“”是“直线与圆相切”的充要条件.故选：C.5.已知球的半径，平面经过的中点，且与所成的线面角为，则平面截球的面积为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设的中点为，过点作于，可得，，结合球的性质求截面圆半径.【详解】设的中点为，过点作于，则点为截面圆的圆心，由题意可知：球的半径，，则，可得截面圆半径，所以截面圆面积为，故选：D.6.已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点，使得过点能作圆的两条切线，切点为A，，且，则双曲线的离心率的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据切线求得，利用的最小值是得出关于的齐次不等式，从而得出关于的齐次不等式，得出离心率的范围．【详解】如图，，又，所以，而是圆切线，则，在中，，因此有，从而，而，所以，在双曲线上，因此，所以，，从而，，即，故选：B．7.若函数在区间恰有2个零点，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用换元法结合三角函数图象的列出限制条件可得答案.【详解】令,则等价于有两个根，由于时，有两个根；∴原题等价于与有一个公共点，如图，则且，所以.故选：B.8.已知点，是抛物线上上不同的两点，为抛物线的焦点，且满足，弦的中点到直线的距离记为，若不等式恒成立，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用抛物线定义，将距离转化为，由余弦定理得到，，之间的关系，化简整理代入不等式，再分离参数求最值即可.【详解】抛物线，方程可化为，则焦点，准线，由点为弦的中点，如图过作，由抛物线定义可知，，点到直线的距离，在中，，由余弦定理得，由不等式得，设则由得，，当且仅当，即时，等号成立，即取最小值.故要使不等式恒成立，则，则的取值范围为.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知向量，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.“”是“与的夹角为钝角”的充要条件D.若，则在上的投影向量的坐标为【答案】ABD【解析】【分析】A项，利用向量的模的坐标运算；B项，利用向量共线的坐标条件求解；C项，由共线反向特例可知；D项，结合数量积与单位向量表示投影向量即可.【详解】选项A，若，则，又，则，则，故，A项正确；选项B，，若，则，解得，B项正确；选项C，，若，则，其中当时，与共线且反向，此时与的夹角为钝角，故与的夹角为钝角，即“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件，C项错误；选项D，若，则，又，则，则在上的投影向量的坐标，故D正确.故选：ABD.10.已知圆上有且仅有两个点到直线的距离为1，则实数的值可能取值为（）A.B.C.D.6【答案】BC【解析】【分析】因为所有到直线的距离为1的点都在两条件与已知直线平行的直线上，则可数形结合将问题转化为圆与两条直线有且仅有两个公共点的问题.【详解】圆方程可化为，的圆心，半径为，则圆心到直线的距离，平面内，若点到直线的距离为1，则点在与直线平行且距离为的两条直线上，如图，要使圆上有且仅有两个点到直线的距离为1，则两平行直线与圆有且仅有两个公共点，则，解得，即，解得.故选：BC.11.已知10个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的8个样本数据方差为，平均数；最大和最小两个数据的方差为，平均数；原样本数据的方差为，平均数，若，则（）A.剩下的8个样本数据与样本数据的中位数不变B.C.剩下8个数据的下四分位数大于与原样本数据的下四分位数D.【答案】ABD【解析】【分析】选项A，求出一个人组数据的中位数可知；选项B，由平均数计算公式分别计算可得；选项C，利用百分位数计算步骤分别求解比较即可；选项D，利用方差公式可证明.【详解】设这个样本数据由小到大依次为，选项A，这个样本数据的中位数为，剩下的8个样本数据的中位数为，故剩下的8个样本数据与样本数据的中位数不变，A正确；选项B，由得，由得，由得，故，又，则，所以有，故B正确；选项C，由为整数，则剩下8个数据的下四分位数为，由不是整数，则原样本数据的下四分位数为，因为，则，故两个下四分位数可能相等，故C错误；选项D，由B知，，则，，，所以，所以，故D正确.故选：ABD.12.已知是等差数列前项和，满足，设，数列的前和为，则下列结论正确的是（）A.B.使得成立的最大的值为4044C.D.当时，取得最小值【答案】BCD【解析】【分析】A项，由关系可得；B项，由等差数列前项和公式及性质探究的符号变化可得；C项，利用由等差数列性质及不等式性质可得；选项D，先由数列各项前负后正的符号规律，确定各项的正负规律，可得的最小值在或处取到，再用作差比较法可证明最小.【详解】选项A，由得，，故A错误；选项B，由得，，又，则，又因为是等差数列，所以公差，即当时，，当时，，因为，，且，故使得成立最大的值为4044，故B正确；选项C，由等差数列性质知，则，且，所以由不等式性质可得，即，故C正确；选项D，由，数列的前和为，由上已知，当时，；当时，，对于数列，当时，；则有；当时，，则有；当时，则有；当时，，则有；故的最小值在或处取到，又，由，且，所以，则，即，所以当时，取得最小值，故D正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：解决数列前项和的最值问题的一般方法有以下两类：（1）先求出数列的前项和，再通过的符号研究数列的单调性求最值，或转化为求函数的最值求解；（2）不求数列的前项和，通过对数列通项的符号变化规律找到所有的正负转折项.如：利用条件来找最大时可能的项数，利用条件来找最小时可能的项数.需要注意的是，由于首项的特殊性（无前一项），最值也可能在处就取到.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，则______．【答案】##【解析】【分析】利用二倍角公式并将所求写成齐次式形式，再将弦化为切即可.【详解】.故答案为：14.若点在直线上，则的最小值为__________.【答案】【解析】【分析】转化为求直线上点到定点距离的平方的最小值，由点到直线距离可得解.【详解】表示点到点距离的平方，又点在直线上，问题转化为求直线上点到定点距离的平方的最小值，，即.所以得最小值为.故答案为：.15.已知函数是上的奇函数，，都有成立，则________．【答案】0【解析】【分析】根据题意，由条件可得，即函数的周期，即可得到，从而得到结果.【详解】因为函数是上的奇函数，则，又，都有，令，则，即，所以，都有，即，所以，即函数的周期，则，由，令，可得，所以，则，所以，则.故答案为：016.在正三棱锥中，底面的边长为4，E为AD的中点，，则以D为球心，AD为半径的球截该棱锥各面所得交线长为________．【答案】【解析】【分析】首先证明两两垂直，再求出所对应的圆心角，则计算出其弧长，即可得到交线长.【详解】记CD中点为F，作平面BCD，垂足为O，由正三棱锥性质可知，O为正三角形BCD的中心，所以O在BF上，因为平面BCD，所以，由正三角形性质可知，，又，平面ABO，所以平面ABO，因为平面ABO，所以，又平面ACD，所以平面ACD，因为平面ACD，所以由正三棱锥性质可知，两两垂直，且，则，如图，易知以D为球心，AD为半径的球截该棱锥各面所得交线，是以D为圆心，AD为半径的三段圆弧，则，，则其圆心角分别为，所以其交线长为，故答案为：.【点睛】关键点睛：本题的关键是利用线面垂直的判定与性质得到两两垂直，再求出所对应的三段弧长即可得到交线长.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人.（1）求第七组的频率；（2）估计该校的800名男生的身高的中位数；（3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为，，事件，求.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根据第六组的频数求得第六组频率，再结合频率和为，即可求得第七组频率；（2）根据频率分布直方图中中位数的求解方法，即可求出中位数；（3）根据事件的定义，结合古典概型的概率求解方法，列式计算即可.【小问1详解】第六组的人数为4人，故第六组频率为；故除第七组外的频率之和为：，故第七组频率为：.【小问2详解】有图可得：前3组的频率之和为：；前组的频率之和为：；设中位数为，则，解的，故该校的800名男生的身高的中位数的估计值为.【小问3详解】根据题意可得：第六组有名男生，第八组有名男生；第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，若要满足，则需抽取的人分别来自于第六组和第八组，故.18.如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点是棱的中点，点是棱上一点.（1）证明：；（2）若直线与平面所成角的正切值为，求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定定理与性质，即可证明；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角，结合向量夹角公式，即可求解点坐标，进而根据点面距离的向量法即可求解.【小问1详解】因为在正方形中，有，又底面，平面，所以，又，平面所以平面，又平面，所以，又，点是棱的中点，所以有，又，平面，所以平面，又平面，所以；【小问2详解】如图，以点为原点，以，，所在直线为，，轴，建系如图，则,0,,,0,,,0,,，设点,3,，，所以，，，设平面的法向量，则，取，由于直线与平面所成角的正切值为，故直线与平面所成角的正弦值为所以直线与平面所成角的正弦值为：，化简可得，即，所以或（舍，即点,3,，所以，，，所以点到平面的距离．19.记的内角A，，的对边分别为，，，已知，.（1）求A；（2）若，是边上一点，且是的平分线，.求的长.【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）由正弦定理化边为角，然后由三角恒等变换求解；（2）设，利用由余弦定理求得，从而由正弦定理求得（用表示），再代入余弦定理的结论中求得值．小问1详解】由正弦定理及已知得，或，又，所以，所以，从而，所以；【小问2详解】由余弦定理得，，，又是角平分线，所以，又，则，记，因为，所以，所以，，则，由正弦定理得，所以，所以，解得，即．20.已知圆心在直线上，并且经过点，与直线相切的圆.（1）求圆的标准方程；（2）对于圆上的任意一点，是否存在定点（不同于原点）使得恒为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用点在圆上以及相切，根据点到直线的距离公式以及点点距离公式，求出圆的半径和圆心，即可求圆的标准方程；（2）设，定点，不同时为，根据为常数），可得，进而整理可得，即可得的坐标．小问1详解】圆心在直线，故设圆心为，半径为，则，解得，所以圆的方程为【小问2详解】设，且，即，设定点，,不同时为，为常数）．则,两边平方，整理得代入后得恒成立化简得所以，解得或(舍去）即．【点睛】方法点睛：解析几何中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.21.记为数列的前项和，已知.（1）证明：是等差数列；（2）若，，成等比数列，求.【答案】21.证明见解析22.【解析】【分析】（1）由与之间的关系，根据等差数列的定义可得结果；（2）