试卷解析：广东省广州市越秀区2023-2024学年高一上学期期末数学试题（解析版）

2023学年第一学期学业水平调研测试高一年级数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则的子集个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】【分析】求出，利用子集的个数公式求解即可.【详解】令，解得或，故，则的子集个数是个.故选：D2.已知，则“”是“”的（）A充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】借助指数函数的单调性即可得.【详解】由函数在上为增函数，故当时，，当时，.故“”是“”的充要条件.故选：B.3.函数的零点所在的一个区间是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据函数表达式，结合零点定理即可得出零点所在的一个区间.【详解】由题意，，函数在定义域上单调递增，，，，，∴零点所在的一个区间是,故选：D.4.函数的部分图象大致是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】使用排除法，由奇偶性可排除B、D，由时，可排除C.【详解】，又定义域为，故函数为偶函数，可排除B、D，当时，，故可排除C.故选：D.5.在平面直角坐标系中，角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点，则（）AB.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式得到，求出点在第三象限，得到AB错误；并结合诱导公式和二倍角公式得到，由余弦函数单调性得到.【详解】因为，，故点在第三象限，故，，AB错误；，因为在上单调递减，所以，故，，所以，C错误，D正确.故选：D6.已知，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题意结合二倍角公式化简后，解方程可得，由同角三角函数与角所在象限计算即可得.【详解】，即，即，故或，由，故需舍去，即，又，故，则.故选：A.7.在当今这个时代，的研究方兴未艾．有消息称，未来通讯的速率有望达到，香农公式是通信理论中的重要公式，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S和信道内部的高斯噪声功率N的的大小．其中叫做信噪比．若不改变带宽W，而将信噪比从3提升到99，则最大信息传递率C大约会提升到原来的（）（参考数据）A.倍B.倍C.倍D.倍【答案】B【解析】【分析】将及代入计算对应的，再计算比例即可得.【详解】，，则.故选：B.8.若，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据对数运算法则及性质得出结果.【详解】因为，所以，即，即，，所以.故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.若集合，则（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】解一元二次不等式得集合，根据补集的概念可得与，根据集合间的关系以及集合的运算法则，依次判断每个选项即可.【详解】解一元二次不等式，得，所以；，由于，结合补集的定义，显然，选项A不正确；同时可得，选项B正确；由于，且，可得，选项C正确；由于，且，可得，选项D正确；故选：BCD.10.已知定义域为的函数，使，则下列函数中符合条件的是（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】根据特值以及基本不等式判断即可.【详解】对于A选项，，故A选项符合题意；对于B选项，，当，即时等号成立，故B选项不符合题意；对于C选项，，故C选项符合题意；对于D选项，由题意得，故D选项不符合题意.故选：AC.11.如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为．设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间：（单位：s）之间的关系为下列结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】根据题意，结合三角函数的图象与性质，逐项求解，即可得到答案.【详解】由题意，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，所以振幅且，可得，所以A、B正确；又由筒车的轴心O距离水面的高度为，可得，所以D错误；根据题意，当时，，即，可得，所以C正确.A故选：ABC.12.已知函数，则（）A.B.的最小正周期为C.的图象关于直线对称D.的最大值为【答案】BC【解析】【分析】将函数写成分段函数形式，结合函数的图象以及该函数奇偶性、对称性和单调性依次判断选项即可.【详解】由于，所以，即，如图所示：对于选项A，，，不满足，选项A不正确；对于选项B，，结合图象，的最小正周期为，选项B正确；对于选项C，，的图象关于直线对称，选项C正确；对于选项D，函数在区间和上单调递减，在区间和上单调递增，由于，，的最大值为，选项D不正确；故选：BC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分．共20分.13.命题“”的否定是_________．【答案】“”【解析】【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题即得.【详解】命题“”的否定是“”.故答案为：“”.14.已知，则_________．【答案】##【解析】【分析】化简式子，结合已知条件即可求出的值.【详解】由题意，，∴，，故答案为：.15.函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，则函数的值域是_________．【答案】【解析】【分析】根据题意，当时，得到，结合不等式的性质，即可求解函数的值域，得到答案.【详解】由函数的函数值表示不超过x的最大整数，当时，可得，则，可得，因为，可得，所以函数的值域是.故答案为：.16.如图，要在一块半径为6．圆心角为的扇形铁皮POQ中截取两块矩形铁皮ABCD和EFGC，使点A在弧PQ上，点B在半径OQ上，边CD与边GC在半径OP上，且点F为线段OB的中点．设，两块矩形铁皮的面积之和为S，则S的最大值为_________，此时_________．【答案】①.②.##【解析】【分析】根据题意，得到矩形的面积为，矩形的面积为，进而化简，结合三角函数的性质，以及基本关系式和正切的倍角公式，即可求解.【详解】由题意知，一块半径为6，圆心角为的扇形铁皮，可得且，在直角中，，所以，所以，所以矩形的面积为，因为为的中点，所以，所以矩形的面积为，所以两块矩形铁皮的面积之和为：，其中，且，所以，当时，取得最大值，此时，即，所以，因为，所以，即，解得或（不合题意，舍去），综上可得，当时，取得最大值.故答案为：9；【点睛】知识方法点拨：求解三角函数实际应用问题的处理策略：1.若已知三角函数模型，根据给定的三角函数模型，利用三角函数的图象与性质解决问题，其关键在于准确理解自变量的意义，以及自变量与函数之间的对应关系；2、把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，结合三角函数的图象与性质等有关知识解决问题，其关键在于正确理解题意，合理建模.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数.（1）求函数的最大值；（2）求不等式的解集．【答案】17.18.或【解析】【分析】（1）借助基本不等式即可得；（2）解一元二次不等式即可得【小问1详解】，当且仅当，即时，等号成立，故函数的最大值为；【小问2详解】，，即，解得或，又，故或，即不等式的解集为或.18.已知函数．（1）求函数的最小正周期；（2）若，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由辅助角公式化简后结合正弦型函数的性质即可得；（2）由题意结合象限可得、，借助二倍角公式即可得的值.【小问1详解】，则，即函数的最小正周期为；【小问2详解】，故，又，故，.19.已知函数．（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）讨论函数在上的单调性，并加以证明．【答案】（1）为奇函数，理由见解析（2）当时，单调递减，当时，单调递增，理由见解析【解析】【分析】（1）求出定义域，计算出，得到答案；（2）利用定义法判断函数单调性步骤，取点，作差，判号，下结论.【小问1详解】为奇函数，理由如下：定义域为R，又，故为奇函数；【小问2详解】当时，单调递减，当时，单调递增，，且，则，因为，且，所以，当时，，即，故单调递减，当时，，即，故单调递增，20.已知函数．（1）求函数的单调递减区间；（2）把函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求函数在区间上的最小值．【答案】20.21.【解析】【分析】（1）借助三角恒等变换公式将化简为正弦型函数后结合正弦型函数的单调性计算即可得；（2）平移后得到的解析式，结合正弦型函数的性质计算即可得.【小问1详解】，令，则，故函数的单调递减区间为；【小问2详解】将函数的图象向左平移个单位长度，则，当时，，则当时，即时，有最小值，且最小值为.即在区间上的最小值为.21.某地建设了一个文化馆，该文化馆对外开放后第1年参观人数为12万人，第2年参观人数为14万人．某课外兴趣小组综合各种因素进行预测：①该文化馆每年的参观人数会逐年增加；②该文化馆每年参观人数都不超过16万人．该兴趣小组想找一个函数来拟合该文化馆对外开放后第年与当年参观人数y（单位：万人）之间的关系．（1）若选函数，试确定的值，并判断该函数是否符合预测①与预测②；（2）若选函数，要使得该函数同时符合预测①与预测②，试确定的取值范围．【答案】（1），函数符合预测①与预测②，证明见解析（2）【解析】【分析】（1）分别将“第1年参观人数为12万人，第2年参观人数为14万人”代入解析式，可求得的值，进而判断函数是否符合预测①与预测②即可；（2）同样把“第1年参观人数为12万人，第2年参观人数为14万人”代入解析式，可求得，再结合对数函数的性质分两种情况判断函数是否符合预测①与预测②，进而求得的取值范围.【小问1详解】由于函数，第1年参观人数为12万人，即；第2年参观人数为14万人，即；联立可得：，所以，设，，且，得，，所以，即，所以在区间上单调递增，符合预测①，同时，，符合预测②；【小问2详解】由于函数，第1年参观人数为12万人，即；第2年参观人数为14万人，即；联立可得：，由指数函数的性质可知：当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增；若符合预测①，则或，当时，，符合预测①，此时，，，，再符合预测②，只需即可，由，且，得：；当时，，符合预测①，此时函数在区间上单调递增，同时，，解方程，可得，其中，，，即当时，，不符合预测②；综上所述，的取值范围是：.22.已知函数的定义域为，，，且在区间上单调递减．（1）求证：；（2）求的值；（3）当时，求不等式的解集．【答案】22.证明见解析23.24.【解析】【分析】（1）借助赋值法令即可得；（2）借助赋值法可得为周期为的周期函数、并可计算出、、、，结合周期性即可得.（3）借助赋值法令，可将原不等式转化为，解出可得的