试卷解析：广东省汕头市金X中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题（解析版）

2023级高一第一学期期末考试数学试卷出题人：XXX；审核人：XXX一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】化简集合，判断两个集合之间的关系即可得答案.【详解】由题可得，，所以，且，，.故选：B.2.（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】借助诱导公式计算即可得.【详解】.故选：B.3.若为实数，则“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【详解】若“0＜ab＜1”，当a，b均小于0时，b＞即“0＜ab＜1”⇒“b＜”为假命题；若“b＜当a＜0时，ab＞1，即“b＜”⇒“0＜ab＜1”为假命题，综上“0＜ab＜1”是“b＜”的既不充分也不必要条件，故选D4.已知为奇函数，为偶函数，若当时，，则（）A.－2B.－1C.D.【答案】D【解析】【分析】由题意得函数周期以及，由周期性结合对数运算即可得解.【详解】由题意得，，所以函数的周期为4，且，所以.故选：D.5.一种药在病人血液中的量不少于才有效，而低于病人就有危险．现给某病人注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过（）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：，，结果精确到）A.小时B.小时C.小时D.小时【答案】A【解析】【分析】根据已知关系式可得不等式，结合对数运算法则解不等式即可求得结果.【详解】设应在病人注射这种药小时后再向病人的血液补充这种药，则，整理可得：，，，，，即应在用药小时后再向病人的血液补充这种药.故选：A6.已知函数在上有4个零点，则实数a的最大值为()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】化简f(x)解析式，令f(x)=0得sinx=0或cosx=，在同一个坐标系作出正弦和余弦函数图象，数形结合即可求解．【详解】，令f(x)=0得sinx=0或cosx=，作出y=sinx和y=cosx的图象：f(x)在上有4个零点，则，故a的最大值为．故选：C．7.设，，，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】通过指数、幂函数的性质判断出，再利用指数函数和对数函数的性质得出，，从而得出结论.【详解】因为，结合指数、幂函数的性质知：，所以，又，由指数函数的性质知，，即，又由对数函数的性质可知，，即，综上，，故选：A.8.已知函数是定义域为的偶函数，当时，，若关于x的方程，有且只有7个不同实数根，则实数a的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设，可知方程必有两个根，结合函数的图象及韦达定理即得.【详解】由题可画出函数的大致图象，关于的方程有且只有个不同实数根，设，则结合函数图象，可知方程必有两个根，且，∴，则，即.故选：A.【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、多选题：本题共4小题，共20分．9.下列结论正确的是（）A.当x>0时，+≥2B.当x>3时，x+的最小值是2C.当x<时，2x1+的最小值是4D.设x>0，y>0，且2x+y=1，则的最小值是9【答案】AD【解析】【分析】利用基本不等式判断各选项．【详解】解：对于选项A，当时，，，当且仅当时取等号，结论成立，故A正确；对于选项B，当时，，当且仅当时取等号，但，等号取不到，因此的最小值不是2，故B错误；对于选项C，因为，所以，则，当且仅当，即时取等号，故C错误；对于选项D，因，，则，当且仅当，即时，等号成立，故D正确.故选：AD.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．10.函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.函数的图象可由函数向左平移个长度单位得到B.是函数图象的一条对称轴C.若，则的最小值为D.方程在区间上只有一个根时，实数a的取值范围为【答案】BC【解析】【分析】先根据函数图象求出函数解析式，然后逐个选项分析判断即可得.【详解】由题可得，故，又，故，，故，解得，由，故，即，对A：函数向左平移个长度单位后，可得，故A错误；对B：当时，，故B正确；对C：由，故、中一个为最小值点，一个为最大值点，故，故C正确；对D：当时，，由，故方程在区间上只有一个根时，实数的取值范围为，故D错误.故选：BC.11.在平面直角坐标系xOy中，已知任意角以x轴的正半轴为始边，若终边经过点且，定义：，称“”为“正余弦函数”．对于正余弦函数，正确的是（）A.该函数的值域为B.该函数图象关于原点对称C.该函数图象关于直线对称D.该函数的单调递增区间为，【答案】CD【解析】【分析】根据“正余弦函数”的定义得到函数，然后根据三角函数的图象与性质分别进行判断即可得到结论．【详解】对A：由三角函数的定义可知，所以，故A错误；对B：，所以，故B错误；对C：当时，，故C正确；对D：因为，令，，得，，即函数的单调递增区间为，，故D正确.故选：CD.12.已知函数，的定义域均为，且，，若的图象关于直线对称，则以下说法正确的是（）A.为奇函数B.C.，D.若的值域为，则【答案】BC【解析】【分析】由得，与联立得，再结合的图象关于直线对称，可得的周期、奇偶性、对称中心，可依次验证各选项正误.【详解】，，，，关于对称，，，，，故C正确；关于对称，，，为偶函数，，，，，，偶函数，故A错误；，图象关于点中心对称，存在一对最小值点与最大值点也关于对称，，，故D错误；由得，又，所以，由得，所以，故B正确；故选：BC.【点睛】关键点睛：对含有混合关系的抽象函数，要探求性质首先要消去一个函数只剩下另一下函数，消去其中一个函数的方法就是对进行合理的赋值，组成方程组消去一个函数，再考查剩余函数的性质.对抽象函数的周期性、奇偶性、单调性以及图象的对称性的综合应用，解决该问题应该注意的事项：（1）赋值法的使用，注意和题目条件作联系；（2）转化过程要以相关定义为目的，不断转变.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.函数零点的个数为______．【答案】【解析】【分析】令，转化为两个函数图像交点个数，来判断出零点的个数.【详解】令得，画出的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像有个交点，故函数有个零点.故答案为：.【点睛】本小题主要考查函数零点个数的判断，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.14.将函数的图象沿x轴向右平移个长度单位后，得到一个偶函数的图象，则的最小值为______．【答案】##【解析】【分析】根据图象平移求得平移后的函数解析式，根据三角函数是偶函数，即可求得，即可求出的最小值.【详解】函数的图象沿x轴向右平移个单位后，得，因为其为偶函数，故可得，得，则，当，有.故答案为：.15.______．【答案】【解析】【分析】由两角和与差的正弦和余弦公式即可化简求值.【详解】.故.故答案为：.16.若实数a，b，c满足2a+2b=2a+b，2a+2b+2c=2a+b+c，则c的最大值是______．【答案】2﹣log23【解析】【详解】试题分析：由基本不等式得2a+2b≥，可求出2a+b的范围，再由2a+2b+2c=2a+b+c=2a+b2c=2a+b+2c，2c可用2a+b表达，利用不等式的性质求范围即可．解：由基本不等式得2a+2b≥，即2a+b≥，所以2a+b≥4，令t=2a+b，由2a+2b+2c=2a+b+c可得2a+b+2c=2a+b2c，所以2c=因为t≥4，所以，即，所以故答案2﹣log23点评：本题考查指数的运算法则，基本不等式求最值、不等式的性质等问题，综合性较强．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知非空集合，．（1）若，求；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用集合的运算求解即可；（2）将充分不必要条件转化为集合之间的包含关系即可.【小问1详解】当时，，或，解不等式得：，即，所以.【小问2详解】，即，，若“”是“”的充分不必要条件，即，所以（等号不同时成立），解得：；即实数a的取值范围为．18.已知，.（1）求的值；（2）若，且，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用两角差正切公式求得，然后化弦为切及二倍角公式，结合“1”的代换化弦为切求解即可；（2）先利用同角三角函数关系求得，然后利用两角和正切公式求值，最后根据角的范围确定角的大小.【小问1详解】因为，，所以，解得，所以；【小问2详解】因为，且，所以，所以.所以，又因为，，所以，所以.19.一个大风车的半径为8米，风车按逆时针方向匀速旋转，并且12分钟旋转一周，它的最低点离地面2米，设风车开始旋转时其翼片的一个端点在风车的最低点，求：（1）点离地面距离（米与时间（分钟）之间的函数关系式；（2）在第一圈的什么时间段点离地面的高度超过14米？【答案】（1），；（2）．【解析】分析】（1）设，由题意求得各参数值，得解析式；（2）解不等式可得．【详解】（1）设，由题意得：，，；则，当时，，即；因此，；因此，，；（2）由题意：，即：；则：；又因为，所以．20.已知函数，．（1）求方程的解集；（2）若不等式对于恒成立，求m的取值范围．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）将看成整体计算即可得；（2）可将原不等式转化为对于恒成立，结合基本不等式即可得.【小问1详解】，因为，则，即，则或，解得或，所以方程的解集为；【小问2详解】对，，设，，所以不等式对于恒成立等价于不等式对于恒成立，即对于恒成立，设，，则，当且仅当时，等号成立，故取得最小值，∴，即m的取值范围为．21.已知函数图像的两条相邻对称轴为.(1)求函数的对称轴方程；(2)若函数在上的零点为，求的值.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)化简可得，由题意可得周期，所以的值，易得函数的对称轴；(2)由(1)可得的一条对称轴，则，，结合条件求解即可.【详解】(1)由题意可得周期，所以所以故函数的对称轴方程为即(2)由条件知，且易知与关于对称，则所以22.设函数的定义域为D，若存在，使得成立，则称为的一个“不动点”，也称在定义域D上存在不动点.已知函数.（1）若函数在区间上存在不动点，求实数a的取值范围；（2）设函数，若，都有成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题可得在[0，1]上有解，令，可得在[1,2]上有解，分离参数即可求解；（2）将问题转化为，利用单调性求出的最值