备战2025年高考二轮复习数学客观题满分限时练2

限时练2(时间:45分钟,分值:73分)学生用书P215一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2024·全国甲,文1)设z=2i,则z·z=(A.4 B.2 C.-2答案D解析因为z=2i,所以z=-2i,所以zz=-(2)2·i2=2.2.(2024·山东威海二模)在研究集合时,用card(A)来表示有限集合A中元素的个数.集合M={1,2,3,4},N={x|x>m},若card(M∩N)=2,则实数m的取值范围为()A.[2,3) B.[2,3]C.(2,3) D.(2,+∞)答案A解析由题意知M∩N={3,4},所以2≤m<3,所以实数m的取值范围为[2,3).3.已知中心在坐标原点,焦点在y轴上的双曲线离心率为5,则其渐近线方程为()A.y=±x B.y=±2x C.y=±5x D.y=±12答案D解析因为e=ca=5,c=a2+b2,所以a2+b2a=1+(ba)

4.已知{an}为正项等比数列,若lga2,lga2023是函数f(x)=3x2-12x+9的两个零点,则a1a2024=()A.10 B.104 C.108 D.1012答案B解析因为lga2,lga2023是f(x)=3x2-12x+9的两个零点,所以lga2+lga2023=4,所以lg(a2a2023)=4,所以a2a2023=104,故a1a2024=104.5.(2023·全国乙,文9)某学校举办作文比赛,共6个主题,每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文,则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为()A.56 B.23答案A解析甲有6种选择,乙也有6种选择,故总数共有6×6=36种,若甲、乙抽到的主题不同,则共有A62=30种,6.(2024·山东临沂二模)若实数a,b,c满足a=2sinπ12,b3=7,3c=10,则下列选项正确的是(A.a<b<c B.b<c<aC.a<c<b D.b<a<c答案A解析因为a=2sinπ12<2sinπ6=1.又b3=7,则b=37,且1<37<38=2,即1<b<2.因为3c=10,所以c=log310>log7.(2024·山东潍坊一模)如图所示,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P为截面A1C1B上的动点,若DP⊥A1C,则点P的轨迹长度是()A.22 B.2答案B解析在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,连接DC1,BD,AC,由AA1⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,得BD⊥AA1.又BD⊥AC,AA1∩AC=A,AA1,AC⊂平面AA1C,则BD⊥平面AA1C.又A1C⊂平面AA1C,于是BD⊥A1C.同理BC1⊥A1C,而BC1∩BD=B,BC1,BD⊂平面BC1D,因此A1C⊥平面BC1D.因为DP⊥A1C,则DP⊂平面BC1D,而点P为截面A1C1B上的动点,平面A1C1B∩平面BC1D=BC1,所以点P的轨迹是线段BC1,长度为28.(2024·广东深圳二模)P是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点,F1,F2是C的两个焦点,PF1·PF2=0,点Q在∠F1PF2的平分线上,O为原点,A.12 BC.63答案C解析设|PF1|=m,|PF2|=n,延长OQ交PF2于点A(图略),由题意知OQ∥PF1,O为F1F2的中点,故A为PF2中点.又PF1·PF2=0,即PF1⊥PF2,则∠QAP=π2.又由∠QPA=π4,则△AQP是等腰直角三角形,故有m+n=2a,m2+n2=4c2,b+12n=12m,化简得m-n=2b,m+n=2a,即m=a+b,n=a-b,代入m2二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查,发现他们的用电量都在50~350kW·h之间,进行适当分组后(每组为左闭右开区间),画出频率分布直方图如图所示,记直方图中六个小矩形的面积从左到右依次为Si(i=1,2,…,6),则下列说法正确的有()A.x的值为0.0044B.这100户居民该月用电量的中位数为175C.用电量落在区间[150,350)内的户数为75D.这100户居民该月的平均用电量为∑i=16(50i+答案AD解析由频率分布直方图的性质可知,(0.0024+0.0036+0.0060+x+0.0024+0.0012)×50=1,解得x=0.0044,故A正确;因为(0.0024+0.0036)×50=0.3<0.5,(0.0024+0.0036+0.0060)×50=0.6>0.5,所以中位数落在区间[150,200)内,设其为m,则0.3+(m-150)×0.0060=0.5,解得m≈183,故B错误;用电量落在区间[150,350)内的户数为(0.0060+0.0044+0.0024+0.0012)×50×100=70,故C错误;这100户居民该月的平均用电量为(50+25)S1+(50×2+25)S2+…+(50×6+25)S6=∑i=16(50i+25)Si,故D正确10.(2024·山西晋中模拟)在△ABC中,D为边AC上一点且满足AD=12DC,若P为边BD上一点,且满足AP=λAB+μAC,λ,μA.λμ的最小值为1B.λμ的最大值为1C.1λD.1λ答案BD解析因为AD=12DC,所以AC=3AD.又AP=λAB+μAC=λAB+3μAD,且P,B,D三点共线,所以λ+3μ=1.又λ,μ为正实数,所以λμ=13λ×3μ≤13×(λ+3μ2)2=112,当且仅当λ=3μ,即λ=12,μ=16时,等号成立,故A错误,B正确;1λ+13μ=(1λ+13μ)(λ+3μ)=11.在信息时代,信号处理是非常关键的技术.函数f(x)=∑i=14sin[(2iA.f(x)为偶函数B.f(x)的图象关于点(2π,0)对称C.f(x)的图象关于直线x=π2D.π是f(x)的一个周期答案BC解析由题意得f(x)=sinx+13sin3x+15sin5x+17sin7x.∵x∈R,f(-x)=sin(-x)+13sin(-3x)+15sin(-5x)+17sin(-7x)=-sinx-13sin3x-15sin5x-17sin7x=-f(x),∴函数f(x)是奇函数,故A错误;∵f(4π-x)=sin(4π-x)+13·sin[3(4π-x)]+15sin[5(4π-x)]+17sin[7(4π-x)]=-sinx-13sin3x-15sin5x-17sin7x=-f(x),∴f(x)的图象关于点(2π,0)对称,故B正确;∵f(π-x)=sin(π-x)+13sin[3(π-x)]+15sin[5(π-x)]+17sin[7(π-x)]=sinx+13sin3x+15sin5x+17sin7x=f(x),∴f(x)的图象关于直线x=π2对称,故C正确;∵f(x+π)=sin(x+π)+13sin[3(x+π)]+15sin[5(x+π)]+17sin[7(x+π)]=-sinx-13sin3x-1三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.(2024·上海,6)若二项式(x+1)n的展开式中,各项系数和为32,则x2项的系数为.

答案10解析令x=1即可得各项系数之和是(1+1)n=2n=32,可知n=5,则该二项式的通项为Tr+1=C5rx5-r·1r.令5-r=2,可得r=3.∵C53=10,13.(2024·河南郑州模拟)平面几何中有一个著名的定理:三角形任意一个顶点到其垂心(三角形三条高的交点)的距离等于外心(外接圆圆心)到该顶点对边距离的2倍.若点A,B,C都在圆E上,直线BC方程为x+y-2=0,且|BC|=210,△ABC的垂心G(2,2)在△ABC内,点E在线段AG上,则圆E的标准方程为.

答案(x-3)2+(y-3)2=18解析△ABC的垂心G(2,2)到直线BC的距离d=|2+2-2|2=2.设圆E的半径为r,由题意得r+|EG|=2(|EG|+2),由圆的几何性质可得(|EG|+2)2+(10)2=r2,联立解得|EG|=2,r=32.因为直线BC的方程为x+y-2=0,EG⊥BC,且点G的坐标为(2,2),所以直线EG的方程为y=x.设E(a,a),则点E到直线BC的距离d'=|2a-2|2=22,解得a=-1(舍去)或a=3,14.已知圆锥的顶点与底面圆周都在半径为3的球面上,当该圆锥的侧面积最大时,它的体积为.

答案32解析如图,圆锥顶点为P,底面圆心为C,底面圆周与顶点均在球心为O的球面上,所以OA=OP=3.设PA=l,CA=r,则圆锥侧面积为S=12×l×2π×r=πlr.由截面圆的对称性知,圆锥侧面积最大时,P,C两点位于球心O两侧或C点与球心O重合,此时l2=r2+(3+OC)2,r2+OC2=9,r≤3,0≤OC<3,∴OC=l26-3,∴r2+(l26-3)2=9,