2025版一轮高考总复习数学第五章　数列第一节　数列的概念与表示

第一节数列的概念与表示通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数.1.数列的概念概念含义数列按照排列的一列数数列的项数列中的数列的通项数列{an}的第n项an通项公式数列{an}的第n项an与之间的关系式前n项和数列{an}中，Sn＝提醒数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号.2.数列的分类及性质3.数列的表示方法列表法列出表格表示n与an的对应关系图象法把点画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项用表示递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式4.数列与函数的关系数列{an}是从正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）到实数集R的函数，其自变量是，对应的函数值是，记为an＝f（n）.1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.（）（2）1，1，1，1，…，不能构成一个数列.（）（3）任何一个数列都有唯一的通项公式.（）（4）如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.（）2.已知数列－1，2，－3，2，－5，…，则该数列的第100项为（）A.10 B.－10C.－11 D.113.在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(-1）nan－1（n≥2A.32 B.5C.85 D.4.若数列的前4项分别是12，－13，14，－155.在数列{an}中，Sn＝2n2－3n（n∈N*），则an＝，a4＝.在数列{an}（n≥2）中，若an最大，则an≥an－1，（多选）在数列{an}中，an＝（n＋1）78n，则数列{an}中的最大项可以是（A.第6项 B.第7项C.第8项 D.第9项由数列的前几项归纳通项公式【例1】（选择性必修第二册第6页例4改编）如图，在n×n的单位正方形网格中，阴影相连的正方形个数依次为1，5，9，13，则下一阴影相连的正方形个数为，这个数列的一个通项公式an＝.听课记录解题技法由数列的前几项归纳通项公式应注意的4个特征（1）分式中分子、分母的特征；（2）相邻项的变化特征；（3）拆项后的特征：把数列的项拆分成变化的部分和不变的部分；（4）各项的符号特征.根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：（1）－1，7，－13，19，…；（2）－11×2，12×3，－（3）23，415，635，863，（4）9，99，999，9999，….由an与Sn的关系求an【例2】（1）已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则an＝；（2）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1，则数列{an}的通项公式an＝.听课记录解题技法1.已知Sn求an的3个步骤（1）先利用a1＝S1求出a1；（2）用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）即可求出当n≥2时an的表达式；（3）注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2时的表达式合并.2.Sn与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化.（1）利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解；（2）利用Sn－Sn－1＝an（n≥2）转化为只含an，an－1的关系式，再求解.1.数列{an}的前n项的和Sn＝2n－3，则此数列的通项公式an＝.2.设Sn是数列{an}的前n项和，已知a1＝1，an＝－Sn·Sn－1（n≥2），则Sn＝.数列的性质考向1数列的周期性【例3】（2024·济南模拟）已知数列{an}满足an＋1＝2an，0≤an≤12听课记录解题技法解决数列周期性问题的方法根据所给的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求出有关项的值或者前n项的和.考向2数列的单调性【例4】已知数列{an}中，an＝3n＋k2n，若数列{an}为递减数列，则实数A.（3，＋∞） B.（2，＋∞）C.（1，＋∞） D.（0，＋∞）听课记录解题技法解决数列单调性问题的方法（1）作差比较法：根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列；（2）作商比较法：根据an+1an（an＞0或an＜0）（3）函数法：结合相应的函数图象直观判断.考向3数列的最大（小）项【例5】（2024·衡水联考）已知数列{an}满足a1＝28，an+1－ann＝2，A.293 B.47－1C.485 D.听课记录解题技法求数列最大项与最小项的常用方法（1）函数法：利用相关的函数求最值.若能借助表达式观察出单调性，直接确定最大（小）项，否则，利用作差法；（2）